东城区—学年第一学期期末统一测试.doc

东城区—学年第一学期期末统一测试
东城区2013—2014学年第一学期期末统一测试
初三数学 2014.1
学校 班级 姓名 考号
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是

A

B

C

D
2．用配方法解方程x2 - 2x - 1=0时，配方后得到的方程为
A． B． C． D．
3．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列是必然事件的是
A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球
B．摸出的三个球中至少有一个球是白球
C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球
D．摸出的三个球中至少有两个球是白球
4．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，
CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于
A．116° B．64° C．58° D．32°
5．如图，电线杆上的路灯距离地面8米，身高1.6米的小明
(AB)站在距离电线杆的底部（点O）20米的A处， 则小
明的影子AM长为
A．4米 B．5米
C．6米 D．8米

6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正
确的是
A．a＞0 B．当 -1＜x＜3时，y＞0
C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大
7．如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半
径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是
A．－ B．－
A
B
C
D
E
O
F
C．π－ D．π－
8．如图，正方形ABCD中，AB＝8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动．设运动时间为t(s)，△OEF的面积为S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为

A B C D
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围 是 ．
10．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，-1）的抛物线
的解析式__________．
11．如图，在Rt△OAB中，∠B=90°∠AOB=30°，将△OAB绕
点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB=　 　 °.
12．射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△的边相切，请写出t可取的所有值 ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解方程：.

14．如图，△和△是两个完全重合的直角三角板，，斜边长为10cm．三角形板绕直角顶点C顺时针旋转，当点落在AB边上时，求旋转所构成的扇形的弧长．

15．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE，BD，且AE，BD交于点F，S△DEF∶S△ABF = 4∶25，求DE∶EC的值．

16．二次函数的图象与x轴交于点A（-1, 0），与y轴交于点C（0，-5），且经过点D（3，-8）.
（1）求此二次函数的解析式和顶点坐标；
（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在原点处，并写出平移后抛物线的解析式．

17．画图：
（1）如右图，已知△和点O．将△绕点O顺时针旋转90°得到△，在网格中画出△；

（2）如图，AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺（只能画线）按要求画图．
（i）在图1中，画出△的三条高的交点；
（ii）在图2中，画出△中AB边上的高．

图1 图2
18．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，求EC的长．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花，其中红桃、方块为红色，黑桃、梅花为黑色．小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，摸出一张，将剩余3张洗匀后再摸出一张. 请用画树状图或列表的方法求摸出的两张牌均为黑色的概率.

20．在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．
图①
图②

21．在Rt△ACB中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD∶AO=8∶5，BC=3，求BD的长．

22．阅读理解：
如图1，若在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E与点A，B不重合），分别连结ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：
（1）如图1，若∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，请直接写出的值．

图1 图2 图3

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知二次函数（a, m为常数，且a≠0）.
（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，当△ABC是等腰直角三角形时，求a的值．

24．如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中
.
（1）操作发现
如图2，固定，使绕点顺时针旋转．当点恰好落在边上时，填空：
图1 图2
① 线段与的位置关系是 ；
② 设的面积为，的面积为，则与的数量关系是 ，证明你的结论；
（2）猜想论证
当绕点旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．

图3
25．在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），已知点E（0，1）．
（1）求m的值与点A的坐标；
（2）如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连结A′B、BE′．
①当点E′落在该二次函数的图象上时，求AA′的长；
②设AA′=n，其中0＜n＜2，试用含n的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标；
③当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标．

东城区2013-2014学年第一学期期末统一测试
初三数学参考答案与评分标准 2014.1
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
A
D
B
B
A
B
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
题号
9
10
11
12
答案
k＞-1且k≠0

答案不唯一
70
t=2或3≤t≤7
或t=8
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解方程：.
解：变形为 . ………………..1分
配方，. …………..……..2分
整理，得. ………………..3分
解得，. ………………..5分
14．解：由题意可求，∠AC A′=60°，CA=5． ………………..2分
所以． ………………..5分
15．解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD．
∴ △DEF∽△BAF． ………………..1分
∴ ． ………………..2分
∴ ． ………………..3分
又∵ , ………………..4分
∴ DE∶EC=2∶3 ． ………………..5分
16．解：（1）由题意，有
解得
∴此二次函数的解析式为. ………………..2分
∴，顶点坐标为(2，-9). ………………..4分
（2）先向左平移2个单位，再向上平移9个单位，得到的抛物线的解析式为y = x2．
………………..5分
17．（1）

………………..3分

（2）（i）如图1，点P就是所求作的点；
（ii）如图2，CD为AB边上的高.

图1 图2 ………………..5分
18．解：∵ OD⊥AB，
∴ AC=BC． ………………..1分
设AO = x．
在Rt△ACO中，．
∴ ．
解得 ． ………………..2分
∴ AE=10，OC=3． ………………..3分
连结BE．
∵ AE是直径，
∴ ∠ABE=90°．
由OC是△ABE的中位线可求 ． ………………..4分
在Rt△CBE中，．
∴ ． ………………..5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19.
解：（1）树状图：
A
B
C
D
B
B
B
C
C
C
D
D
D
A
A
A

列表法：

A
B
C
D
A

AB
AC
AD
B
AB

BC
BD
C
AC
CB

CD
D
AD
DB
DC

………………..3 分
（2）P＝＝． ………………..5分
20．解：设金色纸边的宽为x分米 ． ………………..1分
根据题意，得
（2x＋6）(2x＋8)＝80. ………………..3分
解得：x1＝1，x2＝－8（不合题意，舍去）． ………………..4分
答：金色纸边的宽为1分米． ………………..5分
21．解：（1）直线BD与⊙O的位置关系是相切．
证明：连结OD，DE.
∵∠C=90°，
∴∠CBD +∠CDB=90°．
∵∠A=∠CBD，
∴∠A+∠CDB=90°．
∵OD = OA，
∴∠A=∠ADO．
∴∠ADO + ∠CDB=90°．
∴∠ODB = 180° - 90°=90°．
∴OD⊥BD．
∵OD为半径，
∴BD是⊙O切线． ………………..2分
（2）∵AD : AO=8 : 5，
∴=．
∴由勾股定理得AD : DE : AE = 8 : 6 : 10．
∵∠C=90°，∠CBD=∠A.
∴△BCD∽△ADE．
∴DC : BC : BD= DE : AD : AE=6 : 8 : 10．
∵BC=3，
∴BD=． ………………..5分
22．
解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．
理由：∵∠A = 55°，
∴∠ADE +∠DEA = 125°．
∵∠DEC = 55°，
∴∠BEC +∠DEA=125°．
∴∠ADE =∠BEC．
∵∠A =∠B，
∴△ADE∽△BEC．
∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点． ………………..2分
（2）作图如下：

图1 图2 ………………..4分

（3）． ………….. 5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23. 解：（1）证明：

……………………………..1分

…………………………..2分
∵
∴
∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．…………..3分
（2）

…………………………4分
当y=0时，
解得x1 = m，x2 = m + 2.
∴AB=（m + 2）- m = 2. ………………………………..5分
当△ABC是等腰直角三角形时，可求出AB边上高等于1．
∴ ．
∴ ． ……………………………………………..7分
24．解：（1）①线段与的位置关系是 平行 ． …………………..1分
②S1与S2的数量关系是 相等 ．
证明：如图2，过D作DN⊥AC交AC于点N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，过C作CF⊥AB交AB于点F．
由①可知 △ADC是等边三角形，∥，
∴DN=CF, DN=EM．
∴CF=EM．
∵，
∴．
又∵,
∴． 图2
∵，，
∴=． …………………..3分
（2）证明：如图3，作DG⊥BC于点G，AH⊥CE交EC延长线于点H.
∵．
又∵．
又∵,
∴△AHC≌△DGC．
∴AH=DG．
又∵CE=CB, 图3
∴． ……………………..7分
25．解：（1）由题意可知 ，．
∴ 二次函数的解析式为．
∴ 点A的坐标为（- 2, 0）． …………………………..2分
（2）①∵ 点E（0,1），由题意可知，
．
解得 ．
∴ AA′=． ……………………………..3分
②如图，连接EE′．
由题设知AA′=n（0＜n＜2），则A′O = 2 - n．
在Rt△A′BO中，由A′B2 = A′O2 + BO2，
得A′B2 =(2–n)2 + 42 = n2 - 4n + 20．
∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，
∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．
∴∠BEE′=90°，EE′=n．
又BE=OB - OE=3.
∴在Rt△BE′E中，BE′2 = E′E2 + BE2 = n2 + 9，
∴A′B2 + BE′2 = 2n2 - 4n + 29 = 2(n–1)2 + 27．
当n = 1时，A′B2 + BE′2可以取得最小值，此时点E′的坐标是（1，1）．
……………………………..5分
③如图，过点A作AB′⊥x轴，并使AB′ = BE = 3．
易证△AB′A′≌△EBE′，
∴B′A′ = BE′，
∴A′B + BE′ = A′B + B′A′．
当点B，A′，B′在同一条直线上时，A′B + B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．
易证△AB′A′∽△OBA′，
∴，
∴AA′=，
∴EE′=AA′=，
∴点E′的坐标是（，1）． ………………………………………….8分
21 / 21