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概率论期末考试复习题及答案
第一章

1.设P（A）=，P（A∪B）=，且A与B互不相容，则P（B）=___________.

2. 设P（A）=，P（A∪B）=，且A与B相互独立，则P（B）=___________.

3．设事件A与B互不相容，P（A）=0.2，P（B）=0.3，则P（）=___0.5_____.

4．已知P（A）=1/2，P（B）=1/3，且A，B相互独立，则P（A）=________1/3________.
A与相互独立

5．设P（A）=0.5，P（A）=0.4，则P（B|A）=___0.2________.

6．设A，B为随机事件，且P(A)=0.8，P(B)=0.4，P(B|A)=0.25，则P(A|B)=____ 0.5______．

7．一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是________ 0.6________．

8．设袋中装有6只红球、4只白球，每次从袋中取一球观其颜色后放回，并再放入1只同颜色的球，若连取两次，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率等于____12/55____.

9．一袋中有7个红球和3个白球，从袋中有放回地取两次球，每次取一个，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率p=___0.21_____.

10．设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.求：（1）从该厂生产的产品中任取1件，它是次品的概率； 3.5% （2）该件次品是由甲车间生产的概率.

第二章
1.设随机变量X~N（2，22），则P{X≤0}=___0.1587____.（附：Φ（1）=0.8413）
设随机变量X~N（2，22），则P{X≤0}=（P{(X-2)/2≤-1}
=Φ（-1）=1-Φ（1）=0.1587
2.设连续型随机变量X的分布函数为
则当x>0时，X的概率密度f(x)=___ _____.

3．设随机变量X的分布函数为F（x）=则常数a=____1____.

4．设随机变量X~N（1，4），已知标准正态分布函数值Φ（1）=0.8413，为使P{X<a}<0.8413，则常数a<___3_________.

5．抛一枚均匀硬币5次，记正面向上的次数为X，则P{X≥1}=____________.

6.X表示4次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.5，则X~ _B(4, 0.5)____

7.设随机变量X服从区间[0，5]上的均匀分布，则P= ____0.6_______.

X
-1
0
1
2
P

8.设随机变量X的分布律为 ，且Y=X2，记随机

变量Y的分布函数为FY（y），则FY（3）=_____9/16____________.

9.设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a/N， k=1，2，…，N，
试确定常数a. 1

10.已知随机变量X的密度函数为
f(x)=Ae-|x|, -∞<x<+∞,
求：（1）A值；（2）P{0<X<1}; (3) F(x).
(1-e-1)
11.设随机变量X分布函数为
F（x）=
（1） 求常数A，B；
（2） 求P{X≤2}，P{X＞3}；
（3） 求分布密度f（x）.
A=1 B=-1 P{X≤2}= P{X＞3}=
12.设随机变量X的概率密度为
f（x）=
求X的分布函数F（x）.

13.设随机变量X的分布律为
X
-2 -1 0 1 3
Pk
1/5 1/6 1/5 1/15 11/30
求（1）X的分布函数，（2）Y=X2的分布律.
Y
0 1 4 9
Pk
1/5 7/30 1/5 11/30

14.设随机变量X~U（0,1），试求：
（1） Y=eX的分布函数与密度函数；
（2） Z=-2lnX的分布函数与密度函数.

第三章
1．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
（1）求边缘概率密度fX(x)和fY(y)，（2）问X与Y是否相互独立，并说明理由.

因为 ，所以X与Y相互独立

2．设二维随机变量，且X与Y相互独立，则=____0______.

3.设X~N（-1，4），Y~N（1，9）且X与Y相互独立，则2X-Y~___ N（-3，25）____.

4.设随机变量X和Y相互独立，它们的分布律分别为

Y
-1
0
P

X
-1
0
1
P

， ，

则____________.
5．设随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布，其中区域D是直线y=x，x=1和x轴所围成的三角形区域，则(X,Y)的概率密度．

6．设随机变量X与Y相互独立，且X，Y的分布律分别为
X
0
1

Y
1
2
P

P

试求：（1）二维随机变量（X，Y）的分布律；（2）随机变量Z=XY的分布律.
X
Y
0
1
1
2
0.1
0.15
0.3
0.45

Z
0
1
2
P
0.25
0.3
0.45

7．设二维随机向量（X，Y）的联合分布列为
X
Y
0
1
2
1
2
0.1
a
0.2
0.1
0.1
0.2
求：（1）a的值；（2）（X，Y）分别关于X和Y的边缘分布列；（3）X与Y是否独立？为什么？（4）X+Y的分布列.
a=0.3
X
0
1
2

Y
1
2
P
0.4
0.3
0.3

P
0.4
0.6
因为，所以X与Y不相互独立。
X+Y
1
2
3
4
P
0.1
0.5
0.2
0.2

8.设随机变量（X，Y）的分布密度
f（x，y）=
求：（1） 常数A； （2） P{0≤X<1，0≤Y<2}.
A=12 P{0≤X<1，0≤Y<2}=

9.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
（1） 确定常数k；（2） 求P{X＜1，Y＜3}；（3） 求P{X+Y≤4}.

10.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为
fY（y）=
求 X与Y的联合分布密度.
f（x, y）=

11.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
求边缘概率密度.

12.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
求边缘概率密度.

13.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
（1） 试确定常数c；
（2） 求边缘概率密度.

14.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.

15.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为
X
Y

2 5 8

0.4
0.8
0.15 0.30 0.35
0.05 0.12 0.03
（1）求关于X和关于Y的边缘分布；
（2） X与Y是否相互独立？

第四章
1.设X~B（4，），则E（X2）=____5_______.
2.设E（X）=2，E（Y）=3，E（XY）=7，则Cov（X，Y）=____1_______.

3．随机变量X的所有可能取值为0和，且P{X=0}=0.3，E（X）=1，则=____10/7________.

4．设随机变量X服从参数为3的指数分布，则E（2X+1）=__5/3__, D（2X+1）=___4/9___.

X
-1
0
5
P
0.5
0.3
0.2

5． X的分布律为 , 则__ 0.8 __.

6．设X1，X2，Y均为随机变量，已知Cov(X1,Y)=-1，Cov(X2,Y)=3,则Cov(X1+2X2, Y)=__7_____.

7．设X~N（0，1），Y~B（16，），且两随机变量相互独立，则D(2X+Y)= ____8____．

8．设二维随机向量（X，Y）的概率密度为试求：
（1）E（X），E（Y）；（2）D（X），D（Y）；（3）ρXY.
2/3 4/3 1/18 2/9 0
9．设二维随机变量（X，Y）的分布律为
X Y
0
1
2
0
0.1
0.2
0.1
1
0.2

,
且已知E（Y）=1，试求：（1）常数，；（2）E（X）；（3）E（XY）.
0.2 0.2 0.6 0.6
10.设随机变量X的分布律为

X
-1 0 1 2
P
1/8 1/2 1/8 1/4
求E（X），E（X2），E（2X+3）.

11.设随机变量X的概率密度为
f（x）=
求E（X），D（X）.

12.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.
（1） U=2X+3Y+1；
（2） V=YZ -4X.

13.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X -2Y），D（2X -3Y）.

14.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
试确定常数k，并求.

15.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)= -1,
计算：Cov（3X -2Y+1，X+4Y -3）.

16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.

17.设随机变量（X，Y）的分布律为
X
Y

-1 0 1

-1
0
1
1/8 1/8 1/8
1/8 0 1/8
1/8 1/8 1/8
验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.

第六章
1.设总体，X1, X2,…,Xn为样本，则统计量的抽样分布为______.
2. 设X1，X2…，Xn是来自总体的样本，则2 ～____（需标出参数）．
3. 设X1，X2，…，Xn （n>5） 是来自总体的样本，则 ～____（需标出参数）．

4.设总体，X1, X2,…,Xn为来自该总体的样本，则，则=____1____， _____。
5．设总体，X1，X2，…，Xn为来自该总体的一个样本，令U=，则D（U）=____1_______.
6.设总体X~N（60，152），从总体X中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率.（用标准正态分布函数表示）
7．设总体X~N（μ，16），X1，X2，…，X10是来自总体X的一个容量为10的简单随机样本，S2为其样本方差，则统计量______～.

第七章

1. 设总体X的概率密度为
其中是未知参数，x1,x2,…,xn是来自该总体的样本，试求的矩估计和极大似然估计.

2. 设总体X服从（0，）上的均匀分布，今得X的样本观测值：0.2, 0.3, 0.5, 0.1, 0.6, 0.3, 0.2, 0.2，求求的矩估计值和极大似然估计值. 0.6 0.6

3. 设总体X服从参数为λ的泊松分布，其中λ为未知参数，X1，X2，…，Xn为来自该总体的一个样本，求参数λ的矩估计量和极大似然估计量.

4. 设总体，为其样本，若估计量为的无偏估计量，则k = ___1/6_____.

5. 设总体是，是总体的简单随机样本，, 是总体参数的两个估计量，且=，=，其中较有效的估计量是______.

6. 设某种砖头的抗压强度，今随机抽取20块砖头，测得抗压强度数据（单位：kg·cm-2）的均值，和标准差：
（1） 求μ的置信概率为0.95的置信区间.
（2） 求σ2的置信概率为0.95的置信区间.
（其中
）
(68.11, 85.09) (190.33, 702.01)

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