实变函数A卷.doc

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诚信应考,考试作弊将带来严重后果！
华南理工大学期末考试《实变函数-A》试卷
注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚；
2. 所有答案请直接答在答题纸上；
3．考试形式：闭卷；
4. 本试卷共四大题，满分100分， 考试时间120分钟。
题号
一
二
三
四
总分
得分

评卷人

一、 多项选择题（4×3分=12分）
1.设是孤立点集，则（ ）。
A. B. C. D.
2. 设是可测集上的简单函数列，，则（ ）。
A. 是上的简单函数； B. 是上的可测函数；
C. 是上的可积函数。
3. 设，则 是 上的（ ）。
A. 绝对连续函数 B. 有界变差函数 C. 单调函数
4. 设是可测的，则（ ）。
A. ，均可测； B. 又若可测，那么可测；
C. 又若，那么可测； D.又若可测，，那么可测。姓名 学号 学院 专业 座位号
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二、简答题（2×6分=12分）
1. 试问Cantor函数是否是有界变差函数？是否是绝对连续函数？ 姓名 学号 学院 专业 座位号
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是否是绝对连续函数？（说明理由，不必证明）

2. 叙述可测函数列几乎处处收敛、依测度收敛、近一致收敛的定义，并说明它们之间的关系。（不需证明）

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三、下列命题是否正确？若正确给出证明；若不正确举出反例。（5×7分=35分）
1. 设是有界可测集，在上可测, ,， 则。

2.设，则且。

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3. 设，则，使得。

4. 设，则。

5. 设，，
则.

四、证明题（共41分）
1. 证明 . （8分）

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2. 设，，证明：(1), (2) .（10分）

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3.（1）设，则.（5分）
（2）若，则.（6分）

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4.设是上的实值函数，若，闭子集且 在上连续，证明是上几乎处处有限的可测函数.（12分）
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