逆命题与逆定理.doc

一、本节学习指导
这一节重在理解命题的概念，命题是能判断一件事情的正确与错误的句子，不能是问句，也不能是省略句，这个句子必须是完整的，并且能判断正确与否才叫做命题。
2、数学命题通常由题设、结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。因此命题可以写成“如果······，那么······”的形式。
3、人们从长期实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始数据。
例：下列不是命题的是：（①②③⑤）
①．2008年奥运会的举办城是北京；
②．如果一个三角形三边a，b，c满足a2=b2+c2，则这个三角形是直角三角形；
③．同角的补角相等；
④．过点P作直线l的垂线
⑤．要了解一批新型导弹的性能，采用抽样调查的方式
⑥．明天可能会下雪
解析：
①，是，符合命题定义；
②，是，符合命题定义且能判定为真命题；
③，是，符合命题的定义且能判定为真命题；
④，不是，不能判定真假即不符合命题定义；
⑤，是，能判断做出判断；
⑥，不是，可能代表不确定性，所以不能判断真假；

4、有些命题是从公理或其他真命题出发，用推理的方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。
二、知识要点
1、 命题、定理、证明
⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：
（1）命题必须是个完整的句子；
（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分）
真命题（正确的命题）
命题
假命题（错误的命题）
所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
⑶ 公理：有些命题的正确性是人们在长期实践过程中总结出来的，并把他作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫公理。
⑷ 定理：从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并可以作为判断命题 其他真假的依据，这样的命题叫定理。⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
⑹ 证明的一般步骤
① 根据题意，画出图形。
② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过
2、 常用数学口诀.
平方差公式:
口诀：平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。
完全平方差公式:
完全平方和公式：
口诀：完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；
首±尾括号带平方，尾项符号随中央。
证明
知识点一 证明的含义
从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判定该命题为真，这个过程叫做证明。
注意：（1）证明一个命题时，首先要分清命题条件和结论，其次要从已知条件出发，运用定义、公理、定理进行推理，得出结论。
（2）证明的过程必须做到步步有据。
知识点二 命题的证明
证明几何命题的表述格式：（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程。
知识点三 折叠问题
1、 同旁，与其重叠或不重叠；显然，“折”是过程，“叠”是结果。折叠，就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分在这条直线
2、 折叠的性质：折叠不改变图形的大小和形状，即折叠部分在折叠前后是全等的图形，满足公理“轴反射”
知识点四 反证法
从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
反证法的关键在于反设所证命题的结论。适用范围：证明一些命题，且正面证明有困难，情况多或复杂，而否定则比较简单。
反证法证题步骤：（1）假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（3）由矛盾判断假设不正确，从而肯定命题的结论成立。
例 在 △ABC中，∠A 、∠B 、∠C是它的三个内角。
求证：在∠A 、∠B、 ∠C中不可能有两个直角。
逆命题与逆定理
知识点：
一、命题
1．概念：对事情进行判断的句子叫做命题．
2．组成部分：命题由题设和结论两部分组成．每个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，“如果”的内容部分是题设，“那么”的内容部分是结论．
3．分类：命题分为真命题和假命题两种．判断正确的命题称为真命题，反之称为假命题．验证一个命题是真命题，要经过证明；验证一个命题是假命题，可以举出一个反例．
例： “两直线平行，内错角相等”的题设是______，结论是_____它是 命题。
练习
1．命题“平行四边形的对角线互相平分”的条件是_____，结论是
______．

二、互逆命题
1．概念：互逆定理：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。2．说明：
（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；
（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；
（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然．
例1． 指出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题．
（1）两直线平行，同旁内角互补；
（2）直角三角形的两个锐角互余；
（3）对顶角相等．
（1）题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”；逆命题是“如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行”．
（2）题设是“如果一个三角形是直角三角形”，结论是“那么这个三角形的两个锐角互余”；逆命题是“如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．
（3）题设是“如果两个角是对顶角”，结论是“那么这两个角相等”；逆命题是“如果有两个角相等，那么它们是对顶角”．
名师点金：当一个命题的逆命题不容易写时，可以先把这个命题写成“如果……，那么……”的形式，然后再把题设和结论倒过来即可．
几何证明知识点
逆命题和逆定理
1、在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
2、如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。
3、每个命题都有逆命题，但每个定理不一定都有逆定理。
线段的垂直平分线
1、定理：线段垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
2、逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
3、线段垂直平分线可以看作和一条线段两个端点距离相等的点的集合。
角的平分线
1、角的平分线的概念：从角的顶点出发，等分这个角的射线，叫做这个角的平分线。
2、角是轴对称图形，它的对称轴是这个角的平分线所在的直线。
3、角的平分线性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
4、角的平分线性质的逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
5、角的平分线可以看作这个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的集合。
直角三角形全等的判定
1、直角三角形是特殊的三角形，对于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都适用。
2、直角三角形全等的判定定理
定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为H.L.）。
直角三角形的性质
直角三角形的性质，可以从它的角、边以及特殊线段之间构成的各种关系的特征去理解。
1、定理1：直角三角形的两个锐角互余。
2、定理2：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于。
勾股定理
1、在直角三角形中，斜边大于直角边。
2、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。
4、勾股定理及其逆定理在实际生活中有着广泛的应用。
两点的距离公式
在直角坐标平面内：
1、轴或平行于轴的直线上的两点，间的距离。
2、轴或平行于轴的直线上的两点，间的距离。
3、在轴上一点与在轴上一点之间的距离
4、任意两点，之间的距离公式是
练习
1．命题“矩形的对角线相等”的逆命题是__________________．
2．命题“如果∠A=65°，∠B=25°，那么∠A与∠B互余”的逆命题是________，它的逆命题是_______(填“真”或“假”)命题．
3．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题的条件是___________，结论是_____________．
写出下列命题的逆命题，并判断原命题、逆命题的真假。
1、全等三角形的对应角相等；
2、自然数必为有理数；
3、若|a|＝|b|，则a＝b；
4、若a＝b，则；
5、若x＝a，则；
解：1、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形。原命题为真命题，逆命题为假命题；
2、逆命题为：有理数必为自然数。原命题为真命题，逆命题为假命题；
3、逆命题为：若a＝b，则|a|＝|b|。原命题为假命题，逆命题为真命题；
4、逆命题为：若，则a＝b。原命题为为真命题，逆命题为真命题；
5、逆命题为：若，则x＝a。原命题为真命题，逆命题为假命题。
练习．写出下列命题的逆命题．
(1)如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0． (2)如果a＞0，那么a2＞0．(3)等角的补角相等．(4)对顶角相等．
三、互逆定理
1．概念：如果一个定理的逆命题也是定理（即真命题），那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．
2．说明：
（1）不是所有的定理都有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这是一个假命题，所以“对顶角相等”没有逆定理．
（2）互逆定理和互逆命题的关系：互逆定理首先是互逆命题，是互逆命题中要求更为严谨的一类，即互逆命题包含互逆定理．
四、互逆定理举例
1．等腰三角形的性质定理与判定定理
性质定理：等腰三角形底角相等．
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，则这个三角形是等腰三角形．
1． 角平分线的性质定理与判定定理
性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等．
判定定理：到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上．
3．线段垂直平分线的性质定理与判定定理
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等．
判定定理：到一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
4．勾股定理及其逆定理
勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．即若用a，b表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边，则a2+b2=c2．
勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．即若用a，b，c表示一个三角形的三边长，其中c为最长边，且满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形，边c所对的角是直角．
基础巩固题
1．下列语言是命题的是 ( )A．画两条相等的线段B．等于同一个角的两个角相等吗
C．延长线段AD到C，使OC=OAD．两直线平行，内错角相等
2．下列命题中真命题的个数是 ( ) ①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则其斜边为； 、 ②直角三角形的最大边长为，最小边长为1，则另一边长为；
③在直角三角形中，若两直角边边长为9和40，则斜边长为41； ④等腰三角形的面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．
A．1个 B．2个 c．3个 D．4个
3．下列命题的逆命题是真命题的是 ( )A．直角都相B．钝角都小于180。C．如果x2+y2=0，那么x=y=0 D．对顶角相等
4．下列说法中，正确的是 ( )A．一个定理的逆命题是正确的B．命题“如果x<0，y>0，那么xy<0”的逆命题是正确的
C．任何命题都有逆命题D．定理、公理都应经过证明后才能用
5．下列这些真命题中，其逆命题也真的是 ( )A．全等三角形的对应角相等B．两个图形关于轴对称，则这两个图形是全等形
C．等边三角形是锐角三角形D．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
6．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( )
A．8，15，17 B．4，5，6 C．5，8，10 D．8，39，40
7．证明一个命题是假命题的方法有__________．
8．将命题“所有直角都相等”改写成“如果……那么…”的形式为___________。
9．举例说明“两个锐角的和是锐角”是假命题。
10．如图19—4—7所示，已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a+b＝4，ab=1，c=。试判断△ABC的形状．
探究提高题
11．下列说法中，正确的是 ( ) A．每个命题不一定都有逆命题 B．每个定理都有逆定理
c．真命题的逆命题仍是真命题D．假命题的逆命题未必是假命题
12．下列定理中，没有逆定理的是 ( )
A．内错角相等，两直线平行 B．直角三角形中两锐角互余
c．相反数的绝对值相等 D．同位角相等，两直线平行
拓展延伸题
15．下列命题中的真命题是 ( ) A．锐角大于它的余角 B．锐角大于它的补角 c．钝角大于它的补角 D．锐角与钝角之和等于平角
16．已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．
其中，正确命题的个数为 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
中考模拟
例2．某同学写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是“如果一个三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，你认为他写得对吗?
分析：写出一个命题的逆命题，是把原命题的题设和结论互换，但有时需要适当的变通，例如“等腰三角形的两底角相等”的逆命题不能写成“两底角相等的三角形是等腰三角形”，因为我们还没有判断出是等腰三角形，所以不能有“底角”这个概念．
解：上面的写法不对．原命题条件是直角三角形，斜边是直角三角形的边的特有称呼，该同学写的逆命题的条件中提到了斜边，就已经承认了直角三角形，就不需要再得这个结论了．因此，逆命题应写成“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”．
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