公开课教学设计(正余弦定理及其应用).doc

解三角形教学设计
四川泸县二中 吴超
教学目标
1. 知识与技能
掌握正、余弦定理，能运用正、余弦定理解三角形，并能够解决与实际问题有关的问题。
2. 过程与方法
通过小组讨论，学生展示，熟悉正、余弦定理的应用。
3. 情感态度价值观
培养转化与化归的数学思想。
教学重、难点
重点：正、余弦定理的应用
难点: 正、余弦定理的实际问题应用
拟解决的主要问题
这部分的核心内容就是正余弦定理的应用。重点突出三类问题：
（1）是围绕利用正、余弦定理解三角形展开的简单应用
（2）是三角函数、三角恒等变换等和解三角形的综合应用
（3）是围绕解三角形在实际问题中的应用展开
教学流程
知识回顾

典例分析

小组讨论

展示总结

教学过程
一、知识方法整合
1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有 = = =
2、三角形面积公式： = =
3、余弦定理：中= = =
4、航海和测量中常涉及如仰角、俯角、方位角等术语
5、思想与能力：代数运算能力，分类整合，方程思想、化归与转化思想等
二、典例探究
例1 [2012·四川卷]（小组讨论，熟悉定理公式的应用）
如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin∠CED=_______（尝试多法）

解3：等面积法
解4：观察角的关系，两角和正切公式
解5：向量数量积定义
练1：在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
解1：由正弦定理a2≤b2＋c2－bc，由余弦定理可知bc≤b2＋c2－a2=2bccosA，即有cosA≥，所以角A的取值范围为，选择C.

解2：∵sin2A=sin2(B+C)=[sinBcosC+cosBsinC] 2
=sin2Bcos2C+2sinBsinCcosBcosC+cos2Bsin2C≤sin2B+sin2C-sinBsinC
∴sinBsinC（1+2cosBcosC）≤2sin2B sin2C1+2cosBcosC≤2sinB sinC(sinBsinC≠0)
2(cosBcosC-sinB sinC)+1= 2cos(B+C)+1≤0∴cosA≥， A∈
小结：已知两边和一边对角或已知两角一边用正弦定理；已知两边及其夹角或已知三边用余弦定理。
（1）化角为边，用余弦定理及其变形求解。
（2）化边为角，用正弦定理及三角恒等变换求解。
（3）遇齐次式，优先考虑正弦定理．
（4）注重几何知识的应用
（5）在化简恒等式时，不要轻易约去因式.
例2在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

(1)求cos A的值；
(2)若，b＝5，求向量在方向上的投影．
分析：（1）先降次，然后进行三角恒等变换；
（2）先作出三角形，分析已知量，利用正余弦定理求解；
（3）向量乘积的几何意义
解：(1)由2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝，得[cos(A－B)＋1]cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝，
即cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝.
则cos(A－B＋B)＝，即cos A＝.
(2)由cos A＝，0＜A＜π，得sin A＝，
由正弦定理，有，
所以，sin B＝.
由题知a＞b，则A＞B，故.
根据余弦定理，有＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1或c＝－7(舍去)．
故向量在方向上的投影为||cos B＝.
点评：体现运算求解能力，化归与转化等数学思想

讨论展示
如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于____m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：，，，，）
解：如图

小结：应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：
(1)分析——准确理解题意，分清已知与所求，画出示意图
(2)建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立数学模型
(3)求解——运用正弦定理、余弦定理有序的解出三角形。
(4)检验——检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．
三、总结提升
1.边角互化：熟练使用正、余弦定理
2.转化与化归思想：解三角形问题是历年高考的热点，常与三角恒等变换等相结合考查正弦、余弦定理的应用。
解题的实质是将三角形中的问题转化为代数问题或方程问题，在此过程中也常利用三角恒等变换知识进行有关的转化．可以说，三角形问题的核心就是转化与化归．
四、布置作业
解三角形练习题单
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