正多边形和圆知识点整理+典型例题+课后练习.doc

个性化辅导教案
学生姓名： 授课教师： 所授科目：
学生年级: 上课时间： 2016 年 月 日 时 分至 时 分 共 小时
教学标题
正多边形和圆
教学重难点

知识梳理：
1、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。
2、正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
正n边形每一个内角的度数为：
正n边形的一个中心角的度数为：
正多边形的中心角与外角的大小相等。
3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是180°。
4、圆内接正n边形的性质（n≥3，且为自然数）：
(1) 当n为奇数时，圆内接正n边形是轴对称图形，有n条对称轴；但不是中心对称图形。
(2) 当n为偶数时，圆内接正n边形即是轴对称图形又是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心，即外接圆的圆心。
5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系：(设圆内接正多边形的半径为r，边心距为d)
（1）圆内接正三角形： （2）圆内接正四边形： （3）圆内接正六边形：
6、常见圆内接正多边形半径r与边长x的关系：
（1）圆内接正三角形： （2）圆内接正四边形： （3）圆内接正六边形：x=r
7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关，要做半径为R的正n边形，只要把半径为R的圆n等分，然后顺次连接各点即可。
（1）用量角器等分圆周。
（2）用尺规等分圆（适用于特殊的正n边形）。

8、定理1：把圆分成n(n≥3)等份：
(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；
(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。
说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边。．
(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件。
(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形。
定理2： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
经典例题
例1、已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积。
分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的。

例2：已知⊙O和⊙O上的一点A(如图).
(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
(2)在(1)题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的一边.

例3（中考）：
如图，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？

课堂练习：
选择题
　　1．一个正多边形的一个内角为120°，则这个正多边形的边数为(　 )
　　A．9　　　 B．8　　　 C．7　　　　 D．6
　　2．如图所示，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是(　 )
　　A． cm　　　 B． cm　　　 C．cm　　　　 D．1 cm

　　　　　第2题图　　　　　　　　 第3题图　　　　　　　　第4题图

　　3．如图所示，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形(阴影部分)外轮廓线的周长是 (　 )
　　A．7　　　　 B．8　　　 C．9　　　　 D．10
4．如图4所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（ ）．
A．60° B．45° C．30° D．22．5°
5．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（ ）
A．18° B．36° C．72° D．144°
6．正六边形的周长为12，则同半径的正三角形的面积为________，同半径的正方形的周长为________．
7. 正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为　　　　 .
8．如图所示，正△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，求△ABC的边长a，周长P，边心距r，面积S．

巩固练习
姓 名

所授科目年级

授课老师
米晓菲
完成时间

1.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( )
A. B. C. D.
2.已知正多边形的边心距与边长的比为，则此正多边形为( )
A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形
3.已知正六边形的半径为3 cm，则这个正六边形的周长为__________ cm.
4.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于___________度.
5.如图，两相交圆的公共弦AB为2，在⊙O1中为内接正三角形的一边，在⊙O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.

6.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.
思路分析：由正多边形的内角与外角公式可求.

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