体验线段垂直平分线的性质.doc

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专题讲座
体验线段垂直平分线的性质
□ 江苏 高 峰
一、计算
图1
例1 如图1，在△ABC中，DE垂直平分AB交BC于点E，已知AC=5 cm，△ADC的周长为17 cm，求BC的长.
分析：根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD，再由△ADC的周长为17 cm可以得到AD+DC的长，利用等量代换可得BC的长．
解：因为DE垂直平分AB，所以AD=BD.
因为△ADC的周长为17 cm，AC=5 cm，所以AD+DC=17﹣5=12（cm）.
因为AD=BD，所以BC=BD+CD=12 cm．
点评：本题主要利用线段垂直平分线的性质将AD+DC转化为线段BC，体现了转化思想的应用．
二、证明
例2 如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC边的垂直平分线MN交于点M，过点M作MD⊥AB，ME⊥BC，垂足分别为D，E，求证AD=CE．
分析：要证明线段AD=CE，直接证明比较困难，可将这两条线段转化到两个三角形中．连接AM，CM，利用垂直平分线和角的平分线的性质即可得到相关全等三角形的条件.
证明：连接AM，CM．
因为MN是AC边的垂直平分线，BM是∠ABC的平分线，MD⊥AB，ME⊥BC，所以AM=CM，DM=EM.
在Rt△AMD和Rt△CME中，AM=CM，DM=EM，所以Rt△AMD≌Rt△CME（HL）.所以AD=CE．
点评：本题综合运用线段垂直平分线和角平分线的性质构造全等三角形，从而证明线段相等，当题中出现线段的垂直平分线和角平分线时，要想到运用其性质解题.