二次函数和幂函数知识点.pdf

实用文档文案大全教教 学学 内内 容容 二次函数与幂函数1 二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x)ax2bxc_(a0)的函数叫作二次函数(2)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc_(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)_(a0)2 二次函数的图像和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图像定义域(，)(，)值域4acb24a，)(，4acb24a单调性在 x上单调递减；(，b2a在 x上单调递增b2a，)在 x上单调递增；(，b2a在 x上单调递减b2a，)奇偶性当 b0 时为偶函数，b0 时为非奇非偶函数实用文档文案大全顶点(b2a，4acb24a)对称性图像关于直线 x成轴对称图形b2a3.幂函数形如 yx(R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，是常数4 幂函数的图像及性质(1)幂函数的图像比较(2)幂函数的性质比较yxyx2yx3yx12yx1定义域RRR0，)x|xR 且x0值域R0，)R0，)y|yR 且y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x0，)时，增；x(，0时，减增增x(0，)时，减；x(，0)时，减难点正本疑点清源1 二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式(3)已知二次函数与 x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求 f(x)更方便2 幂函数的图像(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近 x 轴，在(1，)上幂函数中指数越大，函数图像越远离 x 轴实用文档文案大全(2)函数 yx，yx2，yx3，yx，yx1可作为研究和学习幂函数图像和性质的代表121 已知函数 f(x)x22(a1)x2 在区间(，3上是减函数，则实数 a 的取值范围为_答案(，2解析f(x)的图像的对称轴为 x1a 且开口向上，1a3，即 a2.2(课本改编题)已知函数 yx22x3 在闭区间0，m上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围为_答案1,2解析yx22x3 的对称轴为 x1.当 m2 时，ymaxf(m)m22m33，m0，m2，无解1m2.3 若幂函数 y(m23m3)xm2m2 的图像不经过原点，则实数 m 的值为_答案1 或 2解析由Error!，解得 m1 或 2.经检验 m1 或 2 都适合4(人教 A 版教材例题改编)如图中曲线是幂函数 yxn在第一象限的图像已知 n 取2，四个值，则相应于曲线 C1，C2，C3，C4的 n 值依12次为_答案2，21212解析可以根据函数图像是否过原点判断 n 的符号，然后根据函数凸凹性确定 n 的值5 函数 f(x)x2mx1 的图像关于直线 x1 对称的充要条件是()Am2 Bm2Cm1 Dm1答案A解析函数 f(x)x2mx1 的图像的对称轴为 x，且只有一条对称轴，所以 1，即m2m2m2.实用文档文案大全题型一求二次函数的解析式例 1 已知二次函数 f(x)满足 f(2)1，f(1)1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数思维启迪：确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用解方法一设 f(x)ax2bxc(a0)，依题意有Error!解之，得Error!所求二次函数解析式为 f(x)4x24x7.方法二设 f(x)a(xm)2n，a0.f(2)f(1)，抛物线对称轴为 x.m.2121212又根据题意函数有最大值为 n8，yf(x)a28.(x12)f(2)1，a281，解之，得 a4.(212)f(x)4284x24x7.(x12)方法三依题意知，f(x)10 的两根为x12，x21，故可设 f(x)1a(x2)(x1)，a0.即 f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值 ymax8，即8，4a2a1a24a解之，得 a4 或 a0(舍去)函数解析式为 f(x)4x24x7.探究提高二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果 已知二次函数 f(x)同时满足条件：(1)f(1x)f(1x)；(2)f(x)的最大值为 15；(3)f(x)0 的两根平方和等于 17.求 f(x)的解析式解依条件，设 f(x)a(x1)215(a2xm 恒成立，求实数 m 的取值范围思维启迪：对于(1)，由 f(0)1 可得 c，利用 f(x1)f(x)2x 恒成立，可求出 a，b，进而确定 f(x)的解析式对于(2)，可利用函数思想求得实用文档文案大全解(1)由 f(0)1，得 c1.f(x)ax2bx1.又 f(x1)f(x)2x，a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即 2axab2x，Error!Error!因此，f(x)x2x1.(2)f(x)2xm 等价于 x2x12xm，即 x23x1m0，要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函数 g(x)x23x1m 在1,1上的最小值大于 0 即可g(x)x23x1m 在1,1上单调递减，g(x)ming(1)m1，由m10 得，m1.因此满足条件的实数 m 的取值范围是(，1)探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图像贯穿为一体因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图像是探求解题思路的有效方法用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点 已知函数 f(x)x2mxn 的图像过点(1,3)，且 f(1x)f(1x)对任意实数都成立，函数yg(x)与 yf(x)的图像关于原点对称(1)求 f(x)与 g(x)的解析式；(2)若 F(x)g(x)f(x)在(1,1上是增函数，求实数 的取值范围解(1)f(x)x2mxn，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxnmx2(m2)xnm1，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxmnx2(2m)xnm1.又 f(1x)f(1x)，m22m，即 m2.又 f(x)的图像过点(1,3)，312mn，即 mn2，n0，f(x)x22x，又 yg(x)与 yf(x)的图像关于原点对称，g(x)(x)22(x)，g(x)x22x.(2)F(x)g(x)f(x)(1)x2(22)x，当 10 时，F(x)的对称轴为 x，222111又F(x)在(1,1上是增函数Error!或Error!.实用文档文案大全1 或10.当 10，即 1 时，F(x)4x 显然在(1,1上是增函数综上所述，的取值范围为(，0题型四幂函数的图像和性质例 4 已知幂函数 f(x)xm22m3(mN*)的图像关于 y 轴对称，且在(0，)上是减函数，求满足(a1)(32a)的 a 的取值范围m3m3思维启迪：由幂函数的性质可得到幂指数 m22m30，再结合 m 是整数，及幂函数是偶函数可得 m 的值解函数在(0，)上递减，m22m30，解得1m3.mN*，m1,2.又函数的图像关于 y 轴对称，m22m3 是偶数，而 222233 为奇数，122134 为偶数，m1.而 f(x)x 在(，0)，(0，)上均为减函数，13(a1)32a0 或 0a132a 或 a1032a.1313解得 a1 或 a.2332故 a 的取值范围为.a|a 1或23 a 0，a0 恒成立的充要条件是Error!.(2)ax2bxc0 时，f()24，得 2.4 或 2.2 已知函数 f(x)x22x2 的定义域和值域均为1，b，则 b 等于()A3 B2 或 3 C2 D1 或 2答案C解析函数 f(x)x22x2 在1，b上递增，由已知条件Error!即Error!解得 b2.3 设 abc0，二次函数 f(x)ax2bxc 的图像可能是()答案D解析由 A，C，D 知，f(0)c0，ab0，b2a知 A，C 错误，D 符合要求由 B 知 f(0)c0，ab0，x0，B 错误b2a4 设二次函数 f(x)ax22axc 在区间0,1上单调递减，且 f(m)f(0)，则实数 m 的取值范围是实用文档文案大全()A(，0 B2，)C(，02，)D0,2答案D解析二次函数 f(x)ax22axc 在区间0,1上单调递减，则 a0，f(x)2a(x1)0，即函数图像的开口向上，对称轴是直线 x1.所以 f(0)f(2)，则当 f(m)f(0)时，有 0m2.二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)5 二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为 x2，最小值为1，则它的解析式为_答案y(x2)21126 已知函数 f(x)x22(a1)x2 在区间(，3上是减函数，则实数 a 的取值范围为_答案(，2解析f(x)的图像的对称轴为 x1a 且开口向上，1a3，即 a2.7 当 时，幂函数 yx的图像不可能经过第_象限1，12，1，3答案二、四解析当 1、1、3 时，yx的图像经过第一、三象限；当 时，yx的图像经过第一象限12三、解答题(共 22 分)8(10 分)已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a，且 f(x)2x 的解集为x|1x3，方程 f(x)6a0 有两相等实根，求 f(x)的解析式解设 f(x)2xa(x1)(x3)(a0)，则 f(x)ax24ax3a2x，f(x)6aax2(4a2)x9a，(4a2)236a20，即(5a1)(a1)0，解得 a 或 a1(舍去)15因此 f(x)的解析式为 f(x)(x1)(x3)159(12 分)是否存在实数 a，使函数 f(x)x22axa 的定义域为1,1时，值域为2,2？若存在，求 a 的值；若不存在，说明理由解f(x)(xa)2aa2.当 a1 时，f(x)在1,1上为增函数，Error!a1(舍去)；当1a0 时，Error!a1；当 01 时，f(x)在1,1上为减函数，Error!a 不存在综上可得 a1.B 组专项能力提升(时间：25 分钟，满分：43 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1 已知幂函数 f(x)x的图像经过点，则 f(4)的值等于()(2，22)A16 B.116C2 D.12答案D解析将点代入得：2，所以 ，(2，22)2212故 f(4).122 已知函数 f(x)2mx22(4m)x1，g(x)mx，若对于任一实数 x，f(x)与 g(x)的值至少有一个为正数，则实数 m 的取值范围是()A(0,2)B(0,8)C(2,8)D(，0)答案B解析当 m0 时，显然不合题意；当 m0 时，f(0)10，若对称轴0，即 0m4，结论显然4m2m成立；若对称轴4，只要 4(4m)28m4(m8)(m2)0 即可，即 4m8，4m2m综上，0m8，选 B.3 已知二次函数 yx22ax1 在区间(2,3)内是单调函数，则实数 a 的取值范围是()Aa2 或 a3 B2a3Ca3 或 a2 D3a2答案A解析由函数图像知，(2,3)在对称轴 xa 的左侧或右侧，a3 或 a2.二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)4 已知二次函数 yf(x)的顶点坐标为，且方程 f(x)0 的两个实根之差等于 7，则此二次函数的解析(32，49)式是_答案f(x)4x212x40实用文档文案大全解析设二次函数的解析式为 f(x)a249(a0)，方程 a(x)2490 的两个根分别为 x1，x2，(x32)32则|x1x2|27，49aa4，故 f(x)4x212x40.5 若方程 x211x30a0 的两根均大于 5，则实数 a 的取值范围是_答案0a14解析令 f(x)x211x30a，结合图像有Error!01，则 f(x)1；若 0 x1x2x1；若 0 x1x2，则 x2f(x1)x1f(x2)；若0 x1x2，则1 时，f(x)1，正确；对于，1，可举例(1,1)，(4,2)，故错；fx2fx1x2x1对于，说明图像上两点 x1，x2到原点连线的斜率越来越大，由图像可知，错；fx10 x10fx20 x20对于，f，根据图像可判断出正确fx1fx22(x1x22)三、解答题7(13 分)已知函数 f(x)x22ax1a 在 x0,1时有最大值 2，求 a的值解f(x)(xa)2a2a1，当 a1 时，ymaxf(1)a；当 0a1 时，ymaxf(a)a2a1；当 a0 时，ymaxf(0)1a.根据已知条件：Error!或Error!或Error!解得 a2 或 a1.实用文档文案大全 实用文档文案大全.