万有引力与航天知识点+练习.doc

万有引力与航天
知识点一：人类认识天体运动的历史和开普勒行星运动三大定律
人类认识天体运动的历史
1、“地心说”的内容及代表人物：托勒密
内容；地心说认为地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳，月亮以及其他行星都绕地球运动。
2、“日心说”的内容及代表人物：哥白尼
内容；日心说认为太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动。
开普勒行星运动三大定律
①第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
②第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
推论：近日点速度比较快，远日点速度比较慢。
③第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
即： 其中k是只与中心天体的质量有关，与做圆周运动的天体的质量无关。

例题1：
火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　)
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
解析：选C，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误；不同的行星对应不同的运行轨道，运行速度大小也不相同，B错误；同一行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积才能相同，D错误；由开普勒第三定律得：＝，故＝，故C正确。
练习：
1、地球绕太阳转，周期为T1、轨道半径为r1，火星绕太阳转，周期为T2，轨道半径为r2，月亮绕地球转，周期为T3，轨道半径为r3。人造卫星绕地球转，周期为T4、轨道半径为r4则下列关系式正确的是( )
A. B. C. D.
解析：=K（使用时,必须是对同一中心天体才成立），BC正确。
2、宇宙飞船进入一个围绕太阳运动的近乎圆形的轨道上运动，如果轨道半径是地球轨道半径的9倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是（ ）
A．3年 B．9年 C．27年 D．81年
解析：宇宙飞船的轨道为r1，地球的轨道为r2，因为地球、宇宙飞船都是围绕太阳运动，所以，所以选C
3、地球有一个可能的天然卫星被命名为“J002E2”，这个天体是美国亚利桑那州的业余天文爱好者比尔·杨发现的，他发现“J002E2”并不是路经地球，而是以50天的周期围绕地球运行，其特征很像火箭的残片或其他形式的太空垃圾．由此可知“J002E2”绕地半径与月球绕地的半径之比约为（ ）
A. B. C. D.
解析：此卫星围绕地球运动的周期为T1=50天，月球围绕地球运动的周期为T2=30天，所以
，故选A

知识点二：万有引力定律
1、 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量和的乘积成正比，与它们之间的距离r的二次方成反比。
2、 表达式：，引力的方向沿两球心的连线
3、 引力常量：G=6.67×10-11N·m2/kg2，牛顿发现万有引力定律后的100多年里，卡文迪许在实验室里用扭秤实验测出。
4、 适用条件：
①适用于两个质点间的万有引力大小的计算。
②对于质量分布均匀的球体，公式中的r就是它们球心之间的距离。
③一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离。④两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似的适用，其中r为两物体质心间的距离。
例题2：关于万有引力的说法正确的是（ ）
A．万有引力只有在天体与天体之间才能明显地表现出来
B．一个苹果由于其质量很小，所以它受到的万有引力几乎可以忽略
C．地球对人造卫星的万有引力远大于卫星对地球的万有引力
D．地球表面的大气层是因为万有引力约束而存在于地球表面附近
解析：选D
练习：
4、两个半径均为r的实心铁球靠在一起时，彼此之间的万有引力大小为F。若两个半径为2r的实心铁球靠在一起时，它们之间的万有引力大小为(　　)
A．2F　　　　　　　　 B．4F
C．8F D．16F
解析：选D，　F＝G，其中m1＝πr3·ρ，F′＝G，其中m2＝π(2r)3·ρ。
解得F′＝16F。
5、如图4­4­2所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。下列说法正确的是(　　)

图4­4­2
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
解析：选BC　根据万有引力定律，地球对一颗卫星的引力大小F万＝G，A项错误，由牛顿第三定律知B项正确。三颗卫星等间距分布，任意两星间距为r，故两星间引力大小F万′＝G，C项正确。任意两星对地球引力的夹角为120°，故任意两星对地球引力的合力与第三星对地球的引力大小相等，方向相反，三星对地球引力的合力大小为零，D项错误。

知识点三：天体表面的重力加速度问题
重力是由于物体受到地球的万有引力而产生的，严格说重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下忽略地球自转的影响，认为重力约等于万有引力，即mg＝。

（1）当物体在地球表面， 方法：（条件：忽略地球自转）万有引力≈重力

（2）当物体在地球上空距离地心r=R+h处，这是物体不在随着地球自转，物体受到地球的万有引力等于重力， 方法：

(一)利用重力等于万有引力计算天体表面的重力加速度
例题3 ：有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的(忽略其自转影响)(　　)
A．　　 B．4倍　　　
C．16倍　　 D．64倍
[解析]　天体表面的重力mg＝，又知ρ＝，所以M＝，故＝3＝64。[答案]　D
练习：
6、一个行星，其半径比地球的半径大2倍，质量是地球的25倍，则它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的（ ）
A．6倍 B．4倍 C．25/9倍 D．12倍
7、假设宇宙中有一颗未命名的星体，其质量为地球的6.4倍，一个在地球表面重力为50 N的物体，经测定在该未知星体表面的重力为80 N，则未知星体与地球的半径之比为(　　)
A．0.5 B．2
C．3.2 D．4
解析：选B　由＝80 N，
＝50 N
可得：＝·＝4，故＝2，B正确。
(二)求天体表面某高度或某深度处的重力加速度
例题4：假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(　　)
A．1－　　　　　　　　　 B．1＋
C．2 D．2
[解析]　在地球表面mg＝G，又M＝ρ·πR3，所以g＝G＝πGρR，因为球壳对球内物体的引力为零，所以在深为d的矿井内mg′＝G，得g′＝G＝πGρ(R－d)，所以＝＝1－，可得A正确。
练习：
8、已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为g，则该处距地面球表面的高度为（ ）
A．（—1）R B．R C． R D．2 R

总结：
“天上”：万有引力提供向心力也等于重力（）
“地上”：万有引力近似等于重力

知识点四：天体质量和密度的计算
1．g、r法
利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G＝mg得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
(3)Gm＝gR2称为黄金代换公式，若物体在行星表面，则可用此式计算行星的质量。
2．T、r法
测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G＝m得天体的质量M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
例题5：若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，万有引力常量为G。则下列说法正确的是(　　)
A．月球表面的重力加速度g月＝
B．月球的质量m月＝
C．月球的第一宇宙速度v＝
D．月球的平均密度ρ＝
[解析]　根据平抛运动规律，L＝v0t，h＝g月t2，联立解得g月＝，选项A错误；由mg月＝G解得m月＝，选项B错误；由mg月＝m解得v＝，选项C错误；月球的平均密度ρ＝＝，选项D正确。
练习：
9、若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T，引力常数为G，那么该行星的平均密度为（ ）
A. B. C. D.
10、近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常数)(　　)
A．ρ＝kT B．ρ＝
C．ρ＝kT2 D．ρ＝
解析：选D　火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动时，＝mR，又M＝πR3·ρ，可得ρ＝＝，故只有D正确。
11、设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆。已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足(　　)
A．GM＝ B．GM＝
C．GM＝ D． GM＝
解析：选A　本题考查天体运动，意在考查考生对万有引力定律的理解和应用。由万有引力提供向心力可知，G＝mr，对比各选项可知选A。

知识点五：天体运动与人造卫星
5.1宇宙速度的理解与计算
（1）第一宇宙速度的推导
方法一：由G＝m得
v1＝ ＝ m/s
＝7.9×103 m/s。
方法二：由mg＝m得
v1＝＝ m/s＝7.9×103 m/s。
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π ＝5 075 s≈85 min。
（2）宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s＜v发＜11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。
(3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
例题6：已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为(　　)
A．3.5 km/s　　　　　　　 B．5.0 km/s
C．17.7 km/s D．35.2 km/s
解析：选A　根据题设条件可知：M地＝10 M火，R地＝2R火，由万有引力提供向心力＝m，可得v＝，即＝＝，因为地球的第一宇宙速度为v地＝7.9 km/s，所以航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率v火≈3.5 km/s，选项A正确。
练习：
12、物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1。已知某星球半径是地球半径R的，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B　设某星球的质量为M，半径为r，绕其飞行的卫星质量为m，根据万有引力提供向心力，可得G＝m，解得：v1＝，又因它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的，可得G＝m，又r＝R和v2＝v1，解得：v2＝，所以正确选项为B。

5.2卫星运行参量的分析与比较
（1）四个分析
“四个分析”是指分析人造卫星的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系。
＝
（2）四个比较
(1)同步卫星的周期、轨道平面、高度、线速度、角速度绕行方向均是固定不变的，常用于无线电通信，故又称通信卫星。
(2)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(3)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
(4)赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运动，由万有引力和地面支持力的合力充当向心力(或者说由万有引力的分力充当向心力)，它的运动规律不同于卫星，但它的周期、角速度与同步卫星相等。
例题7：研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时。假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比(　　)
A．距地面的高度变大　　　 B．向心加速度变大
C．线速度变大 D．角速度变大
[解析]　卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，即G＝mr2，得r＝，由于同步卫星的周期等于地球的自转周期，当地球自转变慢，自转周期变大，则同步卫星做圆周运动的半径会变大，离地面的高度变大，A项正确；由G＝ma得，a＝，半径变大，向心加速度变小，B项错误；由G＝m得，v＝ ，半径变大，线速度变小，C项错误；由ω＝分析得，同步卫星的周期变大，角速度变小，D项错误。[答案]　A

练习：
13、如图4­5­1，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)

图4­5­1
A．甲的向心加速度比乙的小
B．甲的运行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大
D．甲的线速度比乙的大
解析：选A　甲、乙两卫星分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力。由牛顿第二定律G＝ma＝mr＝mω2r＝m，可得a＝，T＝2π ，ω＝，v＝。由已知条件可得a甲＜a乙，T甲＞T乙，ω甲＜ω乙，v甲＜v乙，故正确选项为A。

5.3卫星变轨问题分析
1．变轨原理及过程
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图4­5­2所示。

图4­5­2

(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2．三个运行物理量的大小比较
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA＞v1，在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1＜T2＜T3。
例题8：(多选)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1和2相切于Q点，轨道2和3相切于P点，设卫星在1轨道和3轨道正常运行的速度和加速度分别为v1、v3和a1、a3，在2轨道经过P点时的速度和加速度为v2和a2，且当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时周期分别为T1、T2 、T3，以下说法正确的是(　　)

图4­5­3
A．v1＞v2＞v3　　　　　　 B．v1＞v3＞v2
C．a1＞a2＞a3 D．T1＜T2＜T3
[解析]　卫星在1轨道运行速度大于卫星在3轨道运行速度，在2轨道经过P点时的速度v2小于v3，选项A错误B正确；卫星在1轨道和3轨道正常运行加速度a1＞a3，在2轨道经过P点时的加速度a2＝a3，选项C错误。根据开普勒定律，卫星在1、2、3轨道上正常运行时周期T1＜T2＜T3，选项D正确。
[答案]　BD
[方法规律]　卫星变轨的实质
(1)当卫星的速度突然增加时，G＜m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝ 可知其运行速度比原轨道时减小。
(2)当卫星的速度突然减小时，G＞m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝可知其运行速度比原轨道时增大。卫星的发射和回收就是利用这一原理。

练习：
14、如图4­5­4所示，地球卫星a、b分别在椭圆轨道、圆形轨道上运行，椭圆轨道在远地点A处与圆形轨道相切，则(　　)

图4­5­4

A．卫星a的运行周期比卫星b的运行周期短
B．两颗卫星分别经过A点处时，a的速度大于b的速度
C．两颗卫星分别经过A点处时，a的加速度小于b的加速度
D．卫星a在A点处通过加速可以到圆轨道上运行
解析：选AD　由于卫星a的运行轨道的半长轴比卫星b的运行轨道半长轴短，根据开普勒定律，卫星a的运行周期比卫星b的运行周期短，选项A正确。两颗卫星分别经过A点处时，a的速度小于b的速度，选项B错误。两颗卫星分别经过A点处时，a的加速度等于b的加速度，选项C错误。卫星a在A点处通过加速可以到圆轨道上运行，选项D正确。
15、假设将来人类登上了火星，考察完毕后，乘坐一艘宇宙飞船从火星返回地球时，经历了如图4­5­5所示的变轨过程，则有关这艘飞船的下列说法，正确的是(　　)

图4­5­5

A．飞船在轨道Ⅰ上运动时的机械能大于在轨道Ⅱ上运动时的机械能
B．飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以轨道Ⅰ同样的轨道半径运动的周期相同
C．飞船在轨道Ⅲ上运动到P点时的加速度大于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度
D．飞船在轨道Ⅱ上运动时，经过P点时的速度大于经过Q点时的速度
解析：选D　飞船由轨道Ⅰ转变为轨道Ⅱ时在P点应加速，机械能增大，A错误；飞船在轨道Ⅱ上运动时，离火星越远，速度越小，D正确；由＝ma可得：a＝，与飞船速度无关，由飞船到火星中心的距离决定，故C错误；由＝m·r可得：T＝ ，可见飞船在轨道Ⅰ上运动的周期与中心天体的质量也有关，B错误。

5.4宇宙多星模型
(1)如图4­5­6所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：＋＝ma向
两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
图4­5­6

(2)如图4­5­7所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。

图4­5­7
×2×cos 30°＝ma向
其中L＝2rcos 30°。
三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
例题9：（多选）如图6所示，两颗靠得很近的天体组合为双星，它们以两者连线上的某点为圆心，做匀速圆周运动，以下说法中正确的是(　　)

图6
A．它们做圆周运动的角速度大小相等
B．它们做圆周运动的线速度大小相等
C．它们的轨道半径与它们的质量成反比
D．它们的轨道半径与它们的质量的平方成反比
解析：选AC　它们做圆周运动的角速度大小相等，线速度大小不一定相等，选项A正确B错误；由＝mAωA2rA＝mBωB2rB，它们的轨道半径与它们的质量成反比，选项C正确D错误。
练习：
16、（多选）如图7所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，万有引力常量为G，则(　　)

图7
A．甲星所受合外力为
B．乙星所受合外力为
C．甲星和丙星的线速度相同
D．甲星和丙星的角速度相同
解析：选AD　甲星所受合外力为乙、丙对甲星的万有引力的合力，F甲＝＋＝，A正确；由对称性可知，甲、丙对乙星的万有引力等大反向，乙星所受合力为0，B错误；由于甲、乙位于同一直线上，甲、乙的角速度相同，由v＝ωR可知，甲、乙两星的线速度大小相同，但方向相反，故C错误，D正确。

知识点六：天体中的“追及相遇”问题
例题10：两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动，地球半径为，卫星离地面的高度等于，卫星离地面高度为，则：（1）、两卫星运行周期之比是多少？（2）若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，则至少经过多少个周期与相距最远？

练习：
17、如图所示，有A、B两个行星绕同一恒星O沿不同轨道做匀速圆周运动，旋转方向相同．A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星第一次相遇（即两行星距离最近），则下列说法正确的是（ ）

A. 经过时间两行星将第二次相遇
B. 经过时间两行星将第四次相遇
C. 经过时间两行星将第一次相距最远
D. 经过时间两行星将第二次相距最远