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湘教版二次根式知识点总结
第五章 二次根式知识点

知识点一： 二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件， 如，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围
1.    二次根式有意义的条件：当a≧0时，有意义，
2.    二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根，0（）。
注：这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质
（）
注：上面的公式也可以反过来应用：若，则.

知识点五：二次根式的性质

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；
2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：及的异同点
1、不同点：表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。
 ，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，
即 时，=；
时，无意义，而.

知识点七：二次根式的性质和最简二次根式
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；
⑵被开方数中不含分母；
⑶分母中不含根式。

知识点八：二次根式的乘法和除法
　二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
=·（a≥0，b≥0）； （b≥0，a>0）．
；；

知识点九：二次根式的加法和减法
　　1 同类二次根式
　　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
　　2 合并同类二次根式
　　把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
　　3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。

知识点十：分母有理化
常用分母有理化因式： ，， ，它们也叫互为有理化因式.分母有理化有两种方法
I.分母是单项式

II.分母是多项式
　　要利用平方差公式

注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。
1. 化简
知识点十一：比较数值
（1）、根式变形法
当时，①如果，则；②如果，则。
例1、比较及的大小。

（2）、平方法
当时，①如果，则；②如果，则。
例2、比较及的大小。

（3）、分母有理化法
通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
例3、比较及的大小。

（4）、分子有理化法
通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
例4、比较及的大小。

（5）、倒数法
例5、比较及的大小。

（6）、媒介传递法
适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
例6、比较及的大小。

（7）、作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质：
①；②
例7、比较及的大小。

（8）、求商比较法
它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：
①； ②
例8、比较及的大小。

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