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第十七章 反比例函数
第1节 反比例函数
本节内容：
1、 反比例函数定义 反比例函数定义的应用（重点）
函数：在某变化过程中有两个变量x，y.若给定其中一个变量x的值，y都有唯一确定的值与它对应,则称y是x的函数.
1、反比例函数的定义
一般地，如果两个变量、之间的关系可以表示成为常数，的形式，那么称是的反比例函数。其中x是自变量，y是函数.自变量的取值范围是不等于0的一切实数。
注：
（1）也可以写成或的形式；
（2）若是反比例函数，则、、均不为零；
（3）通常表示以原点及点为对角线顶点的矩形的面积；
（4）因变量y的取值范围是y≠0的一切实数。
■例1：下列函数中是反比例关系的有 （填序号）。
① ② ③ ④ ⑤
⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩为常数，
■例2：当m取什么值时，函数是反比例函数？
2、 反比例函数定义的应用（重点）
确定解析式的方法仍是 待定系数法 ，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值，即可求出的值，从而确定其解析式。
■例3由欧姆定律可知，电压不变时，电流强度I与电阻R成反比例，已知电压不变，电阻R=12.5欧姆，电流强度I=0.2安培。
（1） 求I与R的函数关系式；
（2） 当R=5欧姆时，求电流强度。
■例4：已知函数y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5
（3） 求y与x的函数关系式
（4） 当x＝－2时，求函数y的值
第2节 反比例函数的图象与性质
本节内容：
反比例函数的图象及其画法 反比例函数的性质（重点）
反比例函数中的比例系数的几何意义（难点） 反比例函数与正比例函数图象的交点
1、 反比例函数的图象及其画法
反比例函数图象的画法——描点法：
（1） 列表——自变量取值应以0（但(x≠0)为中心，向两边取三对（或三对以上）互为相反数的数，再求出对应的的值；
（2） 描点——先描出一侧，另一侧可根据中心对称点的性质去找；
（3） 连线——按照从左到右的顺序连接各点并延伸，注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交。
注：(1)画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是x≠0，因此不能把两个分支连接起来；
(2) 由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势。
反比例函数的图象是由两支曲线组成的。当时，x、y同号，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，x、y异号，两支曲线分别位于第二、四象限内。
注：（1）这两支曲线通常称为双曲线。
（2）这两支曲线关于原点对称。
（3）反比例函数的图象与x轴、y轴没有公共点。
■例1：画出反比例函数与的图象。
解：（1）列表：

（2）描点： （3）连线。
2、 反比例函数的图像与性质
反比例函数

k的符号
k >0
k<0
图象
（双曲线）

x、y
取值范围
x的取值范围x≠0
y的取值范围y≠0
x的取值范围x ≠0
y的取值范围y ≠0
位置
第一,三象限内
第二,四象限内
增减性
每一象限内，y随x的增大而减小
每一象限内，y随x的增大而增大
渐近性
反比例函数的图象无限接近于x、y轴，但永远达不到x、y轴，画图象时,，要体现出这个特点.
对称性
若点(m,n)在反比例函数的图象上，则点（-m,-n）也在此图象上反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形；
反比例函数的图象也是轴对称图形.
■例2 ：已知 是反比例函数，则函数的图象在 （ ）
A、一、三象限 B、二、四象限 C、一、四象限 D、三、四象限
■例3 ：函数与（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）

■例4 已知反比例函数的图象经过点P(-l，2)，则这个函数的图象位于
A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限
3、反比例函数中的比例系数的几何意义（难点）
O
B

C
A
图1
的几何含义：反比例函数y＝ (k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y＝ (k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积为 .
■例5：A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥轴，AC∥轴，△ABC的面积记为，则（ ）
A． B． C． D．
■例6如图在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为3，则

O
y
x
B
A
4反比例函数与正比例函数图象的交点——凡是交点问题就联立方程
■例7：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积．
第3节 反比例函数的应用
本节内容：运用函数的图象和性质解答实际问题
注：列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围
■例1 ：面积一定的梯形，其上底长是下底长的，设下底长x=10 cm时，高y=6 cm
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求当y=5 cm时，下底长多少？
■例2：一定质量的二氧化碳，当它的体积V=6 m3时，它的密度ρ=1.65 kg/m3.
(1)求ρ与V的函数关系式.
(2)当气体体积是1 m3时，密度是多少？
(3)当密度为1.98 kg/m3时，气体的体积是多少？
■例3：如图，Rt△AOB的顶点A是一次函数y=－x+m+3的图象与反比例函数y=的图象在第二象限的交点，且S△AOB=1，求点A的坐标.
■例4：某厂要制造能装250mL(1mL=1 cm3)饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都是0.02 cm，顶部厚度是底部厚度的3倍，这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来，设一个底面半径是x cm的易拉罐用铝量是y cm3.
用铝量=底面积×底部厚度+顶部面积×顶部厚度+侧面积×侧壁厚度，求y与x间的函数关系式.