完全平方公式知识点分解.doc

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乘法公式知识点分解 李锦扬整理

一、 知识点1：直接套用公式-----注：（－a－b）2=（a＋b）2 ，（－a＋b）2=（a－b）2
1、（1）（a－b）2； （2）（2x－3y）2 （3）

（4）（2a＋3b）2      （5）[x +（-y）] 2 （6）

2．(1)=____________．(2) ______________．
(3)____________．(4)__________．(5)=__________．

二、 知识点2：重复套用公式
（1） （2）

（3）

（4）．某同学在计算时，把3写成4-1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算： ．
请借鉴该同学的经验，计算：．

三、 知识点3：三项
1．若，则= ．

2. 3.

4.（a+2b﹣3）（a﹣2b+3）； 5.

四、知识点4：完全四公式
1．已知实数a、b满足ab=1，a+b=3．
（1）求代数式a2+b2的值； （2）求a﹣b的值．

（3）求代数式a2-b2的值； （4）求a4﹣b4的值．

（5）求a4+b4的值． （6）|x﹣y|

2.已知求和的值

3．已知a+b=4，a﹣b=3，则a2﹣b2=（　　）A．4 B．3 C．12 D．1

4．若成立，则A=
5．已知，，求，和的值。

6．已知：（a﹣b）2=4，ab=，则（a+b）2=______．

7.已知a﹣b=1，a2+b2=25，则a+b的值为______．

8.已知x+y=7且xy=12，则当x＜y时，的值等于______．

9. 若，，则________．
五、知识点5：m+
1．已知：，那么= 2．若m为正实数，且m﹣=3，则m2﹣=______．
3．若m2﹣5m+1=0，则=______． 4．已知2n+2﹣n=k（n为正整数），
则4n+4﹣n=______．（用含k的代数式表示）

六、知识点6：简便运算
1. 1022 2． 20112﹣2010×2012

3. 4．

5. 6、

7、 8、 （2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1

七、知识点7：配方与最值
1．已知4x2+4mx+36是完全平方式，则m的值为（　　）
A．2 B．±2 C．﹣6 D．±6
2.代数式是关于的一个完全平方式，则=
3.若是完全平方式，则m=
4.将多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方．则添加单项式的方法共有多少种？请写出所有的式子及演示过程．
5.将多项式x2+4加上一个整式，使它成为完全平方式，试写出满足上述条件的三个整式：
______，______，______．
6．已知，求的值．7．求代数式的最小值．

8．无论取何值时，的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．非负数
9.若△ABC的三条边、、满足等式，判断△ABC的形状

10.已知a﹣b=b﹣c=，a2+b2+c2=1，则ab+bc+ca的值等于______．

11．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．
例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；
（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；
（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．

12.先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列四个问题：
例题：求代数式的最小值．
解：∵==
∵ ∴ ∴的最小值是4．
(1)（ ）=（ ）2 (2)求代数式的最小值；(2分)

(3)试证明：代数式的值总是正数．(2分)

(4)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=（m），请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？(2分)
解：

八、知识点8：数形结合
1.如图所示的图形面积由以下哪个公式表示（ ）
A．a2－b2＝a（a－b）＋b（a－b）
B．（a－b）2＝a2－2ab＋b2
C．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
D．a2－b2＝a（a＋b）－b（a＋b）

2.如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分的面积），验证了一个等式是（　　）
A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2

3．（2002•泉州）如图，由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a、b的小矩形拼接成矩形ABCD，则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式：__________________．
_______________ _________________

4.图中阴影部分面积等于（）

A. B.
C. D.

5.如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为______．

6..如图,在边长为的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(>b)，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了一个什么公式？为什么？

九、知识点9：混合运算
1.
2． 化简求值 ，其中．
3．解不等式．
4．（2a－3b）（2a＋3b）－（2a－3b）

十、知识点10：压轴提高
1.若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如3=22﹣12，16=52﹣32）．已知按从小到大顺序构成如下列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…．则第2013个“智慧数”是______．

2.请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：

根据前面各式的规律，则（a+b）6=______．

3.若m1，m2，…m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，
若m1+m2+…+m2015=1525， （m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2=1510，
则在m1，m2，…m2015中，取值为2的个数为______．

4．观察下列等式：
1×32×5+4=72=(12+4×1+2)2 2×42×6+4=142=(22+4×2+2)2
3×52×7+4=232=(32+4×3+2)2 4×62×8+4=342=(42+4×4+2)2 ……
(1)根据你发现的规律，12×142×16+4是哪一个正整数的平方；
(2)请把n(n+2)2(n+4)+4写成一个整数的平方的形式．

5．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，
（1－x）（1+x+x2+x3）=1－x4．
（1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+xn）=______．（n为正整数）
（2）根据你的猜想计算：
①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______．②2+22+23+…+2n=______（n为正整数）．
③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=_______．
（3）通过以上规律请你进行下面的探索：①（a－b）（a+b）=_______．
②（a－b）（a2+ab+b2）=______．③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______．

6.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”
（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？

7．图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积：
方法1：______；
方法2：______；
（2）根据（1）的结果，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是______；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：a+b=，a﹣b=，求ab的值．

8.如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上一点，过P点作直线MN和EF，分别平行于AB、BC，交两组对边于点M、N、E. F，则四边形PFDN、PEBM都是正方形，四边形PEAN、PMCF都是长方形，设正方形PEBM的边长为a，正方形PFDN的边长为b．
(1)用代数式分别表示正方形PEBM和正方形PFDN的面积之和以及长方形PEAN与长方形PMCF的面积之和，并判定两个面积之和的大小．
(2)当点P在什么位置时，它们的面积之和相等?
(3)用含a、b的代数式表示

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