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实验二 线性连续定常系统的运动分析
一、实验目的
1．掌握线性连续定常系统的状态转移矩阵的求法，学会用MATLAB求解状态转移矩阵。
2．掌握线性连续定常系统的状态方程的求解方法，学会用MATLAB求解线性连续定常系统的时间响应，并绘制相应的状态响应曲线和输出响应曲线。
二、实验原理
1．线性连续定常系统状态转移矩阵的计算
设线性连续定常系统的状态空间表达式为，则其状态转移矩阵为

从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵。
对于线性连续定常系统，其状态转移矩阵与其矩阵指数函数相同，可利用直接求解法、拉氏变换法、标准型法和待定系数法等方法对其进行求解。
（1）直接求解法

（2）拉氏变换法

（3）标准型法
对系统矩阵A进行线性非奇异变换，将其变换为对角线矩阵或约旦矩阵，其中为非奇异变换阵。状态转移矩阵为
，其中
若A的特征值两两互异，则为对角线矩阵，此时

若A有n重特征值，则为约旦矩阵，此时

（4）待定系数法
根据凯莱－哈密顿（以下简称C-H）定理，线性连续定常系统的状态转移矩阵为

其中，为t 的标量函数，可按A的特征值确定。

若A的特征值两两互异，则

若A有n重特征值，则

2．线性连续定常系统的时间响应
设线性连续定常系统的状态空间表达式为
，满足初始条件
则其状态方程的解（状态响应）为
（直接求解法）
（拉氏变换法）
其输出方程的解（输出响应）为
或

3．MATLAB相关函数命令简介
（1）矩阵指数函数expm( )
phi=expm(A*t)：返回常矩阵A的矩阵指数函数，其中phi的维数和矩阵A的维数相同。
（2）拉氏逆变换ilaplace( )
g=ilaplace(G)：返回函数G(s)的拉氏逆变换g(t)，即

（3）任意输入下系统响应lsim( )
[y,x]=lsim(sys,u,t,x0)：直接求取线性系统在任意输入信号下的响应，其中sys为线性系统模型，u为与时间向量t对应的输入向量，y表示输出响应y(t)，x表示状态响应x(t)。
（4）单位阶跃响应step( )
[y,t,x]=step(sys)：返回系统在零状态条件下的单位阶跃响应，其中y表示单位阶跃输出响应y(t)，x表示单位阶跃状态响应y(t)；
step(sys)：此时不返回任何变量，而自动地绘制单位阶跃响应输出曲线。
相关响应函数：脉冲响应函数impulse( )，零输入响应函数initial( )
（5）二维图像绘制plot( )
plot(x,y)：绘制y=y(x)函数的二维图形，其中x和y具有相同维数的列向量或行向量。
三、实验内容
1．状态转移矩阵的计算
（1）已知某线性连续定常系统的系统矩阵为
a．根据直接求解法（expm函数）和拉氏变换法（ilaplace函数）分别求解该系统的状态转移矩阵，并比较这2种方法获得的状态转移矩阵是否相同；
b．计算时的状态转移矩阵的值。
2．线性连续定常系统的状态响应和输出响应
（1）已知某线性连续定常系统的状态空间表达式为
，其中，
a．利用ilaplace( )函数求解该系统的状态响应和输出响应的解析解；
b．利用lsim( )函数计算该系统的状态响应和输出响应的数值解；
c．根据状态响应和输出响应的数值解结果，利用plot( )函数绘制其状态响应曲线和输出响应曲线。

（2）已知某线性连续定常系统的状态方程为，其中初始状态,利用step( )函数求解单位阶跃函数输入时系统的状态响应，并绘制该状态响应曲线。