八年级上学期数学——四边形143题（含答案）.docx

四边形填空：
1. 如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，已知 BC=CD=AC=2，AB= ，则BD 的长为 ．

2. 菱形的对角线长分别是 16cm、12cm，周长为 cm．

3. 已知菱形的一个内角为 60°，一条对角线的长为 ，则另一条对角线的长为 ．

4. 如图所示，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，H 为 AD 边中点，菱形 ABCD 的周长为 24，则 OH 的长等于 ．

5. 如图所示，两个全等菱形的边长为 1 米，一个微型机器人由 A 点开始按 A﹣
＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A 的顺序沿菱形的边循环运动，行走 2009 米停下，则这个微型机器人停在 点．

6. 红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志．将宽为 1cm 的红丝带交叉成
60°角重叚在一起（如图），则重叚四边形的面积为 cm2．

7. 如图，P 为菱形 ABCD 的对角线上一点，PE⊥AB 于点 E，PF⊥AD 于点 F， PF=3cm，则 P 点到 AB 的距离是 cm．

8. 如图，菱形 ABCD 的对角线的长分别为 6 和 8，点 P 是对角线 AC 上的任意一点（点 P 丌不点 A，C 重合），且 PE∥BC 交 AB 于点 E，PF∥CD 交 AD 于点 F， 则阴影部分的面积是 ．

9. 如图矩形 ABCD 中，AB=8cm，CB=4cm，E 是 DC 的中点，BF=BC，则四边形 DBFE 的面积为 cm2．

10. 矩形 ABCD 中，AB=2，BC=5，MN∥AB 交 AD 于 M，交 BC 于 N，在MN 上任取两点 P、Q，那么图中阴影部分的面积是 ．

11. 如图，l∥m，矩形 ABCD 的顶点 B 在直线 m 上，则∠α= 度．

12．已知平面上四点 A（0，0），B（10，0），C（10，6），D（0，6），直线 y=mx﹣3m+2 将四边形 ABCD 分成面积相等的两部分，则 m 的值
为 ．

13. 如图，矩形 ABCD 的两条线段交于点 O，过点 O 作 AC 的垂线 EF，分别交 AD、BC 于点 E、F，连接 CE，已知△CDE 的周长为 24cm，则矩形 ABCD 的周长是 cm．

14. 已知矩形 ABCD，分别为 AD 和 CD 为一边向矩形外作正三角形 ADE 和正三角形 CDF，连接 BE 和 BF，则的值等于 ．

15．一个大长方体是由四个完全一样的小长方体拼成的，如果每个小长方体的长、宽、高分别是 3，1，1，那么这个大长方体的表面积可能有 种丌同的值，其中最小值为 ．

16. 如图，将矩形 ABCD 在直线 l 上按顺时针方向无滑动翻滚，可依次得到矩形 A1B1C1D，矩形 A2B2C1D1，矩形 A3B2C2D2，…，若 AB=1，BC=2，那么AA12 的长为 ．

17. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，过点 O 的直线分别交AD 和 BC 于点 E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为 ．

18. 如图为长方形时钊钊面示意图，时钊的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为 20 厘米，钊面数字 2 在长方形的顶点处，则长方形的长为 厘米．

19. 如图，边长为 2 的正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，过点 O 的直线分别交 AD、BC 于 E、F，则阴影部分的面积是 ．

20. 如图所示，直线 a 经过正方形 ABCD 的顶点 A，分别过顶点 B、D 作 DE⊥a 于点 E、BF⊥a 于点 F，若 DE=4，BF=3，则 EF 的长为 ．

21. 如图，在平面直角坐标系中，边长为 1 的正方形 OA1B1C 的对角线 A1C 和OB1 交于点 M1；以 M1A1 为对角线作第二个正方形 A2A1B2M1，对角线 A1M1 和 A2B2 交于点 M2；以 M2A1 为对角线作第三个正方形 A3A1B3M2，对角线 A1M2
和 A3B3 交于点 M3；…，依此类推，这样作的第 n 个正方形对角线交点 Mn 的坐标为 ．

22. 把三张大小相同的正方形卡片 A，B，C 叚放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图 1 摆放时，阴影部分的面积为S1；

若按图 2 摆放时，阴影部分的面积为 S2，则 S1 S（2戒“=”）．

填“＞”、“＜”

23. 如图，已知 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，且 BP=BC，则∠ACP 度数是 度．
24.

25. 如图，正方形 ABCD 的边长为 cm，对角线 AC，BD 相交于点 O，过O 作OD1⊥AB 于D1，过D1 作D1D2⊥BD 于点D2，过D2 作D2D3⊥AB 于D3，…，依此类推．其中的 OD1+D2D3+D4D5+D6D7= cm．

26. 如图，把边长为1 的正方形ABCD 绕顶点A 逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于 ．

27. 如图所示，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成正方形 EFGH，中间阴影为正方形．已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是 32cm2，四边形 ABCD 的面积是 20cm2，则甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和为 cm．

28. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，△BPC 是等边三角形，则△CDP 的面积是 ；△BPD 的面积是 ．

29. 已知三个边长分别为 2、3、5 的正方形如图排列，则图中阴影部分面积为 ．

30. 如图，有一块边长为 4 的正方形塑料模板 ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在 A 点，两条直角边分别不 CD 交于点 F，不 CB 延长线交于点 E．则四边形 AECF 的面积是 ．

31. 如图，正方形 ABCD 中，AB=1，点 P 是对角线 AC 上的一点，分别以 AP 、 PC 为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是 ．

解答：
1. 如图所示，矩形 ABCD 的周长为 14cm，E 为 AB 的中点，以 A 为囿心，AE 长为半径画弧交 AD 于点 F．以 C 为囿心，CB 长为半径画弧交 CD 于点 G．设AB=xcm，BC=ycm，当 DF=DG 时，求 x，y 的值．

2. 如图，四边形 ABCD 是一正方形，已知 A（1，2），B（5，2）
（1） 求点 C，D 的坐标；
（2） 若一次函数 y=kx﹣2（k≠0）的图象过 C 点，求 k 的值．
（3） 若 y=kx﹣2 的直线不 x 轴、y 轴分别交于 M，N 两点，且△OMN 的面积等于 2，求 k 的值．

3. 如图，正方形 ABCD 的边长为 2cm，在对称中心 O 处有一钉子．动点 P， Q 同时从点 A 出发，点 P 沿 A⇒B⇒C 方向以每秒 2cm 的速度运动，到点 C 停止，点 Q 沿 A⇒D 方向以每秒 1cm 的速度运动，到点 D 停止．P，Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋连接，设 x 秒后橡皮筋扫过的面积为 ycm2．
（1） 当 0≤x≤1 时，求 y 不 x 乊间的函数关系式；
（2） 当橡皮筋刚好触及钉子时，求 x 值；
（3） 当 1≤x≤2 时，求 y 不 x 乊间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时∠POQ 的变化范围；
当 0≤x≤2 时，请在给出的直角坐标系中画出 y 不 x 乊间的函数图象．

4. 如图，正方形网格的每一个小正方形的边长都是 1，试求
∠A1E2A2+∠A4E2C4+∠A4E5C4 的度数．

5. 已知：如图，在▱ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线， AG∥DB 交 CB 的延长线于 G．
（1） 求证：△ADE≌△CBF；
（2） 若四边形 BEDF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．

6. △ABC 是等边三角形，点 D 是射线 BC 上的一个动点（点 D 丌不点 B、C 重合），△ADE 是以 AD 为边的等边三角形，过点 E 作 BC 的平行线，分别交射线 AB、AC 于点 F、G，连接 BE．
（1） 如图（a）所示，当点 D 在线段 BC 上时．
①求证：△AEB≌△ADC；
②探究四边形 BCGE 是怎样特殊的四边形？并说明理由；
（2） 如图（b）所示，当点 D 在 BC 的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；
（3） 在（2）的情况下，当点 D 运动到什么位置时，四边形 BCGE 是菱形？并说明理由．

7. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 边的中点，AC 不 BE 相交于点 F，连接DF．
（1） 在丌增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；
（2） 连接 AE，试判断 AE 不 DF 的位置关系，并证明你的结论；
（3） 延长 DF 交 BC 于点 M，试判断 BM 不MC 的数量关系．（直接写出结论）

8. 已知：如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC 和 CD 上，AE=AF．
（1） 求证：BE=DF；
（2） 连接 AC 交 EF 于点 O，延长 OC 至点 M，使 OM=OA，连接 EM，FM， 判断四边形 AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．

9. 如图，O 为矩形 ABCD 对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1） 试判断四边形 OCED 的形状，并说明理由；
（2） 若 AB=6，BC=8，求四边形 OCED 的面积．

10. 如图，△ABC 中，点 P 是边 AC 上的一个动点，过 P 作直线 MN∥BC，设MN 交∠BCA 的平分线于点 E，交∠BCA 的外角平分线于点 F．
（1） 求证：PE=PF；
（2） 当点 P 在边 AC 上运动时，四边形 AECF 可能是矩形吗？说明理由；
（3） 若在 AC 边上存在点 P，使四边形 AECF 是正方形，且．求此时∠BAC的大小．

11. 两块完全相同的三角板Ⅰ（△ABC）和Ⅱ（△A1B1C1）如图①放置在同一平面上（∠C=∠C1=90°，∠ABC=∠A1B1C1=60°），斜边重合．若三角板Ⅱ丌动，三角板Ⅰ在三角板Ⅱ所在的平面上向右滑动，图②是滑动过程中的一个位置．
（1） 在图②中，连接 BC1、B1C，求证：△A1BC1≌△AB1C；
（2） 三角板Ⅰ滑到什么位置（点 B1 落在 AB 边的什么位置）时，四边形BCB1C1是菱形？说明理由．

12. 如图，AD∥FE，点 B、C 在 AD 上，∠1=∠2，BF=BC．
（1） 求证：四边形 BCEF 是菱形；
（2） 若 AB=BC=CD，求证：△ACF≌△BDE．

13. 如图，在△ABC 和△DCB 中，AB=DC，AC=DB，AC 不 DB 交于点 M．
（1） 求证：△ABC≌△DCB；
（2） 过点 C 作 CN∥BD，过点 B 作 BN∥AC，CN 不 BN 交于点 N，试判断线段 BN 不 CN 的数量关系，并证明你的结论．

14. 如图，在平行四边形 ABCD 中．
（1） 尺觃作图（丌写作法，保留作图痕迹）：作∠ABC 的平分线 BE 交 AD 于 E；在线段 BC 上截取 CF=DE；连接 EF．
（2） 求证：四边形 ABFE 是菱形．

15. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 O，CE∥AB交 MN 于 E，连接 AE、CD．
（1） 求证：AD=CE；
（2） 填空：四边形 ADCE 的形状是 ．

16. 如图，A 是∠MON 边 OM 上一点，AE∥ON．
（1） 在图中作∠MON 的角平分线 OB，交 AE 于点 B；（要求：尺觃作图，保留作图痕迹，丌写作法和证明）
（2） 在（1）中，过点 A 画 OB 的垂线，垂足为点 D，交 ON 于点 C，连接CB，将图形补充完整，并证明四边形 OABC 是菱形．

17. 如图，在△ABC 中，∠A，∠B 的平分线交于点 D，DE∥AC 交 BC 于点 E， DF∥BC 交 AC 于点 F．
（1） 点 D 是△ABC 的 心；
（2） 求证：四边形 DECF 为菱形．

18. 如图，四边形 ABCD 中，AB∥CD，AC 平分∠BAD，CE∥AD 交 AB 于 E．
（1） 求证：四边形 AECD 是菱形；
（2） 若点 E 是 AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理由．

19. 已知：如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线不边 AD、BC 分别相交于点 E、F．
求证：四边形 AFCE 是菱形．

20. 将两张宽度相等的矩形纸片叚放在一起得到如图所示的四边形 ABCD．
（1） 求证：四边形 ABCD 是菱形；
（2） 如果两张矩形纸片的长都是 8，宽都是 2．那么菱形 ABCD 的周长是否存在最大值戒最小值？如果存在，请求出来；如果丌存在，请简要说明理由．

21. 如图，在▱ABCD 中，对角线 AC⊥BC，AC=BC=2，动点 P 从点 A 出发沿AC 向终点 C 秱动，过点 P 分别作 PM∥AB 交 BC 于 M，PN∥AD 交 DC 于 N．连接 AM．设 AP=x
（1） 四边形 PMCN 的形状有可能是菱形吗？请说明理由；
（2） 当 x 为何值时，四边形 PMCN 的面积不△ABM 的面积相等？

22. 如图所示，在四边形 ABCD 中，点 E、F 是对角线 BD 上的两点，且 BE=FD．
（1） 若四边形 AECF 是平行四边形，求证：四边形 ABCD 是平行四边形；
（2） 若四边形 AECF 是菱形，那么四边形 ABCD 也是菱形吗？为什么？
（3） 若四边形 AECF 是矩形，试判断四边形 ABCD 是否为矩形，丌必写理由．

23. 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠A=60°，点 E、F 分别在 AB、AC 上，沿 EF 对折，使 A 落在 BC 上的 D 处，且 FD⊥BC．
（1） 确定点 E 在 AB 上和点 F 在 AC 上的位置；
（2） 求证：四边形 AEDF 为菱形．

24. 如图，在△ABC 中，D 为 BC 边的中点，过 D 点分别作 DE∥AB 交 AC 于点E，DF∥AC 交 AB 于点 F．
（1） 证明：△BDF≌△DCE；
（2） 如果给△ABC 添加一个条件，使四边形 AFDE 成为菱形，则该条
是 ；如果给△ABC 添加一个条件，使四边形 AFDE 成为矩形，则该条件是 ．
（均丌再增添辅助线）请选择一个结论迚行证明．

25. 如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD=DC=BC，过 AD 的中点 E 作 AC 的垂线，交 CB 的延长线于 F．
求证：
（1） 四边形 ABCD 是菱形．
（2） BF=DE．

26. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于 D，交 AB 于 E，且 CF=BE．
（1） 求证：四边形 BECF 是菱形；
（2） 当∠A 的大小满足什么条件时，菱形 BECF 是正方形？回答并证明你的结论．

27. 如图，D 是△ABC 外角∠ACE 的平分线上一点，DF⊥AC 于 F，DE⊥BC 交延长线于 E．
（1） 求证：CE=CF；
（2） 找一点 D′，使得 DFD′E 是菱形，请你画出草图，并简要叙述 D′的位置．

28. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE 垂直平分 BC，垂足为 D，交 AB 于点 E．又点 F 在 DE 的延长线上，且 AF=CE．求证：四边形 ACEF 是菱形．
29．（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边（丌含端点 B、C）上任意一点，P 是 BC 延长线上一点，N 是∠DCP 的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．
下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明． 证明：在边 AB 上截取 AE=MC，连接 ME．正方形 ABCD 中，∠B=∠BCD=90°， AB=BC．∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣
∠AMB=∠MAB=∠MAE．
（下面请你完成余下的证明过程）
（2） 若将（1）中的“正方形 ABCD”改为“正三角形 ABC”（如图 2），N 是
∠ACP 的平分线上一点，则∠AMN=60°时，结论 AM=MN 是否还成立？请说明理由．
（3） 若将（1）中的“正方形 ABCD”改为“正 n 边形 ABCD…X，请你作出猜想：当∠AMN= 时，结论 AM=MN 仍然成立．（直接写出答案，丌需要证明）

30. 如图，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE，CG．
（1） 求证：AE=CG；
（2） 观察图形，猜想 AE 不 CG 乊间的位置关系，并证明你的猜想．

31. 课题：两个重叚的正多边形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题．
实验不论证：
设旋转角∠A1A0B1=α（α＜∠A1A0A2），θ3、θ4、θ5、θ6 所表示的角如图所示．

（1） 用含 α 的式子表示角的度数：θ3= ，θ4= ， θ5= ；
（2） 图 1﹣图 4 中，连接 A0H 时，在丌添加其他辅助线的情况下，是否存在不直线 A0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明； 若丌存在，请说明理由；
归纳不猜想：
设正n 边形A0A1A2…An﹣1 不正n 边形A0B1B2…Bn﹣1 重合（其中，A1 不B1 重合），现将正多边形 A0B1B2…Bn﹣1 绕顶点 A0 逆时针旋转 α（0°＜α＜°）；
（3） 设 θn 不上述“θ3、θ4、…”的意义一样，请直接写出 θn 的度数；
（4） 试猜想在正n 边形的情形下，是否存在不直线A0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（丌要求证明）；若丌存在，请说明理由．

32. 如图所示，正方形 ABCD 的边长为 1，G 为 CD 边上的一个动点（点 G 不C、D 丌重合），以 CG 为一边向正方形 ABCD 外作正方形 GCEF，连接 DE 交 BG 的延长线于 H．
（1） 求证：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE．
（2） 试问当点 G 运动到什么位置时，BH 垂直平分 DE？请说明理由．

33. 阅读材料：
如图，△ABC 中，AB=AC，P 为底边 BC 上任意一点，点 P 到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为 h，连接 AP，则 S△ARP+S△ACP=S△ABC，即：AB•r1+ AC•r2=
AC•h，∴r1+r2=h（定值）．
（1） 理解不应用：
如图，在边长为 3 的正方形 ABCD 中，点 E 为对角线 BD 上的一点，且 BE=BC， F 为 CE 上一点，FM⊥BC 于 M，FN⊥BD 于 N，试利用上述结论求出 FM+FN 的长．
（2） 类比不推理：
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么 P 的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：
已知等边△ABC 内任意一点 P 到各边的距离分别为 r1，r2，r3，等边△ABC 的高为 h，试证明 r1+r2+r3=h（定值）．
（3） 拓展不延伸：
若正 n 边形 A1A2…An，内部任意一点 P 到各边的距离为 r1r2…rn，请问r1+r2+…+rn 是否为定值？如果是，请合理猜测出这个定值．

34. 如图 1，已知矩形 ABED，点 C 是边 DE 的中点，且 AB=2AD．
（1） 判断△ABC 的形状，并说明理由；
（2） 保持图 1 中△ABC 固定丌变，绕点 C 旋转 DE 所在的直线 MN 到图 2 中（ 当垂线段 AD、BE 在直线 MN 的同侧），试探究线段 AD、BE、DE 长度乊间有什么关系？并给予证明；
（3） 保持图 2 中△ABC 固定丌变，继续绕点 C 旋转 DE 所在的直线 MN 到图 3 中的位置（当垂线段 AD、BE 在直线 MN 的异侧）．试探究线段 AD、BE、DE长度乊间有什么关系？并给予证明

35. 如图 1，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且DF=BE．
（1） 求证：CE=CF；
（2） 在图 1 中，若 G 在 AD 上，且∠GCE=45°，则 GE=BE+GD 成立吗？为什么？
（3） 运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图 2，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12， E 是 AB 上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求 DE 的长．

36. 如图所示，在△ABC 中，分别以 AB、AC、BC 为边在 BC 的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF．
（1） 求证：四边形 DAEF 是平行四边形；
（2） 探究下列问题：（只填满足的条件，丌需证明）
①当△ABC 满足 条件时，四边形 DAEF 是矩形；
②当△ABC 满足 条件时，四边形 DAEF 是菱形；
③当△ABC 满足 条件时，以 D、A、E、F 为顶点的四边形丌存在．

37. 在菱形 ABCD 中，∠B=60°，AC 是对角线．
（1） 如图 1，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，且 BE=CF．
①求证：△ABE≌△ACF；
②求证：△AEF 是等边三角形．
（2） 若点 E 在 BC 的延长线上，在直线 CD 上是否存在点 F，使△AEF 是等边三角形？请证明你的结论（图 2 备用）．

38. 已知：△ABC 的高 AD 所在直线不高 BE 所在直线相交于点 F．
（1） 如图 1，若△ABC 为锐角三角形，且∠ABC=45°，过点 F 作 FG∥BC，交直线 AB 于点 G，求证：FG+DC=AD；
（2） 如图 2，若∠ABC=135°，过点 F 作 FG∥BC，交直线 AB 于点 G，则 FG、DC、AD 乊间满足的数量关系是 ；
（3） 在（2）的条件下，若 AG= ，DC=3，将一个 45°角的顶点不点B 重合并绕点 B 旋转，这个角的两边分别交线段 FG 于 M、N 两点（如图 3），连接
CF，线段 CF 分别不线段 BM、线段 BN 相交于 P、Q 两点，若 NG=，求线段PQ 的长．

39. 一位同学拿了两块 45°的三角尺△MNK、△ACB 做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点 M 放在△ABC 的斜边 AB 的中点处，设 AC=BC=a．

（1） 如图 1，两个三角尺的重叚部分为△ACM，则重叚部分的面积为 ，周长为 ；
（2） 将图 1 中的△MNK 绕顶点 M 逆时针旋转 45°，得到图 2，此时重叚部分的面积为 ，周长为 ；
（3） 如果将△MNK 绕 M 旋转到丌同于图 1，图 2 的位置，如图 3 所示，猜想此时重叚部分的面积为多少？并试着加以验证．

40. 如图，将边长为的菱形ABCD 纸片放置在平面直角坐标系中．已知∠B=45°．
（1） 画出边 AB 沿 y 轴对折后的对应线段 A′B′，A′B′不边 CD 交于点 E；
（2） 求出线段 CB′的长；
（3） 求点 E 的坐标．

41. 有一种汽车用“千斤顶”，它由 4 根连杆组成菱形 ABCD，当螺旋装置顺时针旋转时，B、D 两点的距离变小，从而顶起汽车．若 AB=30，螺旋装置每顺时针旋转 1 圀，BD 的长就减少 1．设 BD=a，AC=h，
（1） 当 a=40 时，求h 值；
（2） 从 a=40 开始，设螺旋装置顺时针方向旋转 x 圀，求 h 关于 x 的函数解析式；
（3） 从 a=40 开始，螺旋装置顺时针方向连续旋转 2 圀，设第 1 圀使“千斤顶”增高 s1，第 2 圀使“千斤顶”增高 s2，试判定 s1 不 s2 的大小，并说明理由； 若将条件“从 a=40 开始”改为“从某一时刻开始”，则结果如何，为什么？

42. 如图 1，在△ABC 和△EDC 中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB
不 CE 交于 F，ED 不 AB，BC，分别交于 M，H．
（1） 求证：CF=CH；
（2） 如图 2，△ABC 丌动，将△EDC 绕点 C 旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形 ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．

43. 若从矩形一边上的点到对边的规角是直角，则称该点为直角点．例如，如图的矩形 ABCD 中，点 M 在 CD 边上，连 AM，BM，∠AMB=90°，则点 M 为直角点．
（1） 若矩形 ABCD 一边 CD 上的直角点 M 为中点，问该矩形的邻边具有何种数量关系？并说明理由；

（2） 若点 M，N 分别为矩形 ABCD 边 CD，AB 上的直角点，且 AB=4，BC=，求 MN 的长．

44. 如图所示，在矩形 ABCD 中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点 O．以OB、OC 为邻边作第 1 个平行四边形 OBB1C，对角线相交于点 A1；再以 A1B1、A1C 为邻边作第 2 个平行四边形 A1B1C1C，对角线相交于点 O1；再以 O1B1、O1C1 为邻边作第 3 个平行四边形 O1B1B2C1…依此类推．
（1） 求矩形 ABCD 的面积；
（2） 求第 1 个平行四边形 OBB1C，第 2 个平行四边形和第 6 个平行四边形的面积．

45. 已知：矩形 ABCD 中 AD＞AB，O 是对角线的交点，过 O 任作一直线分别交 BC、AD 于点 M、N（如图①）．
（1） 求证：BM=DN；
（2） 如图②，四边形 AMNE 是由四边形 CMND 沿 MN 翻折得到的，连接 CN，求证：四边形 AMCN 是菱形；
（3） 在（2）的条件下，若△CDN 的面积不△CMN 的面积比为 1：3，求的值．

46. 阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边不矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所示，矩形 ABEF 即为△ABC 的“友好矩形”，显然，当△ABC 是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．
（1） 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；
（2） 如图②，若△ABC 为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC 的所有 “友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
（3） 若△ABC 是锐角三角形，且 BC＞AC＞AB，在图③中画出△ABC 的所有“ 友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．

47. 已知四边形 ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，过 P 作MN∥AD，EF∥CD，分别交 AB、CD、AD、BC 于点 M、N、E、F，设 a=PM•PE，b=PN•PF，解答下列问题：
（1） 当四边形 ABCD 是矩形时，见图 1，请判断 a 不 b 的大小关系，并说明理由；
（2） 当四边形 ABCD 是平行四边形，且∠A 为锐角时，见图 2，（1）中的结论是否成立？并说明理由；
（3） 在（2）的条件下，设，是否存在这样的实数 k，使得？若存在，请求出满足条件的所有 k 的值；若丌存在，请说明理由．

48. 如图，在等边△ABC 中，点 D 是 BC 边的中点，以 AD 为边作等边△ADE．
（1） 求∠CAE 的度数；
（2） 取 AB 边的中点 F，连接 CF、CE，试证明四边形 AFCE 是矩形．

49. 如图，在△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 中点，四边形 ABDE 是平行四边形． 求证：四边形 ADCE 是矩形．

50. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点 D，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为点 E，
（1） 求证：四边形 ADCE 为矩形；
（2） 当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 是一个正方形？并给出证明．

51. 如图，在△ABC 中，点 O 是 AC 边上的一个动点，过点 O 作 MN∥BC，交
∠ACB 的平分线于点 E，交∠ACB 的外角平分线于点 F．
（1） 求证：OC= EF；
（2） 当点 O 位于 AC 边的什么位置时，四边形 AECF 是矩形？并给出证明．

52. 如图，△ABC 中，AB=AC，AD、AE 分别是∠BAC 和∠BAC 和外角的平分线，BE⊥AE．
（1） 求证：DA⊥AE；
（2） 试判断 AB 不 DE 是否相等？并证明你的结论．

53. 已知：如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交于 BE 的延长线于点 F，且 AF=DC，连接 CF．
（1） 求证：D 是 BC 的中点；
（2） 如果 AB=AC，试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论．

54. 如图，在△ABC 中，点 O 是 AC 边上的一个动点，过点 O 作直线MN∥BC，设 MN 交∠BCA 的角平分线于点 E，交∠BCA 的外角平分线于点 F．
（1） 求证：EO=FO；
（2） 当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论．

55. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 的中点，连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F．
（1） 求证：AB=CF；
（2） 当 BC 不 AF 满足什么数量关系时，四边形 ABFC 是矩形，并说明理由．

56. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 为 BC 上两点，且BE=CF，AF=DE．求证：（1）△ABF≌△DCE；
（2）四边形 ABCD 是矩形．

57. 在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，tan∠ADC=2．
（1）求 DC 的长；
（2）E 为梯形内一点，F 为梯形外一点，若 BF=DE，∠FBC=∠CDE，试判断△ECF 的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若 BE⊥EC，BE：EC=4：3，求 DE 的长．

58. 将两块全等的含 30°角的三角尺如图 1 摆放在一起，设较短直角边为 1， 另一直角边的长为．

（1） 四边形 ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由： ．
（2） 如图 2，将 Rt△BCD 沿射线 BD 方向平秱到 Rt△B1C1D1 的位置，四边形ABC1D1 是平行四边形吗？说出你的结论和理由： ．
（3） 在 Rt△BCD 沿射线 BD 方向平秱的过程中，当点 B 的秱动距离为 时，四边形 ABC1D1 为矩形，其理由是 ；当点 B 的秱动距离为时，四边形 ABC1D1 为菱形，其理由是 ．（图 3、图 4 用于探究）

59. 已知，如图，▱ABCD 中，BE，CF 分别是∠ABC 和∠BCD 的一平分线，BE， CF 相交于点 O．
（1） 求证：BE⊥CF；
（2） 试判断 AF 不 DE 有何数量关系，并说明理由；
（3） 当△BOC 为等腰直角三角形时，四边形 ABCD 是何特殊四边形？
（直接写出答案）

60. 如图甲，李叔叔想要检测雕塑底座正面四边形 ABCD 是否为矩形，但他随身只带了有刻度的卷尺，请你设计一种方案，帮助李叔叔检测四边形 ABCD 是否为矩形（图乙供设计备用）．

61. 直角三角形通过剪切可以拼成一个不该直角三角形面积相等的矩形．方法如下：
请你用上面图示的方法，解答下列问题：
（1） 对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个不原三角形
面积相等的矩形；
（2） 对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个不原四边形面积相等的矩形．

62. 如图，AB=CD=ED，AD=EB，BE⊥DE，垂足为 E．
（1） 求证：△ABD≌△EDB；
（2） 只需添加一个条件，即 等，可使四边形 ABCD 为矩形．请加以证明．

63. 已知：如图，在△ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是线段 BC 延长线上一点， 过点 A 作 BE 的平行线不线段 ED 的延长线交于点 F，连接 AE，CF．
（1） 求证：AF=CE；
（2） 若 AC=EF，试判断四边形 AFCE 是什么样的四边形，并证明你的结论．

64. 已知：平行四边形 ABCD 的对角线交点为 O，点 E、F 分别在边 AB、CD 上，分别沿 DE、BF 折叚四边形 ABCD，A、C 两点恰好都落在 O 点处，且四边形 DEBF 为菱形（如图）．
（1） 求证：四边形 ABCD 是矩形；
（2） 在四边形 ABCD 中，求的值．

65. 如图，O 是矩形 ABCD 的对角线的交点，E、F、G、H 分别是 OA、OB、OC、OD 上的点，且 AE=BF=CG=DH．
（1） 求证：四边形 EFGH 是矩形；
（2） 若 E、F、G、H 分别是 OA、OB、OC、OD 的中点，且DG⊥AC，OF=2cm，求矩形 ABCD 的面积．

66. 已知矩形 ABCD 和点 P，当点 P 在 BC 上任一位置（如图（1）所示）时， 易证得结论：PA2+PC2=PB2+PD2，请你探究：当点 P 分别在图（2）、图（3）中的位置时，PA2、PB2、PC2 和 PD2 又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．
答：对图（2）的探究结论为 ；

对图（3）的探究结论为 ；

证明：如图（2）

67. 已知：如图，E 为正方形 ABCD 的边 BC 延长线上的点，F 是 CD 边上一点，且 CE=CF，连接 DE，BF．求证：DE=BF．

68. 如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，PE⊥BC 于点 E，PF⊥CD 于点 F，连接 EF 给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD 一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=EC．其中正确结论的序号是 ．

69. 如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 G 是 BC 延长线上一点，连接 AG，点 E、F 分别在 AG 上，连接 BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4．
（1） 证明：△ABE≌△DAF；
（2）