利息理论及其应用(第四版)课件教学课件电子教案.pptx

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,利息理论及其应用,（第四版）,目录,2,第,1,章：利息度量,第,2,章：等额年金,第,3,章：变额年金,第,4,章：,收益率,和收益分配,第,5,章：债务偿还方法,第,6,章：,债券,价值分析,第,7,章：利率,风险,管理,利息度量,累积,函数,实际利率,单利和复利,贴现,函数,实际贴现率,名义,利率,名义贴现率,利息,力（连续复利）,3,几个实际问题,半年期的定期存款利率是,2%,。请问,1,万元存半年，到期的利息是多少？,三年期的定期存款,利率,是,4.25%,。请问,1,万元,存三年,，到期的利息是多少？,银行推出的理财产品为,65,天，预期年化收益率为,5%,，购买,10,万元到期可以获得多少利息？,4,5,如何度量速度？,公里,/,小时，米,/,秒，,瞬时速度,如何度量利息？,利率（实际，名义）,贴现率（实际，名义）,利息力（连续复利）,6,1.1,利息的基本函数,利息（,interest,）的定义：,借用他人资金需支付的成本，或出让资金获得的报酬。,利息存在的合理性,资金的稀缺性,时间偏好,资本也是生产力,7,关于利息的几个基本概念,本金,（,principal,）,：初始投资的资本金额。,累积值,（,accumulated value,）,：一段时期后收到的总金额。,利息,（,interest,）,累积值与本金之间的差额。,8,积累函数,(Accumulation function),累积函数：时间零点的,1,元在时间,t,的累积值,记为,a,(,t,),。,性质：,a,(0)=1,；,a,(,t,),通常,是时间的增函数；,当利息是连续产生时，,a,(,t,),是时间的连续函数。,注,：一般假设利息是连续产生的。,9,例：,常见的几个积累函数,（,1,）常数：,a,(,t,)=1,（,2,）线性：,a,(,t,)=1+0.1,t,（,3,）指数：,a,(,t,)=(1+0.1),t,10,11,1,0,t,a,(,t,),累积函数？,对应哪些实例？,例,假设累积函数为,请计算,t,=1,时的,500,元,，在,t,=2,的累积值是多少。,解,：,12,t,a,(,t,),0,1,1,2,2,5,3,10,13,1.2,实际利率,（,effective rate of interest,）,实际利率,i,是时间零点的,1,元在期末产生的利息：,实际利率,i,是期末获得的利息金额与期初本金之比：,14,实际利率经常用百分比表示，如,8%,；,利息是在期末支付的；,本金在整个时期视为常数；,通常使用的时间单位是年。,如无特殊说明，利率是指,年利率,。,注：,15,例：,把,1000,元存入银行，第,1,年末存款余额为,1020,元，第,2,年末存款余额为,1050,元，求第一年和第二年的实际利率分别是多少？,问题：整个存款期间的实际利率是多少？,整个存款期间的年平均实际利率是多少？（后面讨论）,16,1.3,单利,(simple interest),单利的积累函数：,17,单利的累积函数,18,单利对应的实际利率：,问题,:,为什么每个时期的,利息金额相等，而实际利率却越来越小呢？,可见，,实际利率是,t,的,递减函数。,单利与实际利率的关系：,只有,本金产生利息，而利息不会产生新的利息,。,时间零点投资,1,元，在每年末得到,完全相同的,利息,i,，,i,称为单利率。,19,单利的特点：,20,例,若年单利为,8,，求投资,2000,元在,4,年后的积累值和利息。,累积值为：,利息为：,21,时间,t,的确定,t=,投资天数,/,每年的天数,（,1,）,“,实际,/365,”（,actual/actual,）：投资天数按两个日期之间的实际天数计算，每年按,365,天计算。,（,2,）,“实际,/360,”,：投资天数按两个日期之间的实际天数计算，每年按,360,天计算。称为,行家,规则,(bankers rule,),。,（,3,）“,30/360”,规则：,每月按,30,天计算,每年按,360,天计算。两个给定日期之间的天数按下述公式计算：,其中起始日,为,Y,2,年,M,2,月,D,2,日,，到期日,为,Y,1,年,M,1,月,D,1,日,。,22,例：,投资者在,2014,年,6,月,14,日存入基金,10000,元，,2015,年,2,月,7,日取出，基金的年单利利率为,8%,，请分别根据下列规则计算投资者可以获得的利息金额,：,（,1,）“实际,/365,”规则,（,2,）“实际,/360”,规则,（,3,）“,30/360”,规则,（,1,）,精确,天数为,238,，在,“,实际,/365”,规则下，,t,=238/365,，利息金额为,：,（,2,）,在,“,实际,/360”,规则下,，,t,=238/360,，利息金额为：,（,3,）在,“30/360”,规则下，两个日期之间的天数为,：,故,t,=233/360,，利息金额为,：,24,单利的缺陷：不满足一致性,证明：,含义：,分两段投资将产生更多利息。,问题：,分段越来越多，产生的利息是否会趋于无穷大？,练习,单利的年利率为,i,，当前的,1,元到年末的累积值为,1+,i,如果把,1,年划分为,n,个等间隔的时间段按单利进行投资，年末的累积值是多少？当,n,趋于无穷大时会怎样？,25,26,1.4,复利,(compound interest),单利：本金保持不变。,复利：前期的利息收入计入下一期的本金，即“,利滚利,”。,例：,假设年初投资,1000,元，年利率为,5,，则年末可获利,50,元，因此在年末有,1050,元可以用来投资。,第二年按照,1050,元来计算，将在年末获得,52.5,元利息,。,问题：在利率相等的情况下，复利的累积值总是大于单利吗？,27,复利的积累函数,28,实际利率,=,复利利率,复利的实际利率,29,单利与复利的比较（,假设年利率相等,）,单利的实际利率逐期递减，复利的实际利率为常数。,当,0,t,1,时，复利比单利产生更大的积累值。,当,t,=0,或,1,时，单利和复利产生相同的累积值。,复利,单利,30,31,Exercise,It is known that 1000 invested for 4 years will earn 250 in interest,i.e.,that the value of the fund after 4 years will be 1250.Determine the accumulated value of 4500 invested at the same rate of compound interest for 10 years.,32,Solution:,33,1.5,贴现（,discount,）,累积：在时间零点投资,1,元，在时间,t,的,累积,值是多少？,贴现,：,在时间零点投资多少，才能在时间,t,累积到,1,元,?,时间,t,的,1,元在时间零点的价值称为贴现函数，记为,a,-,1,(,t,),。,0,t,1,a,(,t,),a,-1,(,t,),1,34,贴现函数,(,discount function,),单利的贴现函数,复利的贴现函数,注：除非特别申明，今后一概使用复利。,35,(1+,i,),累积因子,：,accumulation factor,t,年,累积因子：,t,-year accumulation factor,贴现因子：,discount factor,v,t,t,年,贴现因子：,t,-year discount factor,几个术语：,36,实际贴现率：,d,(,effective rate of discount with compound interest,),实际贴现率等于一个时期的利息收入与,期末,累积值之比：,期初本金,期末累积值,利息,=,期末,累积,值,-,期,初本金,（期初比期末,少百分之几,？）,（期末比期出,多百分之几,？）,例,年实际贴现率为,d,，请计算年末的,1,元相当于年初的多少？,解：令其等于,X,，则由贴现率的定义，有,37,1,-,d,1,0,1,38,实际利率,i,与实际贴现率,d,的关系（,1,）,1,1+,i,0,1,当期,利息,：,i,根据贴现率的定义：,39,实际利率,i,与实际贴现率,d,的关系（,2,）,1,-,d,1,0,1,当年利息,：,d,年末,的,1,元,在年初,的现值为：,1,-,d,根据利率的定义：,40,证明,：,注,：,把年末,支付的利息,i,贴现,到年初,，等于,在年初,支付的,d,。,换言之,，,年末,的,i,相当于年初,的,d,。,实际利率,i,与实际贴现率,d,的关系,（,3,）,41,v,=1,d,解释,：年末,的,1,在年初,的现值可以表示为,v,，或,1,d,。,贴现函数可表示为,a,1,(,t,)=,累积函数可表示为,a,(,t,)=,0,1,1,v,（,1,d,）,实际利率,i,与实际贴现率,d,的关系,（,4,）,证明：,42,i,d,=,id,解释,：,1,元本金,在年末有,i,元利息，,(1,d,),元,本金,在年末,有,d,元,利息,。产生,(,i,d,),元利息,差额。,原因：本金有,d,元差额，导致的利息差额是,id,。,本金（,Principal,）,利息（,interest,）,累积值（,Accumulated value,）,1,i,1+,i,1-,d,d,1,本金之差,:,d,利息之差,di,利息,之差,:,i d,实际利率,i,与实际贴现率,d,的关系,（,5,）,证明：,43,例,:,i,=5%=1/20,d,=1/21,证明：,实际利率,i,与实际贴现率,d,的关系,（,6,）,问题：,已知年实际利率为,5%,。回答下述问题：,（,1,）,100,万元贷款在年末的利息是多少？,（,2,）如果在贷款起始日收取利息，应该收取多少利息？,（,3,）年实际贴现率是多少？,（,4,）写出累积函数和贴现函数。,（,5,）分别用实际利率和实际贴现率计算，,5,年末到期的,100,万元在时间零点的价值是多少？,44,问题：,（,1,）贴现率随着利率变化的规律？,（,2,）利率随着贴现率变化的规律？,45,46,利率,贴现率,利率,i,和贴现率,d,的关系,问题：如果利率趋于无穷？,47,贴现率,利率,贴现率,d,和利率,i,的关系,问题：如果贴现率,趋于,1,？,48,例,面值为,100,元的一年期零息债券的价格为,95,元。,一年期定期储蓄存款的利率为,5.25,。,投资者应该存款还是购买零息债券？,49,解：,比较贴现率：,零息债券的贴现率,d,5%,储蓄的贴现率,d,i,/(1+,i,)=4.988,比较利率：,零息债券的利率,储蓄的利率为,5.25,50,计算累积值和现值，既可以用利率，也可以用贴现率。,用利率计算：,累积函数：,a,(,t,)=(1+,i,),t,贴现函数：,a,1,(,t,)=(1+,i,),t,用贴现率计算：,累积函数：,a,(,t,)=(1,d,),-,t,贴现函数：,a,1,(,t,)=(1,d,),t,小结：,51,一些重要的等价关系式：,i,=,d,/(1,-,d,),d,=,i,/(1+,i,),d,=,iv,v,=1,-,d,i,-,d,=,id,0,1,1,1+,i,1,-d,1,v,1,52,Exercise,An investor deposits 20,000 in a bank.,During the first 4 years the bank credits an annual effective rate of interest of,i,.,During the next 4 years the bank credits an annual effective rate of interest of,i-,0,.,02.,At the end of 8 years the balance in the account is 22081.10.,What would the account balance have been at the end of 10 years if the annual effective rate of interest were,i,+0,.,01 for each of the 10 years?,0,20,000,4,8,10,i,i-,0.02,22081.10,?,i,+0.01,53,The equation of value is,the account balance after 10 years would be,Solution:,54,Exercise,It is known that the accumulation function,a,(,t,)is of the form,b,(1,.,1),t,+,ct,2,where,b,and,c,are constants to be determined.,(a),If$100 invested at time,t,=0 accumulates to$170 at time,t,=3,find the accumulated value at time,t,=12 of$100 invested at time,t,=1.,(b),Determine a general formula for,i,n,and show that,55,Solution:,(a),An accumulation function must have the property that,a,(0)=1;this implies that,1=,b,+0,so,b,=1.,then,c,=0,.,041,hence,The given data imply that,a,(,t,),=b,(1,.,1),t,+,ct,2,56,hence,(b),57,Exercise,It is known that an investment of 750 will increase to 2097.75 at the end of 25 years.Find the sum of the present values of payments of 5000 each which will occur at the ends of 10,15,and 25 years.,750,2097.75,5,0,10,15,20,25,5000,5000,5000,？,58,Solution:,The known fact:,The present value of three payments of 5000 after 10,15,and 25 years will be,第二讲,59,本章主要内容,累积,函数，实际利率,贴现函数，实际贴现率,名义利率,名义贴现率,利息,力（连续复利）,60,61,回顾,62,实际利率,：,一年复利一次。,名义利率,：一年,复利多次，或多年复利一次。,例：,3,个月期的存款年利率为,1.8%,例：,3,年期的存款年利率为,4%,名义利率？,63,考虑下述两笔贷款,：,贷款,100,万，年利率为,12,，年末支付利息,12,万。,贷款,100,万，年利率为,12,，每月末支付一次利息，每次支付,1,万。,第一个,12,是年实际利率，第二个是,年,名义利率,。,64,名义利率的,各种,表述,季度的实际利率为,3%,：,年利率为,12%,，每年结转,4,次利息；,年利率为,12%,，每年复利,4,次；,年利率为,12%,，每季度结转一次利息；,年利率为,12%,，每季度复利一次。,相关术语,利息结转期：,interest conversion period,；,每月结转一次：,convertible,monthly,；,每月支付一次：,payable,monthly,；,每月复利一次：,compound,monthly,；,65,年名义利率,i,(,m,),表示每年复利,m,次，即每,1/,m,年支付一次利息，每,1/,m,年的实际利率为,i,(,m,),/,m,。,例,：,i,(4),=8%,表示每季度复利,1,次，每季度的实际利率为,2%,。,例,：,i,(12),=6%,表示每月复利,1,次，每月的实际利率为,0.5%,。,例,：,i,(1/5),=,10%,表示,每,5,年复利,1,次,，,5,年期的,实际利率,为,50%,。,例,：,i,(,1/2),=,9%,表示,每,2,年,复利,1,次,，,2,年,期的实际利率,为,18%,。,名义利率的定义,66,问题,：三个月定期存款的年利率为,1.8,，存,1000,元满,3,个月可,得多少利息,？,答案,：,i,(4),1.8%,，,三个月的实际利率为,1.8%4,，存,1000,元满,3,个月可得利息,1000,1.8%/4=4.5,元。,问题,：,5,年期定期存款的年利率为,6,，存,1000,元满,5,年,可,得多少利息,？,答案,：,i,(1/5),6%,，,5,年期的实际利率为,6%5,，存,1000,元满,5,年,可得利息,1000,6%5=300,元。,67,名义利率与实际利率的关系：,对名义利率的一种解释：,名义利率 是在,1/,m,时期内与实际利率（复利利率）,i,等价的单利利率。,例,：时间零点投资,100,万元，年利率为,12%,，请在下述各种条件下计算,1,个月末和,1,年末的累积值：,（,1,）上述利率是单利利率,（,2,）上述利率是实际利率（复利利率）,（,3,）上述利率是名义利率，每年复利,12,次,解：,68,69,Example,：,Which rate is more favorable to an investor:,5%compound semi-annually,4.95%compound daily,(note:a year is 365 days),70,年利率,一定的条件下，每年,的复利次数越,多，年实际,利率越高。,年名义利率为,10%,时，年实际利率随复利次数的变化情况,年复利次数,年实际利率,1,10.000%,2,10.25%,4,10.38%,12,10.47%,52,（每周）,10.51%,365(,每天,),10.52%,71,问题,：年利率,i,(,m,),一定的情况下，如果复利次数,m,为无穷大，年实际利率会是多少？,年复利次数,年实际利率,1,10.00%,365(,每天,),10.52%,10.52%,72,Example,A nominal annual rate of 6%is compounded every 8 months,what is the accumulation function?,Solution:,There are,m,=12/8=1.5 compounding periods per year,so,73,课后练习,：,银行,储蓄业务的年利率如下，请计算它们等价的年实际利率,。,存款年利率（）,活期,定,期,3,个月,6,个月,1,年,2,年,3,年,5,年,0.72,1.80,2.25,2.52,3.06,3.69,4.14,74,存款利率：等价的名义利率和实际利率的比较,定 期,3,个月,6,个月,1,年,2,年,3,年,5,年,年名义利率,1.80,2.25,2.52,3.06,3.69,4.14,等价的年实际利率,1.812,2.263,2.52,3.015,3.562,3.834,小于,1,年时，实际利率大于名义利率；,超过,1,年时,，实际利率小于名义利率。,75,Exercise,：,Eric deposits,X,into a savings account at time 0,which pays interest at a nominal rate of,i,compounded semiannually.,Mike deposits,2X,into a different savings account at time 0,which pays simple interest at an annual rate of,i,.,Eric and Mike earn the same amount of interest during the last 6 months of the 8th year.,Calculate,i,.,76,77,名义贴现率,(nominal annual rate of discount),定义,：,d,(,m,),是指每,1/,m,时期的实际贴现率为,d,(,m,),/,m,。,对名义贴现率的一种解释：,名义贴现率 是在,1/,m,时期内,与实际贴现率,d,等价的单贴现率。,78,Example,：,Find the present value of$1000 to be paid at the end of six year at 6%per annum payable in advance and convertible semiannually.,（名义贴现率为,6,，半年复利,1,次，第,6,年末的值为,$1000,，求现值）,解,：,79,名义利率与名义贴现率的关系,把,i,(,m,),/,m,和,d,(,m,),/,m,看作,1/,m,年内的实际利率和实际贴现率，则,80,例,：确定每季度复利一次的利率，使它等价于每月复利一次的,6,的贴现率。,解,：,81,nominal annual rate of discount is 10%,Compounding times per year,Effective annual rate of discount,1(,每年,),10.00%,2(,每半年,),9.75%,4(,每季,),9.63%,12(,每月,),9.55%,52(,每周,),9.53%,365(,每天,),9.52%,9.52%,82,小结：各种等价度量工具之间的数值大小关系？,m=1:12,i=0.05,d=i/(1+i),im=(1+i)(1/m)-1)*m,dm=(1-(1-d)(1/m)*m,matplot(m,cbind(im,dm),type=l,lwd=3,ylab=,main=,随着复利次数,m,的增加，名义利率和名义贴现率的变化过程,（假设实际利率为,5%,）,),legend(4,0.05,c(,名义利率,名义贴现率,),lty=1:2,col=1:2,lwd=2,box.col=white),abline(h=i,lty=2,col=4),abline(h=i/(1+i),lty=2,col=4),abline(h=log(1+i),lty=2,col=4),83,Example,:,Jeff deposits 10 into a fund today and 20 fifteen years later.Interest is credited at a nominal discount rate of,d,compounded quarterly for the first 10 years,and at a nominal interest rate of 6%compounded semiannually thereafter.The accumulated balance in the fund at the end of 30 years is 100.Calculate,d,.,$10,$20,0,15 years,30 years,$100,10 years,84,Solution,：,$10,$20,0,15 years,30 years,$100,10 years,85,回顾：,年实际利率可以度量资金在一年内的增长强度（,年平均,）。,名义利率可以度量资金在一个小区间（如一个月）的增长强度（,月平均,）。,问题：,如何度量资金在每一个,时点,上的增长强度？,在名义利率中，如果时间区间,无穷小,，名义利率就度量了资金在一个,时点,上的增长强度。称作,利息力,。,1.8,利息力,(,force of interest,),86,定义,：,利息力,度量资金在每一时点上（无穷小的时间区间）增长的强度。,在时间区间,t,t+h,的,实际,利率为,对应的年,名义,利率为（,1,年包含,1/,h,个小区间）,87,为时刻,t,的利息增长强度（即,利息力）。,定义：,设积累函数连续可导，则时刻,t,的,利息力,为,问题,：为什么,不用,a,(,t,),直接度量利息的增长强度？,88,单利在,t,时刻的利息力,单利的累积函数,t,时,的利息力为,单利的利息力是时间的,递减,函数（参见下图）。,89,90,复利在时刻,t,的利息力,因为,所以时刻,t,的利息力为,复利的利息力是,常数,！与时间无关。称为复利的利息力。故累积函数可以表示为,91,用利息力表示的累积函数和贴现函数：,两边从,0,到,t,积分，得,故有,92,对利息力的另一个解释：,在复利条件下，当,m,趋于无穷时的名义利率就是,利息力,：,93,问题,：当,m,趋于无穷时的名义贴现率,d,(,m,),与利息力有何关系？,利息力的相关概念：,连续收益率？,连续复利？,对数收益率？股票的日收益率？,例：,股价：,100,101,102,对数收益率：,ln(101/100),ln(102/101),94,95,1.9,贴现力,(,force of discount,),用贴现函数,a,-,1,(,t,),代替累积函数,，在,t,时刻的贴现力为,增加一个负号使得贴现力为正。,利息力,=,贴现力：,96,1.10,利率概念辨析,实际利率和名义利率,：在经济学中，实际利率是扣除了通胀率以后的利率；名义利率是包含通胀率的利率。,用,i,表示名义利率，,r,表示实际利率，,表示通胀率，则有,(1+,i,)=(1+,r,)(1+,),i,=,r,+,+,r,可近似表示为,i,r,+,或,r,i,即实际利率近似等于名义利率减去通胀率。,例：,当前存入,100,元，,1,年后获得,110,元。如果通胀率为,10%,，则实际利率为,0,。,97,利率和贴现率：,在需要计算现值的场合，利率有时被误称为贴现率,。,计算现值可以用利率、贴现率、利息力：,98,小结,99,A customer is offered an investment where interest is calculated according to the following force of interest:,The customer invests 1000 at time,t,=0.,What nominal rate of interest,compounded quarterly,is earned over the first fouryear period?,Exercise,100,Solution:,101,Exercise,：,Bruce deposits 100 into a bank account.His account is credited interest at a nominal rate of interest,i,convertible semiannually.,At the same time,Peter deposits 100 into a separate account.Peters account is credited interest at a force of interest of,d,.,After 7 years,the value of each account is 200.,Calculate(,i,-,d,).,102,103,At time 0,K,is deposited into Fund,X,which accumulates at a force of interest,d,t,=0.006,t,2,.,At time,m,2,K,is deposited into Fund,Y,which accumulates at an annual effective interest rate of 10%.,At time,n,where,n,m,the accumulated value of each fund is 4,K,.,Determine,m,.,Exercise,104,Solution:,For the fund,X,So,n,=,8.85.,For the fund,Y,m,=8.85,7.27=1.58,105,Tawny makes a deposit into a bank account which credits interest at a nominal interest rate of 10%per annum,convertible semiannually.,At the same time,Fabio deposits 1000 into a different bank account,which is credited with simple interest.,At the end of 5 years,the forces of interest on the two accounts are equal,and Fabios account has accumulated to,Z,.,Determine,Z,.,Exercise,106,Solution,：,For Tawnys bank account,and the force of interest is,For Fabios account,a,(,t,)=1+,it,and,d,t,=,i,/(1+,it,),.,At time,t,=5,2 ln(1.05)=,i,/(1+,i,5).So,107,Brian and Jennifer each take out a loan of,X,.,Jennifer will repay her loan by making one payment of 800 at the end of year 10.,Brian will repay his loan by making one payment of 1120 at the end of year 10.,The nominal semi-annual rate being charged to Jennifer is exactly onehalf the nominal semiannual rate being charged to Brian.,Calculate,X,.(,X,=568.14),Exercise,108,解,：,109,x,(1+,i,),20,=800,x,(1+2,i,),20,=1120,i,=0.017259,x,=568.14,110,例：,基金,A,以利息力函数 累积；,基金,B,以利息力函数 累积。,分别用 和 表示它们的累积函数。,令 ，计算使 达到最大的时刻,T,。,111,解,：,h,(,t,)=,t,2,t,2,，,h,(,t,)=1 4,t,，因此当,t,1/4,时，,h,(,t,),达到最大。,等额年金,（,Level Annuity,）,孟生旺,中国人民大学统计学院,annuity,）,永续年金,（,Perpetuity,）,每年支付,m,次的年金（,mthly payable annuity,）,连续年金（,continuous payable annuity,）,115,年金（,annuity,）,含义：一系列的付款（或收款），付款时间和付款金额具有一定规律性。,116,年金的类型,支付时间和支付金额是否确定？,确定,年金,(annuity-certain),风险,年金,(contingent annuity),。,支付期限？,定期,年金（,period-certain annuity),永续,年金（,perpetuity,）。,支付时点？,期初,付,年金（,annuity-due,）,期末付,年金（,annuity-immediate,）,开始支付的时间,？,即,期,年金，简称年金,延期,年金（,deferred annuity,）,每次付款的金额是否相等,？,等额,年金,(level annuity,),变,额,年金,(varying annuity,),117,118,1,、期末付年金,（,Annuity-immediate,）,含义：,每个时期末付款,1,元。,年金,时间,119,：,a-angle-n,期末付年金的现值因子,（,annuity-immediate present value factor,）,120,：,s-angle-n,期末付年金的累积值（终值）因子,annuity-immediate accumulated value factor,121,等价关系式（,1,）：,含义：,初始投资,1,，在每期末产生利息,i,，这些利息的现值为 。在第,n,个时期末收回本金,1,，其现值为 。,1,i,i,i,1,0,122,证明（可略）：,(,下,图解释）,等价关系式（,2,）：,123,0,n,1,i,i,i,i,i,+,1,1,124,例：,银行贷出,100,万元的贷款，期限,10,年，年实际利率为,6,，请计算在下面三种还款方式下，银行在第,10,年末的累积值是多少,（假设：银行收到的款项仍然按,6%,的利率进行投资）,。,本金和利息在第,10,年末一次还清；,每年的利息在当年末支付，本金在第,10,年末归还。,在,10,年期内，每年末偿还相等的金额。,125,解：,（,1,）,10,年末的累积值为,（,2,）,（,3,）设每年末的偿还额为,R,，则,126,2,、期初付年金（,annuity-due,）,含义,：在,n,个时期，每个时期,初,付款,1,元。,1 1 1 1 1,0 1 2 3 ,n,-1,n,127,期初付年金的现值,因子,期初付年金的积累值,因子,128,和 的关系,证明（可略）：,129,0,n,1,d,d,d,1,d,i,i,i,i,+,1,130,3,、期初付年金和期末付年金的关系,说明,:,的,n,次,付款分解,为第,1,次,付款,与,后面,的,(,n,1),次付款,。,1,1,1,1,n,次,1,1,1,1,1,131,Example,Charles has inherited an a