2023年分式的化简与求值竞赛辅导.doc

平阳xx中学竞赛讲义
第二讲 分式的化简与求值
要解决有关分式的问题，就必须准确掌握分式的概念，分式的基本性质、分式的四则运算等知识，本讲重要讲述分式的变形和求值的技巧。给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．
一、分式的分拆
例1 若

例2 将分式化为部分分式。

例3化简分式：
　　分析 直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．

例4 化简分式：　
分析： 三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．

例5 化简计算(式中a，b，c两两不相等)：

　 　似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法．

例6求能使能被n+10整除的正整数n的最大值。
分析：解决整除性问题的一个常用方法是把整式部分分离出来，从而只须考虑后面的分式部分的整除性，这样有助于简化问题。

二、参数法
例7、若，求x ,y ,z（甘肃升中题）。
解：设k（k≠0）, 那么x=2k、y=3k、z=4k
代入x+y－z=,得：2k＋3k－4k=,解得：k=，
所以:x=，y=，z=.
评注：引入参数，把三个未知数转化为关于‘参数’的一元方程问题。
例8、求代数式的最大值和最小值？

三、倒数法
例10 已知 ,求.

例11若，，求的值

例12 求证 无论ａ为什么整数，分式均不可约。
分析：对于某些非零代数式来说，假如从取倒数的角度来分析，有也许揭示出一些内在的特性，从而找到解题的突破口。

四、整体代入
例13 已知a2＋2a－1＝0，求分式的值．
分析：本例是将条件式化为“”代入化简后的求值式再求值，这种代入的技巧叫做整体代入．

例14

适当变形，化简分式后再计算求值．
五、活用特殊值0和±1
例15 已知的值．

例16已知abc＝1，求：的值

例17已知，求的值

六、从结论中寻找解题途径（学会转化等价命题）
例18若：

例19不等于0的三个数a、b、c满足，
（1）中至少有两个互为相反数。
（2）

例20设：
求证：（1）
(2) 试问三个正数能否作为一个三角形的三边