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任意角
[学习目标]　1.结合实际问题，了解角的概念的推广及其实际意义.2.掌握象限角的概念.3.掌握终边一样的角的表示方法．
知识点一　任意角的概念
(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置 OA旋转到另一个位置OB所成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．
(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：
类型
定义
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
思考　经过1小时，时针转过多少度？
答案　－30°.
知识点二　象限角
如果角的顶点及坐标原点重合，角的始边及x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
思考　锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？
答案　锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．
知识点三　终边一样的角
所有及角α终边一样的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一及角α终边一样的角，都可以表示成角α及整数个周角的和．
思考1　下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角，请完成下表.
终边所在的位置
角的集合
x轴正半轴
{α|α＝k·360°，k∈Z}
x轴负半轴
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
y轴正半轴
{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
y轴负半轴
{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
思考2　下表是终边落在各个象限的角的集合，请补充完整.
α终边所在
的象限
角α的集合
第一象限
{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}
第二象限
{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}
第三象限
{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}
第四象限
{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}
题型一　终边一样的角及象限角
例1　角α＝2 010°.
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ及α终边一样，且－360°≤θ<720°.
解　(1)由2 010°除以360°，得商为5，余数为210°.
∴取k＝5，β＝210°，
α＝5×360°＋210°.
又β＝210°是第三象限角，
∴α为第三象限角．
(2)及2 010°终边一样的角为
k·360°＋2 010°(k∈Z)．
令－360°≤k·360°＋2 010°<720°(k∈Z)，
解得－6≤k<－3(k∈Z)．
所以k＝－6，－5，－4.
将k的值代入k·360°＋2 010°中，得角θ的值为－150°，210°，570°.
跟踪训练1　在0°～360°范围内，找出及以下各角终边一样的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
解　(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，及－150°角终边一样的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，及650°角终边一样的角是290°角，它是第四象限角．
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，及－950°15′角终边一样的角是129°45′角，它是第二象限角．
题型二　等分角所在象限的判断
例2　α是第二象限角，试确定2α，的终边所在的位置．
解　因为α是第二象限角，
所以k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z.
所以2k·360°＋180°<2α<2k·360°＋360°，k∈Z，
所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上．
因为k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z，
所以k·180°＋45°<<k·180°＋90°，k∈Z，
所以当k＝2n，n∈Z时，
n·360°＋45°<<n·360°＋90°，
即的终边在第一象限；
当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋225°<<n·360°＋270°，
即的终边在第三象限．
所以的终边在第一或第三象限．
跟踪训练2　α为第三象限角，那么所在的象限是(　　)
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
答案　D
解析　由于k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，
得·360°＋90°<<·360°＋135°.
当k为偶数时，为第二象限角；
当k为奇数时，为第四象限角．
题型三　终边一样角的应用
例3　，如下图，
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影局部(包括边界)的角的集合．
解　(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．
(2)终边落在阴影局部(含边界)角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．
跟踪训练3　如下图，写出终边落在阴影局部的角的集合．
解　设终边落在阴影局部的角为α，角α的集合由两局部组成．
①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．
②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．
∴角α的集合应当是集合①及②的并集：
{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}
∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}
∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．
角α所在象限，求所在象限问题
例4　α是第一象限角，那么角的终边可能落在______．(填写所有正确的序号)
①第一象限　②第二象限　③第三象限　④第四象限
解析　∵α是第一象限角，
∴k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z，
∴·360°<<·360°＋30°.
当k＝3m，m∈Z时，m·360°<<m·360°＋30°，
∴角的终边落在第一象限．
当k＝3m＋1，m∈Z时，m·360°＋120°<<m·360°＋150°，
∴角的终边落在第二象限．
当k＝3m＋2，m∈Z时，m·360°＋240°<<m·360°＋270°，
∴角的终边落在第三象限，应选①②③.
答案　①②③
1．－361°的终边落在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，那么以下等式中成立的是(　　)
A．A＝B B．B＝C
C．A＝C D．A＝D
3．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________________．
4．及－1 692°终边一样的最大负角是________．
5．写出终边落在坐标轴上的角的集合S.
一、选择题
1．假设α＝45°＋k·180°(k∈Z)，那么α的终边在(　　)
A．第一或第三象限 B．第二或第三象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
2．假设α是第四象限角，那么180°－α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3．及－460°角终边一样的角的集合是(　　)
A．{α|α＝k·360°＋460°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋100°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋260°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－260°，k∈Z}
4．给出以下四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．以下命题正确的选项是(　　)
A．第二象限角比第一象限角大
B．A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，那么AB
C．假设k·360°<α<k·360°＋180°(k∈Z)，那么α为第一或第二象限角
D．终边在x轴上的角可表示为k·360°(k∈Z)
6．集合M＝，P＝x|x＝±90°，k∈Z，那么M、P之间的关系为(　　)
A．M＝P B．MP C．MP D．M∩P＝∅
二、填空题
7．角α＝－3 000°，那么及角α终边一样的最小正角是________．
8．如下图，终边落在阴影局部(含边界)的角的集合是________________．
9．假设α＝1 690°，角θ及α终边一样，且－360°<θ<360°，那么θ＝________________.
10．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，那么A∩B＝________________.
三、解答题
11.如下图，写出终边落在直线y＝x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．
12．α，β都是锐角，且α＋β的终边及－280°角的终边一样，α－β的终边及670°角的终边一样，求角α，β的大小．
13.如下图，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1,0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，P点在1 s内转过的角度为θ (0°<θ<180°)，经过2 s到达第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ.
当堂检测答案
1．答案　D
解析　因为－361°的终边和－1°的终边一样，所以它的终边落在第四象限，故为第四象限角，应选D.
2．答案　D
解析　直接根据角的分类进展求解，容易得到答案．
3．答案　195°＋(－3)×360°
4．答案　－252°
解析　∵－1 692°＝－5×360°＋108°，
∴及108°终边一样的最大负角为－252°.
5．解　终边落在x轴上的角的集合：
S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；
终边落在y轴上的角的集合：
S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}；
∴终边落在坐标轴上的角的集合为：
S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}
＝{β|β＝2k·90°或β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}．
课时精练答案
一、选择题
1．答案　A
2．答案　C
解析　可以给α赋一特殊值－60°，那么180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．
3．答案　C
解析　∵－460°＝－2×360°＋260°，
∴－460°及角260°终边一样，
∴及－460°角终边一样的角的集合是
{α|α＝k·360°＋260°，k∈Z}．
4．答案　D
解析　－75°是第四象限角；225°是第三象限角；475°＝360°＋115°是第二象限角；－315°＝－360°＋45°是第一象限角，故①②③④全正确，选D.
5．答案　B
解析　A不正确，如－210°<30°.
在B中，当k＝2n，k∈Z时，β＝n·180°，n∈Z.
∴AB，∴B正确．
又C中，α为第一或第二象限角，或在y轴的非负半轴上，
∴C不正确．显然D不正确．
6．答案　B
解析　对集合M来说，x＝(2k±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P来说，x＝(k±2)·45°，即45°的倍数．
二、填空题
7．答案　240°
解析　∵－3 000°＝－9×360°＋240°，
∴及－3 000°角终边一样的最小正角为240°.
8．答案　{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
9．答案　－110°或250°
解析　∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，
∴θ＝k·360°＋250°，k∈Z，
∵－360°<θ<360°，∴k＝－1或0.
∴θ＝－110°或250°.
10．答案　{－126°，－36°，54°，144°}
解析　当k＝－1时，α＝－126°；
当k＝0时，α＝－36°；
当k＝1时，α＝54°；
当k＝2时，α＝144°.
∴A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}．
三、解答题
11.解　终边落在y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在y＝x(x≤0)上的角的集合是S＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，
于是终边在y＝x上角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}
＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．
12．解　由题意可知，
α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z，
∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.
取k＝1，得α＋β＝80°.①
∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°.②
由①②，得α＝15°，β＝65°.
13.解　∵0°<θ<180°，且k·360°＋180°<2θ<k·360°＋270°，k∈Z，
那么一定有k＝0，于是90°<θ<135°.
又∵14θ＝n·360°(n∈Z)，
∴θ＝，从而90°<<135°，
∴<n<，∴nn＝4时，θ＝；
当n＝5时，θ＝.
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