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函数与方程知识点总结
1、函数零点的定义
（1）对于函数，我们把方程的实数根叫做函数的零点。
（2）方程有实根函数的图像与x轴有交点函数有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程，所得实数根就是的零点
（3）变号零点与不变号零点
①若函数在零点左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点。
②若函数在零点左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点。
③若函数在区间上的图像是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。
2、函数零点的判定
（1）零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有，那么， 函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。
（2）函数零点个数（或方程实数根的个数）确定方法
① 代数法：函数的零点的根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。
（3）二次函数零点个数确定
有2个零点有两个不等实根；
有1个零点有两个相等实根；
无零点无实根；对于二次函数在区间上的零点个数，要结合图像进行确定.
1、 二分法
（1）二分法的定义:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;
（2）用二分法求方程的近似解的步骤:
① 确定区间,验证,给定精确度;②求区间的中点;③计算;
(ⅰ)若,则就是函数的零点;(ⅱ) 若,则令(此时零点);
(ⅲ) 若,则令(此时零点);
④判断是否达到精确度,即,则得到零点近似值为(或);否则重复②至④步.
【经典例题】
【例1】函数在区间内的零点个数是 （ B ）
A、0 　B、1　　　C、2　　　D、3
【解析】解法1：因为，，即且函数在内连续不断，故在内的零点个数是1.
解法2：设，，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B正确.

【例2】函数　f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 (　 B　)
A、(－2，－1)　　　 B、(－1,0) C、(0,1) D、(1,2)
【解析】∵f(－1)＝2－1＋3×(－1)＝－<0，f(0)＝20＋0＝1>0，∴f(－1) f(0)<0.
∴　f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间为(－1,0)．
【例3】下列函数中能用二分法求零点的是 (　 C 　)

【例4】若函数 (且)有两个零点，则实数的取值范围是.
【解析】函数= (且)有两个零点，方程有两个不相等的实数根，即两个函数与的图像有两个不同的交点，当时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不合题意；当时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.
【例5】函数， 零点个数为 （ B ）
A、3 B、2 C、1 D、0
【例6】若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f (1) = －2
f (1.5) = 0.625
f (1.25) = －0.984
f (1.375) = －0.260
f (1.4375) = 0.162
f (1.40625) = －0.054
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为 （ C ）
A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5
【例7】如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是 （ C ）
A、 B、 C、 D、
【例8】方程根的个数为 （ D ）
A、 无穷多Error! No bookmark name given. B、 C、 D、
【例9】用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点 ，第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 ( A )
A、（0，0.5）， B、（0，1），
C、（0.5，1）， D、（0，0.5），
反思：(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有：①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．
(2) 提醒：函数的零点不是点，是方程的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．

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