常微分方程模拟试题(1)及参考解答.doc

常微分方程模拟试题及参考解答（1）

得分 评卷人 一、填空题（每小题3分，本题共15分）

1．方程所有常数解是　　 　　．
2．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个．
3．一阶微分方程的一个特解的图像是　　 　　维空间上的一条曲线．
4．方程的基本解组是 ．
5．若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点．

得分 评卷人 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）

6．若是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，则在其定义的区间上，它们（ ）．
（A）可以有共同零点 （B）可在处有共同零点
（C）没有共同零点 （D）可在处有共同零点
7. 连续是保证对满足李普希兹条件的（ ）条件．
（A）充分 （B）充分必要 （C）必要 （D）必要非充分
8．方程（ ）奇解．
　　（A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个
9．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ）．
（A）不是其对应齐次微分方程组的解 （B）是非齐次微分方程组的解
（C）是其对应齐次微分方程组的解 （D）是非齐次微分方程组的通解
10．方程通过点(1, 1)的解为，其有定义的区间是（ 　）．
　　(A) 　　　　(B) 　(C) 　　　(D)

得分 评卷人 三、计算题（每小题６分，本题共30分）

求下列方程的通解或通积分：
11.
12.
13.
14．
15．

得分 评卷人 四、计算题（每小题10分，本题共20分）

16．求方程的通解．
17．求下列方程组的通解．

得分 评卷人 五、证明题（每小题10分，本题共20分）

18．设，是方程

的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C．
19．在方程中，已知，在上连续．求证：该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切．

常微分方程模拟试题（1）参考答案及评分标准
（供参考）
一、填空题（每小题3分，本题共15分）
1．
2．n
3．2
4．，
5．没有
二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
6．C 7．A 8．C 9．C 10．A
三、计算题（每小题６分，本题共30分）
11．解 方程化为

令，则，代入上式，得
（3分）
分量变量，积分，通解为

原方程通解为
（6分）
12．解 齐次方程的通解为
（2分）
令非齐次方程的特解为

代入原方程，确定出 （5分）
原方程的通解为
+ （6分）

13．解 因为，所以原方程是全微分方程． （3分）
取，原方程的通积分为

即 （6分）
14．解 原方程是克来洛方程，通解为
（6分）
15．解 原方程是恰当导数方程，可写成

即 （3分）
分离变量解此方程，通积分为
（6分）
四、计算题（每小题10分，本题共20分）
16．解 对应齐次方程的的通解为
（4分）
令非齐次方程的特解为

满足
（6分）
解得
积分，得 ，
原方程通解为
（10分）
17．解 特征方程为 ，
特征根为，， （4分）
和对应的特征向量分别为
（8分）
故原方程组的通解为
（10分）
五、证明题（每小题10分，本题共20分）
18．证明 设，是方程的两个解，则它们在上有定义，其朗斯基行列式为

由已知条件，得

故这两个解是线性相关的． （5分）
由线性相关定义，存在不全为零的常数，使得
，
由于，可知．否则，若，则有，而，则，这与，线性相关矛盾．故 （8分）
（10分）
19．证明 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是． （2分）
显然，该方程有零解． （5分）
假设该方程的任一非零解在x轴上某点处与x轴相切，即有= 0，那么由解的惟一性及该方程有零解可知，这是因为零解也满足初值条件= 0，于是由解的惟一性，有 ．这与是非零解矛盾． （10分）

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