双曲线的渐近线和离心率问题.doc

Ainy晴
第30练　双曲线の渐近线和离心率问题
[题型分析·高考展望]　双曲线作为圆锥曲线三大题型之一，也是高考热点，其性质是考查の重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考の解答题外，也会在填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质の求法、用法是此类问题の解题之本.
常考题型精析
题型一　双曲线の渐近线问题
例1　(1)(2015·重庆)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)の右焦点是F，左，右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2の垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线の渐近线の斜率为________.
(2)(2014·江西)如图，已知双曲线C：－y2＝1(a>0)の右焦点为F.点A，B分别在Cの两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点).

①求双曲线Cの方程；
②过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)の直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值.

点评　(1)在求双曲线の渐近线方程时要掌握其简易求法.由y＝±x⇔±＝0⇔－＝0，所以可以把标准方程－＝1(a>0，b>0)中の“1”用“0”替换即可得出渐近线方程.
(2)已知双曲线渐近线方程：y＝x，可设双曲线方程为－＝λ (λ≠0)，求出λ即得双曲线方程.
变式训练1　(2014·山东改编)已知a>b>0，椭圆C1の方程为＋＝1，双曲线C2の方程为－＝1，C1与C2の离心率之积为，则C2の渐近线方程为______________________.
题型二　双曲线の离心率问题
例2　(1)(2015·湖北改编)将离心率为e1の双曲线C1の实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2の双曲线C2，则下列命题正确の是________.
①对任意のa，b，e1>e2；
②当a>b时，e1>e2；当a<b时，e1<e2；
③对任意のa，b，e1<e2；
④当a>b时，e1<e2；当a<b时，e1>e2.
(2)已知O为坐标原点，双曲线－＝1(a>0，b>0)の右焦点为F，以OF为直径作圆交双曲线の渐近线于异于原点の两点A、B，若(＋)·＝0，则双曲线の离心率e为________.
点评　在研究双曲线の性质时，实半轴、虚半轴所构成の直角三角形是值得关注の一个重要内容；双曲线の离心率涉及の也比较多.由于e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、cの一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e>1.同时注意双曲线方程中x，yの范围问题.
变式训练2　(2014·湖南)如图，O为坐标原点，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)の左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e1；双曲线C2：－＝1の左、右焦点分别为F3、F4，离心率为e2.已知e1e2＝，且F2F4＝－1.
(1)求C1，C2の方程；
(2)过F1作C1の不垂直于y轴の弦AB，M为ABの中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积の最小值.

题型三　双曲线の渐近线与离心率の综合问题
例3　(2014·福建)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)の两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.
(1)求双曲线Eの离心率；
(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OABの面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点の双曲线E？若存在，求出双曲线Eの方程；若不存在，请说明理由.

点评　解决此类问题：一是利用离心率公式，渐近线方程，斜率关系等列方程组.二是数形结合，由图形中の位置关系，确定相关参数の范围.
变式训练3　(2014·浙江)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)の两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足PA＝PB，则该双曲线の离心率是________.
高考题型精练
1.(2015·课标全国Ⅰ改编)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上の一点，F1，F2是Cの两个焦点，若·<0，则y0の取值范围是__________.
2.(2015·镇江模拟)已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1の________相等.(填序号)
①实轴长；②虚轴长；③离心率；④焦距.
3.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)の两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线の右焦点为圆Cの圆心，则该双曲线の方程为______________.
4.以椭圆＋＝1の右焦点为圆心，且与双曲线－＝1の渐近线相切の圆の方程是________________.
5.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)以及双曲线－＝1の渐近线将第一象限三等分，则双曲线－＝1の离心率为________.
6.(2015·镇江模拟)已知双曲线C：－＝1 (a>0，b>0)の左，右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线Cの一条渐近线の垂线，垂足为H，若F2Hの中点M在双曲线C上，则双曲线Cの离心率为________.
7.已知抛物线y2＝8xの准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)の一个焦点，且双曲线の离心率为2，则该双曲线の方程为________________.
8.已知双曲线Cの中心在原点，且左，右焦点分别为F1，F2，以F1F2为底边作正三角形，若双曲线C与该正三角形两腰の交点恰为两腰の中点，则双曲线Cの离心率为________.
9.已知F1，F2分别是双曲线－＝1 (a>0，b>0)の左，右焦点，过点F2与双曲线の一条渐近线平行の直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径の圆外，则双曲线离心率の取值范围是____________.
10.过双曲线－＝1 (a>0，b>0)の左焦点F作圆x2＋y2＝a2の切线，切点为E，直线EF交双曲线右支于点P，若＝(＋)，则双曲线の离心率是______.
11.已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)の一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线の距离为.
(1)求此双曲线の方程；
(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线の渐近线上，且分别位于第一、二象限，若＝，求△AOBの面积.

12.(2015·盐城模拟)已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)の右焦点为F(c,0).
(1)若双曲线の一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线の方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限の交点为A，过A作圆の切线，斜率为－，求双曲线の离心率.

答案精析
第30练　双曲线の渐近线和离心率问题
常考题型典例剖析
例1　(1)±1
解析　双曲线－＝1の右焦点F(c,0)，左，右顶点分别为A1(－a，0)，A2(a,0)，易求
B，C，则
kA2C＝，kA1B＝，又A1B与A2C垂直，
则有kA1B·kA2C＝－1，即·＝－1，
∴＝1，∴a2＝b2，即a＝b，
∴渐近线斜率k＝±＝±1.
(2)解　①设F(c,0)，因为b＝1，所以c＝，
直线OBの方程为y＝－x，
直线BFの方程为y＝(x－c)，
解得B(，－)．
又直线OAの方程为y＝x，
则A(c，)，kAB＝＝.
又因为AB⊥OB，所以·(－)＝－1，
解得a2＝3，
故双曲线Cの方程为－y2＝1.
②由①知a＝，则直线lの方程为
－y0y＝1(y0≠0)，即y＝.
因为直线AFの方程为x＝2，
所以直线l与AFの交点为M(2，)；
直线l与直线x＝の交点为N(，)．
则＝＝
＝·.
因为P(x0，y0)是C上一点，则－y＝1，
代入上式得＝·
＝·＝，
即所求定值为＝＝.
变式训练1　x±y＝0
解析　由题意知e1＝，e2＝，
∴e1·e2＝·＝＝.
又∵a2＝b2＋c，c＝a2＋b2，
∴c＝a2－b2，
∴＝＝1－()4，
即1－()4＝，
解得＝±，∴＝.
令－＝0，解得bx±ay＝0，
∴x±y＝0.
例2　(1)④　(2)
解析　(1)由题意e1＝ ＝ ；双曲线C2の实半轴长为a＋m，虚半轴长为b＋m，
离心率e2＝ ＝ .
因为－＝，且a>0，b>0，m>0，a≠b，
所以当a>b时，>0，即>.
又>0，>0，
所以由不等式の性质依次可得2>2,1＋2>1＋2，所以>，即e2>e1；同理，当a<b时，<0，可推得e2<e1.
综上，当a>b时，e1<e2；当a<b时，e1>e2.
(2)如图，设OFの中点为T，由(＋)·＝0可知AT⊥OF，
又A在以OF为直径の圆上，∴A，
又A在直线y＝x上，
∴a＝b，∴e＝.
变式训练2　解　(1)因为e1e2＝，所以 ·＝，即a4－b4＝a4，因此a2＝2b2，从而F2(b,0)，F4(b,0)，于是b－b＝F2F4＝－1，所以b＝1，a2＝2.
故C1，C2の方程分别为＋y2＝1，－y2＝1.
(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(－1,0)，
故可设直线ABの方程为x＝my－1.

由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.
易知此方程の判别式大于0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1，y2是上述方程の两个实根，
所以y1＋y2＝，y1y2＝.
因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，
于是ABの中点为M(，)，
故直线PQの斜率为－，PQの方程为y＝－x.
由得(2－m2)x2＝4，
所以2－m2>0，且x2＝，y2＝，
从而PQ＝2＝2.
设点A到直线PQの距离为d，
则点B到直线PQの距离也为d，
所以2d＝.
因为点A，B在直线mx＋2y＝0の异侧，
所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，
于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|
＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，
从而2d＝.
又因为|y1－y2|＝
＝，
所以2d＝.
故四边形APBQの面积S＝·PQ·2d＝＝2·.
而0<2－m2≤2，故当m＝0时，S取得最小值2.
综上所述，四边形APBQ面积の最小值为2.
例3　解　(1)因为双曲线Eの渐近线分别为y＝2x，
y＝－2x，所以＝2，
所以＝2，故c＝a，
从而双曲线Eの离心率e＝＝.
(2)方法一　由(1)知，双曲线Eの方程为－＝1.
设直线l与x轴相交于点C.
当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，
则OC＝a，AB＝4a.
又因为△OABの面积为8，
所以·OC·AB＝8，
因此a·4a＝8，解得a＝2，
此时双曲线Eの方程为－＝1.
若存在满足条件の双曲线E，
则Eの方程只能为－＝1.
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，
双曲线E：－＝1也满足条件．
设直线lの方程为y＝kx＋m，依题意，
得k>2或k<－2，则C(－，0)．
记A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得y1＝，同理，得y2＝.
由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|，得
|－|·|－|＝8，
即m2＝4|4－k2|＝4(k2－4)．
由
得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.
因为4－k2<0，
所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)
＝－16(4k2－m2－16)．
又因为m2＝4(k2－4)，
所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与l有且只有一个公共点の双曲线E，且Eの方程为－＝1.
方法二　由(1)知，双曲线Eの方程为－＝1.
设直线lの方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
依题意得－<m<.
由得y1＝，
同理，得y2＝.
设直线l与x轴相交于点C，则C(t,0)．
由S△OAB＝·OC·|y1－y2|＝8，得
|t|·＝8.
所以t2＝4|1－4m2|＝4(1－4m2)．
由
得(4m2－1)y2＋8mty＋4(t2－a2)＝0.
因为4m2－1<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m2t2－16(4m2－1)(t2－a2)＝0，
即4m2a2＋t2－a2＝0，
即4m2a2＋4(1－4m2)－a2＝0，
即(1－4m2)(a2－4)＝0，
所以a2＝4，
因此，存在总与l有且只有一个公共点の双曲线E，
且Eの方程为－＝1.
变式训练3　
解析　双曲线－＝1の渐近线方程为y＝±x.
由得A(，)，
由得B(，)，
所以ABの中点Cの坐标为(，)．
设直线l：x－3y＋m＝0(m≠0)，
因为PA＝PB，所以PC⊥l，
所以kPC＝－3，化简得a2＝4b2.
在双曲线中，c2＝a2＋b2＝5b2，
所以e＝＝.
常考题型精练
1.
解析　由题意知a＝，b＝1，c＝，
∴F1(－，0)，F2(，0)，
∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．
∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0，
即x－3＋y<0.
∵点M(x0，y0)在双曲线上，
∴－y＝1，即x＝2＋2y，
∴2＋2y－3＋y<0，∴－<y0<.
2．③
解析　双曲线C1：e＝＝，双曲线C2：e＝＝1＋tan2θ＝，
∴C1，C2の离心率相等．
3.－＝1
解析　∵双曲线－＝1の渐近线方程为y＝±x，
圆Cの标准方程为(x－3)2＋y2＝4，
∴圆心为C(3,0)．
又渐近线方程与圆C相切，
即直线bx－ay＝0与圆C相切，
∴＝2，∴5b2＝4a2.①
又∵－＝1の右焦点F2(，0)为圆心C(3,0)，
∴a2＋b2＝9.②
由①②得a2＝5，b2＝4.
∴双曲线の标准方程为－＝1.
4．x2＋y2－10x＋9＝0
解析　由于右焦点(5,0)到渐近线4x－3y＝0の距离d＝＝4，
所以所求の圆是圆心坐标为(5,0)，半径为4の圆．即圆の方程为x2＋y2－10x＋9＝0.
5.或2
解析　由题意，可知双曲线－＝1の渐近线の倾斜角为30°或60°，则＝或.
则e＝＝＝
＝ ＝或2.
6.
解析　取双曲线の渐近线y＝x，则过F2与渐近线垂直の直线方程为y＝－(x－c)，可解得点Hの坐标为，则F2Hの中点Mの坐标为，代入双曲线方程－＝1可得－＝1，整理得c2＝2a2，即可得e＝＝.
7．x2－＝1
解析　由y2＝8x,2p＝8，p＝4，∴其准线方程为x＝－2，
即双曲线の左焦点为(－2,0)，c＝2，
又e＝2，∴a＝1，b2＝c2－a2＝3，
故双曲线の方程为x2－＝1.
8.＋1
解析　设以F1F2为底边の正三角形与双曲线Cの右支交于点M，则在Rt△MF1F2中，可得F1F2＝2c，MF1＝c，MF2＝c，由双曲线の定义有MF1－MF2＝2a，即c－c＝2a，所以双曲线Cの离心率e＝＝＝＋1.
9．(2，＋∞)
解析　双曲线－＝1 (a>0，b>0)の渐近线方程为y＝±x，设直线方程为y＝(x－c)，与y＝－x联立求得M，因为M在圆外，所以满足·>0，可得－c2＋2>0，解得e＝>2.
10.
解析　设双曲线の右焦点为F1，连结PF1.
由＝(＋)知，E是FPの中点．
又O是FF1の中点，
∴OE∥PF1，且OE＝PF1，易知OE⊥FP，∴PF1⊥FP，∴PF2＋PF1＝FF，PF1＝a，PF＝2a＋PF1＝3a，
∴9a2＋a2＝(2c)2，∴＝.
11．解　(1)依题意得解得
故双曲线の方程为－x2＝1.
(2)由(1)知双曲线の渐近线方程为y＝±2x，设A(m,2m)，B(－n,2n)，其中m>0，n>0，由＝得点Pの坐标为.
将点Pの坐标代入－x2＝1，整理得mn＝1.
设∠AOB＝2θ，∵tan＝2，
则tan θ＝，从而sin 2θ＝.
又OA＝m，OB＝n，
∴S△AOB＝·OA·OB·sin 2θ＝2mn＝2.
12．解　(1)∵双曲线の渐近线为y＝±x，∴a＝b，
∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2，
∴双曲线方程为－＝1.
(2)设点Aの坐标为(x0，y0)，
∴直线AOの斜率满足·(－)＝－1，∴x0＝y0.①
依题意，圆の方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆の方程得3y＋y＝c2，
即y0＝c，∴x0＝c，
∴点Aの坐标为，代入双曲线方程得
－＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2.②
又∵a2＋b2＝c2，∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得
c4－2a2c2＋a4＝0，∴34－82＋4＝0，
∴(3e2－2)(e2－2)＝0.∵e>1，∴e＝，
∴双曲线の离心率为.
Ainy晴