三角形常见辅助线做法总结.doc

数学专题——三角形中的常用辅助线
 典型例题
人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
全等三角形辅助线                                   
找全等三角形的方法：
（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；
（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；
（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；
（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：
①延长中线构造全等三角形；
②利用翻折，构造全等三角形；
③引平行线构造全等三角形；
④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种：
（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。
例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。

（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
例2：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。

 （3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。
例3：已知，如图，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求证：∠B+∠ADC=180°。

①关于角平行线的问题，常用两种辅助线；

②见中点即联想到中位线。

（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
例4：如图，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。
  求证：DE=DF。

例5：△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。

解题后的思考：
（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。
（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO从而得以解决。
④如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP从而得以解决。

（5）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例6：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。
求证：CD=AD+BC。

2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。
小结：三角形
图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角形。三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。

全等三角形中的常见辅助线的添加方法举例

一． 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。
例：如图1：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF。

二、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。
例：：如图2：AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＋CF＞EF

三、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。
例：如图3：AD为 △ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。

图3

练习：已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证EF＝2AD。

四、截长补短法作辅助线。
例如：已知如图5：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点。
求证：AB－AC＞PB－PC。

五、延长已知边构造三角形：
例如：如图6：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B，
求证：AD＝BC

六、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
例如：如图7：AB∥CD，AD∥BC 求证：AB=CD。

七有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
例如：如图8：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E 。求证：BD＝2CE

图8

八、连接已知点，构造全等三角形。
例如：已知：如图9；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。

九、取线段中点构造全等三有形。
例如：如图10：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。