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双曲线抛物线知识点大总结
第二章 2.3 双曲线

双曲线
标准方程（焦点在轴）

标准方程（焦点在轴）

定义
第一定义：平面内及两个定点，的距离的差的绝对值是常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
P

P

第二定义：平面内及一个定点和一条定直线的距离的比是常数，当时，动点的轨迹是双曲线。定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数（）叫做双曲线的离心率。
P

P

P

P

范围
，
，
对称轴
轴 ，轴；实轴长为,虚轴长为
对称中心
原点
焦点坐标

焦点在实轴上，；焦距：
顶点坐标
（,0） (,0)
(0, ,) (0，)
离心率
1)=
准线方程

准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：
顶点到准线的距离
顶点（）到准线（）的距离为
顶点（）到准线（）的距离为
焦点到准线的距离
焦点（）到准线（）的距离为
焦点（）到准线（）的距离为
渐近线
方程

共渐近线的双曲线系方程
（）
（）
1. 双曲线的定义
①　 当1|－22a时，则表示点在双曲线右支上；
当时，则表示点在双曲线左支上；
②　 注意定义中的“（小于）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。

若22时，即,当，动点轨迹是以为端点向右延伸的一条射线；当时，动点轨迹是以为端点向左延伸的一条射线；
若2a＞2时，动点轨迹不存在.
2. 双曲线的标准方程判别方法是：
如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；
如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.
对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
3. 双曲线的内外部
(1)点在双曲线的内部.
(2)点在双曲线的外部.
4. 形如的方程可化为
当，双曲线的焦点在轴上；
当，双曲线的焦点在轴上；

5.求双曲线的标准方程，
应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
6. 离心率及渐近线之间的关系

1） 2）
7. 双曲线的方程及渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为渐近线方程：.
(2)若渐近线方程为双曲线可设为.
(3)若双曲线及有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.
(4)及双曲线共渐近线的双曲线系方程是
(5)及双曲线共焦点的双曲线系方程是
(6)当离心率两渐近线互相垂直，分别为，此时双曲线为等轴双曲线，可设为；
8. 双曲线的切线方程
(1)双曲线上一点处的切线方程是.
（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.
（3）双曲线及直线相切的条件是.
9. 直线及双曲线的位置关系
直线： 双曲线C：（＞0，＞0）

1) 当，即时，直线及双曲线的渐进线_平行_，直线及双曲线C相交于一点；
2) 当b22k2≠0，即时，△=(-2a2)2-4(b22k2)(2k2)(2m22b2)
①　 时，直线及双曲线相交，有两个公共点
②　 时，直线及双曲线相切，有且仅有一个公共点
③　 时，直线及双曲线相离，无公共点
3) 直线及双曲线只有一个公共点,则直线及双曲线必相切吗?为什么?（不一定）

10. 关于直线及双曲线的位置关系问题常用处理方法
直线： 双曲线C：（＞0，＞0）
①　 联立方程法：

设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出，
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如
a. 相交弦的弦长

或
b. 中点, ，
②　 点差法：
设交点坐标为，，代入双曲线方程，得

将两式相减，可得

a. 在涉及斜率问题时，
b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，
即，
11. 焦点三角形面积公式：。

一、双曲线的定义
1、第一定义：（>0））。注意：（1）距离之差的绝对值。（2）2a＜1F2|当1|－22a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；
当1|－2－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；
当21F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；
当2a＞1F2|时，动点轨迹不存在。 当0时，轨迹为两定点连线中垂线。
2、第二定义：动点到一定点F的距离及它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)
二、双曲线的标准方程（，其中2c，焦点位置看谁的系数为正数）
焦点在x轴上：（a＞0，b＞0）；焦点在y轴上：（a＞0，b＞0）
焦点不确定时：；及椭圆共焦点的双曲线系方程为：
及双曲线共焦点的双曲线系方程是（）
及双曲线共渐进线（）的双曲线系方程是
三、特殊双曲线：
等轴双曲线：（实虚轴相等，即）
1、形式：（）； 2、离心率； 3、两渐近线互相垂直，为；；
4、等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。
共轭双曲线：（以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线）
1、有共同的渐近线；2、共轭双曲线的四个焦点共圆； 3、离心率倒数的平方和等于1。
四、几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、渐近线
五、相关性质：
1、点及双曲线的位置关系： 2、中点弦的存在性
3、以1为直径的圆必及以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）
4\若在双曲线（a＞0＞0）上，则过的切线方程是.
若在双曲线（a＞0＞0）外 ，则过作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
5、双曲线（a＞0＞o）的焦点角形的面积为
6、以焦点弦为直径的圆必及对应准线相交.7、点P处的切线平分△1F2在点P处的内角.
8、设双曲线（a＞0＞0）的两个焦点为F1、F2（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△1F2中，记, ,，则有
9、已知双曲线（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.（1）;（2）22的最小值为;（3）的最小值是
1，F1、F2是－=1的焦点，其上一点P到F1的距离等于9则P到焦点F2的距离. 17
2．双曲线x22=8的左焦点F1有一条弦在左支上，若7，F2是双曲线的右焦点，则
△2Q的周长是 .
3．过点（2，－2）且及双曲线－y2=1有公共渐近线的双曲线方程是－=1
4．已知是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线及双曲线的左支交于A、B两点,若是正三角形,那么双曲线的离心率为
5．过点A（0，2）可以作_4条直线及双曲线x2－＝1有且只有一个公共点
6．过点P(4,4)且及双曲线－＝1只有一个交点的直线有3条
7．若上点P满足（），求
8．动点及两定点连线斜率之积为正常数时，动点的轨迹为？
9．若是三角形的顶点，且，求顶点A的轨迹
10．圆M及圆外切，及圆内切，求M轨迹
11．已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为
12．求及有公共焦点的双曲线，使它们交点为顶点的四边形面积最大为
13求及有公共焦点，且渐近线为的双曲线为
14．左支一点P到左准线l距离为d，若d, 成等比，求e范围
15．C：右顶点为A，x轴上一点Q（2a,0），若C上一点P使，求e范围
16. 渐近线方程为，则该双曲线的离心率为或
16. 已知双曲线的右顶点为E，双曲线的左准线及该双曲线的两渐近线的交点分别为A、B两点，若∠60°，则该双曲线的离心率2
17. 设，分别为具有公共焦点及的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为2
18．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线：y＝＋m(k≠0，m≠0)及双曲线C交于不同的两点M、N，且线段的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．
解析： (1)设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)联立整理得(1－3k2)x2－6－3m2－3＝0.
∵直线及双曲线有两个不同的交点，∴，
可得m2＞3k2－1且k2≠ ①
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，的中点为B(x0，y0)．
则x1＋x2＝，x0＝＝，y0＝0＋m＝.
由题意，⊥，∵＝＝－(k≠0，m≠0)． 整理得3k2＝4m＋1 ②
将②代入①，得m2－4m＞0，∴m＜0或m＞4.
又3k2＝4m＋1＞0(k≠0)，即m＞－. ∴m的取值范围是∪(4，＋∞)．
19．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线及双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）. 求k的取值范围.
19直线：及双曲线C：的右支交于不同的两点A、B。
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数，使得以线段为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出的值。若不存在，说明理由。
解：（Ⅰ）将直线
……① 依直线l及双曲线C的右支交于不同两点，故

（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为、，则由①式得
……② 假设存在实数k，使得以线段为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）. 则由⊥得：

整理得……③
把②式及代入③式化简得
解得
可知使得以线段为直径的圆经过双曲线C的右焦点.
20.已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线ｙ＝－1及曲线E交于A、B两点。
（Ⅰ）求ｋ的取值范围； （Ⅱ）如果且曲线E上存在点C，使求。
（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，
且，易知， 故曲线的方程为
设，由题意建立方程组
消去，得，又已知直线及双曲线左支交于两点，有
解得
∵ =
整理后得 ∴或，但
∴ 故直线的方程为
设，由已知，得
∴，
又，
∴点，将点代入的方程，得得，
但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
∴，点的坐标为
到的距离为 ∴的面积

抛物线焦点弦性质总结30条

基础回顾
1. 以为直径的圆及准线相切；
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. A、O、三点共线；
9. B、O、三点共线；
10. ；
11. （定值）；
12. ；；
13. 垂直平分；
14. 垂直平分；
15. ；
16. ；
17. ；
18. ；
19. ;
20. ;
21. .
22. 切线方程 高考资源网5
性质深究
一)焦点弦及切线
1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？

结论1：交点在准线上
先猜后证：当弦轴时，则点P的坐标为在准线上．
证明: 从略
结论2 切线交点及弦中点连线平行于对称轴
结论3 弦不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点及弦中点的连线也平行于对称轴．

2、上述命题的逆命题是否成立？
结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点
先猜后证：过准线及x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点．
结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．

3、是抛物线（p＞0）焦点弦，Q是的中点，l是抛物线的准线，，，过A，B的切线相交于P，及抛物线交于点M．则有
结论6⊥．
结论7⊥．
结论8 M平分．
结论9 平分∠A1，平分∠B1．
结论10
结论11

二)非焦点弦及切线
思考：当弦不过焦点，切线交于P点时，
也有及上述结论类似结果：
结论12 ①，
结论13 平分∠A1，同理平分∠B1．
结论14
结论15 点M平分
结论16

相关考题
1、已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且（＞0），过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，
（1）证明：的值；
（2）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值．
2、已知抛物线C的方程为，焦点为F，准线为l，直线m交抛物线于两点A，B；
（1）过点A的抛物线C的切线及y轴交于点D，求证：；
（2）若直线m过焦点F，分别过点A，B的两条切线相交于点M，求证：⊥，且点M在直线l上．
3、对每个正整数n，是抛物线上的点，过焦点F的直线交抛物线于另一点， （1）试证：（n≥1）
（2）取，并为抛物线上分别以及为切点的两条切线的交点，求证：（n≥1）

抛物线的一个优美性质
几何图形常常给人们带来直观的美学形象，我们在研究几何图形时也会很自然地想得到有关这个几何图形的美妙的性质，作为几何中的圆锥曲线的研究，正是这方面的一个典型代表，作为高中数学中的必修内容，对于培养学生对于数学美的认识，起着相当重要的作用。因此，在研究圆锥曲线的过程中，有意识地得到一些有关圆锥曲线的几何性质并且加以归纳，并在教学中及学生一起进行一些可行的研究，一方面，作为高考命题也会往这个方向上尝试，另一方面，作为新课程的一个理念，让学生进行一些学有余力的研究，提高学生学习数学的兴趣，提高学生自己研究问题的能力也很有帮助。本人从一个在教学中学生遇到的习题结合该知识点有关的一些性质，并结合高考的热点题对这一性质作了一些研究。
题：抛物线y2=2（p>0）的准线及x轴交于Q点，过点Q作斜率为k的直线L。则“直线L及抛物线有且只有一个交点”是“±1”的条件。
本题设计意图是考查学生对于直线及抛物线有且只有一个交点的问题的了解，要求学生掌握直线及抛物线相切时是只有一个交点，还有当直线及抛物线的对称轴平行时，直线及抛物线也只有一个交点，因此，经过简单的验证可知道上题的答案是必要不充分条件。
结合抛物线的下面的性质及上题的图形，我们发现了一些共同点。
A
B
P1
F
O
x
y
A1
B1
P
A
B
F
O
x
y
Q
图1
图2
性质1：已知是经过抛物线y2=2（p>0）的焦点F的弦，则以为直径的圆及抛物线的准线相切。

证明：由图2可知，1，1，2111。所以21。
其中图1是图2的一个特例，即当焦点弦是通径时，图2即变成了图1。这就引导我们思考在图2中的两条直线P1A、P1B是否也是抛物线的两条切线，这样我们得出了抛物线的一个性质：
性质2：已知是经过抛物线y2=2（p>0）的焦点F的弦，则以A、B为切点的两条切线的交点P落在其准线上。
证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）
点A在抛物线上：y12=21 （1）
点B在抛物线上：y22=22 （2）
过点A的切线方程：1（1） （3）
过点B的切线方程：2（2） （4）
直线经过点F： （5）
将（1）式及（2）式分别代入（3）、（4）、（5）式，得到
1（） （3′） 2（） （4′）
y1y22 （5′）
因为点P（x，y）的坐标满足（3′）、（4′），所以y1、y2可视为是方程（）的两根，因此由韦达定理可得y1y22=2。即。
所以点P的轨迹为抛物线的准线。
从上面的证明中我们可以看出，当A、B两点的坐标满足某种条件时，则以A、B为切点的两条切线的交点一定落在某条固定的直线上。因此，我们更进一步地得出了更好的性质：
性质3：已知是经过抛物线y2=2（p>0）的对称轴（即x轴）上一定点P（m，0）（m>0）的弦，则以A、B为切点的两条切线的交点Q的轨迹是一条直线。证明：略。
对于上述性质的得出，我们使用了抛物线上已知切点坐标的切线方程的写法，但如果换一个角度看这个问题，我们也可以得出另一种形式的性质：
性质3′：动点P在直线上运动，过点P作抛物线的两条切线、，切点分别为A、B，连结，得到弦，那么弦过定点（m，0）。
证明：略。
根据上面的讨论，我们得到了关于抛物线的一个性质，特别是对于抛物线的切线以及抛物线中动弦中的定值问题的结合，在高考题的命题中也常有涉及。
x
y
A
B
P
Q
O
例1：（2007江苏高考第19题）如图，过C（0，c）（c>0）作直线及抛物线2相交于A、B两点，一条垂直于x轴的直线，分别及线段和直线0交于P、Q。
（1）若=2，求c的值；
（2）若P为线段的中点，
求证：为抛物线的切线；
（3）试问（2）的逆命题是否成立。
解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（0，c）
点A在抛物线上：y112 （1）点B在抛物线上：y222 （2）
直线经过点C： （3）
将（1）式及（2）式分别代入（3）式，得到x1x2，y1y22
由= x1x21y2=2，得2。
（2）P为线段的中点，得点Q的坐标为（，）
由的斜率k1=，过点A的切线的斜率为k2=2x1。所以直线是抛物线的切线。
（3）过点A的切线方程为1=2 x1（1）及直线相交于点Q，
将代入1=2 x1（1），可得12=2 x1（1）即x1x212=2 x1（1）
所以点Q的横坐标为，即点P为线段的中点。（2）的逆命题成立。
该题的命题思路就是借助于性质3而编制的一道中等难度的题。其中主要运用了切线的斜率，切线的方程的写法，以及抛物线中的定值的使用。下题也是用类似的方法命制的题。
例2：（2006全国高考卷Ⅱ21题）抛物线x2=4y的焦点F，A、B是抛物线上两动点，且，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。
（1） 证明：为定值；
（2） 设△的面积为S，写出（λ）的表达式，并求出S的最小值。
解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（0，1）
点A在抛物线上：4y112 （1）点B在抛物线上：4y222 （2）
直线经过点F： （3）
得到过点A的切线方程：2（1）1（1） （4）
过点B的切线方程：2（2）2（2） （5）
由（1）（2）（3）得x1x24，y1y2=1。
由（4）、（5）得M坐标为（，-1）。
所以=（，-2）·（x2- x1，y2- y1）=。
（2），即（01，11）=λ（x2，y2-1）
所以1=λx2，再由x1x24，得λx2x2=4，
即x2=，则x1=，y1=λ，y2=。由=0，
所以 f（λ）=
=。当λ=1时，△的面积S取得最小值。
从上面两例可以看出，高考命题往往借助课本例题中一个典型图形，结合其他知识点进行再创造，即使是在全国数学联赛中也有这样的命题方向：
例：（2007年全国数学联赛一试14题）过点（0，1）的直线L及曲线C：交于两个不同点M和N，求曲线C在点M、N处的切线的交点的轨迹。
因此在日常教学工作中，我们也应该对课本中的性质定理进行再挖掘，对几何图形的优美性质进行一些研究性的工作，一方面对学生处理新颖题的能力提高有帮助，另一方面对教师的教学研究工作也有促进作用。
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