函数定义域的求法整理(整理详细版).doc

函数定义域的求法整理
一、常规型
即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例1 求函数的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足

由①解得 或。 ③
由②解得 或 ④
③和④求交集得且或x>5。
故所求函数的定义域为。
例2 求函数的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足

由①解得 ③
由②解得 ④
由③和④求公共部分，得

故函数的定义域为
二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1） 已知的定义域，求的定义域。
（2） 其解法是：已知的定义域是［a，b］求的定义域是解，即为所求的定义域。
例3 已知的定义域为［－2，2］，求的定义域。
解：令，得，即，因此，从而，故函数的定义域是。
（2）已知的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
例4 已知的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。
解：因为。
即函数f(x)的定义域是。

三、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例5 已知函数的定义域为R求实数m的取值范围。
分析：函数的定义域为R，表明，使一切x∈R都成立，由项的系数是m，所以应分m=0或进行讨论。
解：当m=0时，函数的定义域为R；
当时，是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是

综上可知。
评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。
例6 已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围。
解：要使函数有意义，则必须≠0恒成立，因为的定义域为R，即无实数
①当k≠0时，恒成立，解得；
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。求函数的定义域。
解：设矩形一边为x，则另一边长为于是可得矩形面积。

。
由问题的实际意义，知函数的定义域应满足

。
故所求函数的解析式为，定义域为（0，）。

例8 用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。

解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。
因为CD=AB=2x，所以，所以，
故

根据实际问题的意义知

故函数的解析式为，定义域（0，）。
五、参数型
对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。
例9 已知的定义域为［0，1］，求函数的定义域。
解：因为的定义域为［0，1］，即。故函数的定义域为下列不等式组的解集：
，即
即两个区间［－a，1－a］与［a，1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知
（1）当时，F（x）的定义域为；
（2）当时，F（x）的定义域为；
（3）当或时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不能构成函数。

六、隐含型
有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。
例10 求函数的单调区间。
解：由，即，解得。即函数y的定义域为（－1，3）。
函数是由函数复合而成的。
，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t在区间上是增函数；在区间上是减函数，而在其定义域上单调增；
，所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数。