概率论与数理统计期末考试试题及答案.docx

概率论与数理统计期末考试试题〔A〕
专业、班级： 姓名： 学号：
题 号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
总成绩
得 分

一、单项选择题(每题3分 共18分)
1．D 2．A 3．B 4．A 5．A 6．B
〔1〕

〔2〕设随机变量X其概率分布为 X -1 0 1 2
P 0.2 0.3 0.1 0.4
那么〔 〕。
(A) (B) 1 (C) 0 (D)

〔3〕
设事件与同时发生必导致事件发生，那么以下结论正确是〔 〕
〔A〕 〔B〕
〔C〕 〔D〕

〔4〕

〔5〕设为正态总体一个简单随机样本，其中
未知，那么〔 〕是一个统计量。
(A) (B)
(C) (D)
〔6〕设样本来自总体未知。统计假设
为 那么所用统计量为〔 〕
(A) (B)
(C) (D)

二、 填空题(每空3分 共15分)
1. 2. , 3. 4.
〔1〕如果，那么 .

〔2〕设随机变量分布函数为

那么密度函数 ， .
〔3〕

〔4〕设总体和相互独立,且都服从，是来自总体
样本，是来自总体样本，那么统计量
服从 分布〔要求给出自由度〕。
三、(6分) 设 相互独立，，，求.
解： 0.88=
= (因为相互独立)……..2分
= …………3分
那么 ………….4分

…………6分

四、〔6 分〕某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯在
运行概率均为0.7，求在此时刻至少有1台电梯在运行概率。

解：用表示时刻运行电梯数， 那么~ ………...2分
所求概率 …………4分
=0.9919 ………….6分

五、〔6分〕设随机变量X概率密度为 ，
求随机变量Y=2X+1概率密度。

解：因为是单调可导，故可用公式法计算 ………….1分

当时， ………….2分
由， 得 …………4分
从而密度函数为 …………..5分
= …………..6分

六、〔8分〕 随机变量和概率分布为

而且.
(1) 求随机变量和联合分布;
(2)判断与是否相互独立
解：因为，所以
(1)根据边缘概率与联合概率之间关系得出

-1 0 1

0

1

0
0

0

………….4分
(2) 因为
所以 与不相互独立
…………8分

七、〔8分〕设二维随机变量联合密度函数为

求：〔1〕；〔2〕求边缘密度。

解：〔1〕 …………..2分
=

=[] ………….4分

〔2〕 …………..6分
……………..8分

八、〔6分〕一工厂生产某种设备寿命〔以年计〕服从参数为指数分布。工厂规定，出售设备在售出一年之内损坏可予以调换。假设工厂售出一台设备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，求工厂出售一台设备净盈利期望。
解： 因为 得 ………….2分
用表示出售一台设备净盈利
…………3分
那么
………..4分
所以
〔元〕 ………..6分

九、〔8分〕设随机变量与数学期望分别为和2，方差分别为1和4，而相关系数为，求。
解：
那么 ……….4分
……….5分
……….6分
=12 …………..8分

十、〔7分〕设供电站供给某地区1 000户居民用电，各户用电情况相互独立。每户每日用电量〔单位：度〕服从[0，20]上均匀分布，利用中心极限定理求这1 000户居民每日用电量超过10 100度概率。〔所求概率用标准正态分布函数值表示〕.
解：用表示第户居民用电量，那么
………2分
那么1000户居民用电量为，由独立同分布中心极限定理
………3分
= ………4分
……….6分
= ………7分

十一、〔7分〕设是取自总体一组样本值，密度函数为

其中未知，求最大似然估计。
解: 最大似然函数为
……….2分
= ……… .3分
那么

………..4分
令 ………..5分
于是最大似然估计：
。 ……….7分

十二、〔5分〕某商店每天每百元投资利润率服从正态分布，均值为，长期以来方差 稳定为1，现随机抽取100天利润，样本均值为，试求置信水平为95%置信区间。〔 〕
解： 因为，且 …………1分
故 …………2分
依题意
那么置信水平为95%置信区间为
…………4分
即为 [4.801,5.199] …………5分