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椭圆定义与几何意义习题及答案
一、选择题　(每小题4分，共40分)
1. 若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 （ ）
A．（0，+∞） B．（0，2）
C．（1，+∞） D．（0，1）
2. 已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．(0,1) B． C． D．
3. 已知椭圆的左焦点是，右焦点是，点在椭圆上，如果线段的中点在 轴上，那么 的值为
A． B． C． D．
4. 已知椭圆的两个焦点为，，是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
5. 设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
6. 椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=，且∈[,]，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．[,1 ) B．[,] C．[，1) D．[,]
7. 设抛物线的焦点恰好是椭圆的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点，则该椭圆的离心率为
（A） （B） （C） （D）
8. 在椭圆上有一点M，是椭圆的两个焦点，
若，则椭圆离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
9. 设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为 （ ）
A. B.
C. D.
10. 在椭圆上有一点M，是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题　(共4小题，每小题4分)
11. 已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1、F2，点P是C1与C2的一个公共点，是一个以PF1为底的等腰三角形，C1的离心率为则C2的离心率
为 。
12. 设F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△PF1F2的面积等于 ．
13. 椭圆上的点到它的两个焦点、的距离之比，且，则的最大值为 ．.
14. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆
的左顶点为，左焦点为，上顶点为，若，则椭圆的离心率是 .

三、解答题　(共44分，写出必要的步骤)
15. （本小题满分10分）已知点P（4，4），圆C：与椭圆E： 有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，
直线PF1与圆C相切．
（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；
（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．
16. （本小题满分10分） 已知椭圆经过点M（-2，-1），离心率为。过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q。
（I）求椭圆C的方程；
（II）能否为直角？证明你的结论；
（III）证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值。
17. （本小题满分12分）已知椭圆经过点M（-2，-1），离心率为。过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q。
（I）求椭圆C的方程；
（II）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论。

18. （本小题满分12分）已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

3
2
4

0
4

（Ⅰ）求的标准方程；
（Ⅱ）请问是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交不同两点且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

答案
一、选择题
1. D2. C3. D4. C5. B6. B7. C8. B9. B10. B
二、填空题
11. 3 12. 413. 14.
三、解答题
15. 解：（Ⅰ）点A代入圆C方程，
得．
因为m＜3，∴m＝1． …… 2分
圆C：．
设直线PF1的斜率为k，
则PF1：，
即．
因为直线PF1与圆C相切，
所以．
解得．
当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．
当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，
所以c＝4．F1（－4，0），F2（4，0）．
2a＝AF1＋AF2＝，，a2＝18，b2＝2．
椭圆E的方程为：． 2
（Ⅱ），设Q（x，y），，
．
因为，即，
而，∴－18≤6xy≤18．
则的取值范围是[0，36]．
的取值范围是[－6，6]．
所以的取值范围是[－12，0]．
16. （Ⅰ）由题设，得＋＝1， ①
且＝， ②
由①、②解得a2＝6，b2＝3，
椭圆C的方程为＋＝1．
（Ⅱ）记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．
设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得
(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，
－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝，x1＝．
设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，
同理得x2＝．
因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，
故kPQ＝＝＝＝＝1，
因此直线PQ的斜率为定值．

17. （Ⅰ）由题设，得＋＝1， ①
且＝， ②
由①、②解得a2＝6，b2＝3，
椭圆C的方程为＋＝1．………………………………………………………3分
（Ⅱ）设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为－k，
假设∠PMQ为直角，则k·(－k)＝－1，k＝±1．
若k＝1，则直线MQ方程y＋1＝－(x＋2)，
与椭圆C方程联立，得x2＋4x＋4＝0，
该方程有两个相等的实数根－2，不合题意；
同理，若k＝－1也不合题意．
故∠PMQ不可能为直角．…………………………………………………………6分
（Ⅲ）记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．
设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得
(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，
－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝，x1＝．
设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，
同理得x2＝．…………………………………………………………9分
因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，
故kPQ＝＝＝＝＝1，
因此直线PQ的斜率为定值．……………………………………………………12分
18. 解：（Ⅰ）设抛物线，则有，据此验证个点知（3，）、（4，4）在抛物线上，易求 ………………2分
设：，把点（2，0）（，）代入得：
解得
∴方程为 …………………………………………………5分
（Ⅱ）法一：
假设存在这样的直线过抛物线焦点，设直线的方程为两交点坐标为，
由消去，得…………………………7分
∴ ①
② ………………………9分
由，即，得
将①②代入（*）式，得， 解得 …………………11分
所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为：或……………………………………………………………………12分
法二：容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意；……………………………6分
当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为
由消掉，得 ， …………8分
于是 ， ①

即 ② ………………………………10分
由，即，得
将①、②代入（*）式，得 ，解得；……11分
所以存在直线满足条件，且的方程为：或．………12分