幂函数与二次函数知识点与题型归纳.doc

●高考明方向
1.了解幂函数的概念．
2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，
了解它们的变化情况．
3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．
4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.

★备考知考情
1.幂函数、二次函数的图象与性质的应用是高考命题的
热点．
2.常与一元二次不等式、一元二次方程等知识交汇命题，
考查数形结合思想．
3.题型主要以选择题、填空题为主，另外在解答题中
常与导数的应用综合，属中高档题.

一、知识梳理《名师一号》P21
注意：
知识点一 幂函数
1.定义：形如y＝xα(α∈R)的函数叫幂函数，
其中x是自变量，α是常数．
注意：关注定义！

2．幂函数的性质

注意：抓住其在第一象限的图像特征，
结合定义域及奇偶性分析
《名师一号》P22 问题探究 问题1
　幂函数图象有什么特点？
(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，
一定不会经过第四象限，
是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性；
(2)幂函数的图象最多只能经过两个象限；
(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，那么交点一定是原点．

特例： 的幂函数的图象和性质

图象：

性质：
一般地，对于幂函数，有如下性质：
(1) 当时，
① 图象都通过点；
② 在上是增函数，
时曲线下凹；
时曲线上凸.
(2) 当时，
① 图象都通过点；
② 在上是减函数；
③ 在第一象限内，图象向上与轴无限接近，
向右与轴无限接近.

注意：
幂函数在其他象限的图象可由幂函数的性质
及奇偶性作出。

作出下列函数的图象
（1） （2） （3）
（4） （5）

练习:
作出下列函数的图象
（1） （2）
（3） （4）

知识点二 二次函数
1.二次函数的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)；
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；
零点式（即两根式）：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，
x1，x2为f(x)的零点．

2．二次函数的性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象

定义域
R
值域

单调性
在减
在增
在增
在减
对称性
函数的图象关于x＝－对称

注意：
抓住开口方向、对称轴、顶点及与坐标轴的交点等分析
《名师一号》P22 问题探究 问题2　
如何解决与二次函数有关的不等式恒成立问题？
(1)ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是

(2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是

注意　
当题目条件中未说明a≠0时，
就要讨论a＝0和a≠0两种情况．

《名师一号》P22 问题探究 问题3
如何确定二次函数的对称轴？
(1)对于二次函数y＝f(x)，如果定义域内有不同两点
x1，x2且f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象
关于x＝对称．
(2)二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，
都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是
函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．

二、例题分析：
（一）幂函数的图像与性质
例1.（1）《名师一号》P22 高频考点 例1（1）
幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的
图象是(　　)

令f(x)＝xα，则4α＝2，
∴α＝，∴f(x)＝x.故图象为C的图象．
答案：C

例1.（2）（补充）函数是幂函数，且当时是减函数，求实数

[解析]　由题意知m2－m－1＝1，
得m＝－1或m＝2，
又由题意知m2－2m－3<0，得m＝2.

注意：
1、立足定义：叫幂函数，其中是自变量，
是常数.
（1） 的系数为1 （2）时，
2、《名师一号》P22 高频考点 例1【规律方法】　
(1)幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：
①α的正负：
α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；
α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．
②曲线的第一象限的凹凸性：
α>1时，曲线下凸；
0<α<1时，曲线上凸；
α<0时，曲线下凸．

练习：温故知新P28 第4题

例2. (补充)
幂函数y＝xα　(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么，αβ＝(　　)

A．1　　B．2　　C．3　　D．无法确定

[答案]　A
[解析]　由条件知，M、N，
∴＝α，＝β，∴αβ＝α＝α＝，
∴αβ＝1.故选A.

例3.（1）《名师一号》P22 高频考点 例1（2）
设a＝，b＝，c＝，
则a，b，c的大小关系是________．

解析：∵y＝x (x>0)为增函数，∴a>c.
∵y＝x(x∈R)为减函数，∴c>b，∴a>c>b.
答案：a>c>b

注意：
《名师一号》P22 高频考点 例1【规律方法】　
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．

例3.（2）(补充)
(1) 温故知新P28 第10题
已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，求m的范围．
(2)比较大小：0.80.7与0.70.8.

解析：(1)∵0<0.71.3<1,1.30.7>1，∴0.71.3<1.30.7
考察幂函数y＝xm由(0.71.3)m<(1.30.7)m
知y＝xm为(0，＋∞)上的增函数，∴m>0.
(2)指数函数y＝0.8x是减函数，∴0.80.7>0.80.8
又幂函数y＝x0.8在第一象限为增函数
∴0.80.8>0.70.8，∴0.80.7>0.70.8.

（二）二次函数的解析式
例1.《名师一号》P22 高频考点 例2
已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．

方法一：(利用一般式)：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二：(利用顶点式)：
设f(x)＝a(x－m)2＋n.
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的对称轴为x＝＝.
∴m＝.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.
∴y＝f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
方法三：(利用零点式即两根式)：
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值ymax＝8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍)．
∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

注意：《名师一号》P22 高频考点 例2【规律方法】　
求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，
规律如下：

（三）二次函数的图象及性质的应用
例1.（1）《名师一号》P22 高频考点 例3(1)
已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　)
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0

解析:因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图象应开口向上，即a>0，且其对称轴为x＝2，即－＝2，所以4a＋b＝0.

例1.（2）《名师一号》P22 高频考点 例3(2)
如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，
图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下
面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；
③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的是(　　)
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③

解析:因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，
即b2>4ac，①正确；
对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；
结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，
所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确．

注意：《名师一号》P23 高频考点 例3
【规律方法】　
分析二次函数的图象，有两个要点：
一是看二次项系数的符号，它决定二次函数图象的开口方向；
二是看对称轴和顶点，它决定二次函数图象的具体位置．
补充：有时还应关注图像与坐标轴的交点.
如：
周练11—21（2）
21．已知函数（，），
．
（2）若在其定义域内单调递增，求的取值范围；

（2）
………6分
恒成立.
则 恒成立.……7分
(法一)由二次函数的图象(开口向上，过定点)
可得或
则 或得 .
（可验证时在其定义域内单调递增）
(法二)分离变量
又
所以 ， 则
（可验证 当时在其定义域内单调递增）…9分

基础测试5—5
5.已知函数，若对于任一实数，
与至少有一个为正数，则实数的取值范围是 （ ）
A．［0，3） B.［3，9） C.［1，9） D.［0，9）
问题等价于恒成立
（1）
（2），则（注意：此时函数图象开口向上，过定点 )

（四）二次函数的最值

课后作业
一、 计时双基练P221 基础1-9 培优1
课本P22 变式思考1；
二、 计时双基练P221基础10、11；培优2-4
课本P22-23 变式思考2、3
对应训练1、2
三、 补充详见二次函数专题
预习 第二章 第八节 函数的图像
试卷更正

补充
练习1:已知函数的值域
为，则的范围是（ ）
A. B.
C. D.

答案:D

练习2:
已知方程9x－2·3x＋3k－1＝0有两个实数解，试求实数k的取值范围．

[解析]　令t＝3x，则t>0.原方程有两个实数解，即方程t2－2t＋3k－1＝0有两个正实数解，则
，
解得<k≤.

练习3:
对任意的恒成立，求的范围.

解： 由题意即对任意的恒成立
即对任意的
恒成立

练习4:已知函数的定义域为，
（1）求
（2）当 时，求 的最小值.

解 (1)

(2)
=
,，,
，
①若，即时，==，
②若，即时，
所以当即时，=

20