必修四平面向量共线的坐标表示(附答案).doc

　平面向量共线的坐标表示
[学习目标]　1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法．

知识点一　平面向量共线的坐标表示
1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a、b共线，当且仅当存在实数λ，使a＝λb.
2．如果用坐标表示可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a、b(b≠0)共线．
思考1　向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0能判断a∥b吗？
答　不能．
思考2　如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？
答　能．将b写成λa形式，λ>0时b与a同向，λ<0时，b与a反向．
知识点二　共线向量与线段分点坐标
在平面直角坐标系中，我们可以利用共线向量坐标之间的关系，求解坐标．如图所示，设P点是直线P1P2上的一点，且＝λ.
思考1　定比λ与分点位置的一一对应关系如下表：
λ
λ<－1
λ＝－1
－1<λ<0
λ＝0
P点位置
在P1P2的延长线上
不存在
在P2P1的延长线上
与P1重合
P点名称
外分点
外分点
始点

λ
0<λ<1
λ＝1
λ>1
P点位置
在P1与中点之间
P为中点
在中点与P2之间
P点名称
内分点

思考2　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，试用λ及P1，P2点的坐标表示P(x，y)点的坐标．
答案　∵＝＋＝＋λ
＝＋λ(－)＝＋λ－λ，
∴＝＝(x1，y1)＋(x2，y2)
＝＋
＝.
∴P.

题型一　平面向量共线的判定
例1　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－.
此时ka＋b＝＝－(a－3b)，
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
跟踪训练1　已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
解　＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，
＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．
方法一　∵(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4<0，
∴与共线且方向相反．
方法二　∵＝－2，∴与共线且方向相反．
题型二　利用向量共线求点的坐标
例2　已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标．
解　设P点坐标为(x，y)．
∵||＝2||，∴＝2或＝－2.
当＝2时，(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，
∴，解得，
∴P点坐标为.
当＝－2时，
则(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)，
∴，解得.
∴P点坐标为(－5,8)．
综上，点P的坐标为或(－5,8)．

跟踪训练2　已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2,3)同向，||＝2，求点B的坐标．
解　设＝(x，y)，与a同向，
∴＝λa (λ>0)，即(x，y)＝λ(2,3)，
∴又||＝2，
∴x2＋y2＝52.∴4λ2＋9λ2＝52，λ＝2 (λ>0)．
即＝(4,6)．∴点B的坐标为(5,4)．

题型三　平面向量共线的综合运用
例3　如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．
解　方法一　设＝t＝t(4,4)＝(4t,4t)，
则＝－＝(4t,4t)－(4,0)
＝(4t－4,4t)，
＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
由，共线的条件知
(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，
解得t＝.
∴＝(4t,4t)＝(3,3)，
∴P点坐标为(3,3)．
方法二　设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(4,4)．
∵，共线，∴4x－4y＝0，①
又＝(x－2，y－6)，＝(2，－6)，且向量、共线，
∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0，②
解①②组成的方程组，得x＝3，y＝3，
∴点P的坐标为(3,3)．

跟踪训练3　如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)、B(6,4)、C(5,0)、D(1,0)，求直线AC与BD交点P的坐标．
解　设P(x，y)，则＝(x－1，y)，
＝(5,4)，＝(－3,6)，＝(4,0)．
由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ)．
又∵＝－＝(5λ－4,4λ)，
由于与共线得，(5λ－4)6＋12λ＝0.
解之得λ＝，∴＝＝，
∴P的坐标为.

用向量方法研究平面几何问题

例4　已知ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF＝AE.
证明　建立如图所示的直角坐标系，为了研究方便．
不妨设正方形ABCD的边长为1，则B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(x，y)，这里y>0，
于是＝(1,1)，＝(x－1，y)．
∵∥，
∴1×y－(x－1)×1＝0⇒y＝x－1.①
∵AC＝OC＝CE(已知)，
∴CE2＝OC2⇒(x－1)2＋(y－1)2＝2.②
由y>0，联立①②解得
即E.
AE＝OE＝＝＋1.
设F(t,0)，则＝(1－t,1)，＝.
∵F、C、E三点共线，∴∥.
∴(1－t)×－×1＝0，解得t＝－1－.
∴AF＝OF＝1＋，∴AF＝AE.

1．已知a＝(－1,2)，b＝(2，y)，若a∥b，则y的值是(　　)
A．1 B．－1 C．4 D．－4
2．下列各组的两个向量共线的是(　　)
A．a1＝(－2,3)，b1＝(4,6)
B．a2＝(1，－2)，b2＝(7,14)
C．a3＝(2,3)，b3＝(3,2)
D．a4＝(－3,2)，b4＝(6，－4)
3．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，如果A、B、C三点共线，则实数k＝________.
4．已知四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次是(3，－1)，(1,2)，(－1,1)，(3，－5)．求证：四边形ABCD是梯形．

5．已知点A(－1，－3)，B(1,1)，直线AB与直线x＋y－5＝0交于点C，求点C的坐标．

一、选择题
1．向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是(　　)
A．(4,8) B．(8,4)
C．(－4，－8) D．(－4,8)
2．已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若和是相反向量，则D点坐标是(　　)
A．(1,0) B．(－1,0) C．(1，－1) D．(－1,1)
3．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b(　　)
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
4．若a＝(2cos α，1)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则tan α等于(　　)
A．2 B. C．－2 D．－
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(0,1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值为(　　)
A．－1 B．－ C. D．1
6．已知A、B、C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为(　　)
A．－13 B．9 C．－9 D．13

二、填空题
7．已知向量a＝(2x＋1,4)，b＝(2－x,3)，若a∥b，则实数x的值等于________．
8．若三点P(1,1)，A(2，－4)，B(x，－9)共线，则x的值为________．
9．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
10．已知点A，B的坐标分别为(2，－2)，(4,3)，向量p的坐标为(2k－1,7)且p∥，则k的值为________．

三、解答题
11．已知两点A(3，－4)，B(－9,2)在直线AB上，求一点P使||＝||.

12．已知△ABC的三个顶点坐标依次为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．试确定△ABC的重心G的坐标．

13．如图所示，已知△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．

当堂检测答案
1．答案　D
解析　∵a∥b，∴(－1)×y－2×2＝0，∴y＝－4.
2．答案　D
解析　∵＝，∴a4∥b4，故选D.
3．答案　－2或11
解析　∵＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，
∴＝(4－k，－7)，＝(6，k－5)，
∵A、B、C三点共线，
∴(4－k)(k－5)－(－7)×6＝0，
解得k＝－2或k＝11.
4．证明　∵A(3，－1)，B(1,2)，C(－1,1)，D(3，－5)．
∴＝(－2,3)，＝(4，－6)．
∴＝－2，∴||＝||，
∴AB∥CD，且AB≠CD，
∴四边形ABCD是梯形．
5．解　设点C(x，y)．∵A、B、C三点共线，
∴＝λ＝λ(2,4)＝(2λ，4λ)．
∴(x＋1，y＋3)＝(2λ，4λ)，
∴，∴C(2λ－1,4λ－3)．
把点C(2λ－1,4λ－3)代入x＋y－5＝0得
(2λ－1)＋(4λ－3)－5＝0，解得λ＝.∴C(2,3)．

课时精练答案
一、选择题
1．答案　D
2．答案　C
3．答案　C
解析　∵a＋b＝(0,1＋x2)，∴平行于y轴．
4．答案　A
解析　∵a∥b，∴2cos α×1＝sin α.
∴tan α＝2.故选A.
5．答案　B
解析　∵u＝(1,2)＋k(0,1)＝(1,2＋k)，
v＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，
又u∥v，∴1×3＝2(2＋k)，得k＝－.故选B.
6．答案　C
解析　设C点坐标(6，y)，则＝(－8,8)，＝(3，y＋6)．
∵A、B、C三点共线，∴＝，∴y＝－9.
二、填空题
7．答案　
解析　由a∥b得3(2x＋1)＝4(2－x)，解得x＝.
8．答案　3
解析　＝(1，－5)，＝(x－1，－10)，
∵P、A、B三点共线，∴与共线．
∴1×(－10)－(－5)×(x－1)＝0，解得x＝3.
9．答案　2
解析　λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)，c＝(－4，－7)，
∴＝，∴λ＝2.
10．答案　
解析　由A(2，－2)，B(4,3)知＝(2,5)，
又p＝(2k－1,7)且p∥，
∴(2k－1)×5－2×7＝0，∴k＝.
三、解答题
11．解　设点P的坐标为(x，y)，
①若点P在线段AB上，则＝，
∴(x－3，y＋4)＝(－9－x,2－y)．
解得x＝－1，y＝－2，∴P(－1，－2)．
②若点P在线段BA的延长线上，则＝－，
∴(x－3，y＋4)＝－(－9－x,2－y)．
解得x＝7，y＝－6，∴P(7，－6)．
综上可得点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6)．
12．解　延长AG交BC于点D，
∵G为△ABC的重心，
∴D为BC的中点，
∴＝
＝(＋)
＝＋，
∴＝＋＝＋＋
＝＋(－)＋(－)
＝(＋＋)
＝.
即△ABC的重心G的坐标为
.
13．解　∵＝＝(0,5)＝，
∴C(0，)．
∵＝＝(4,3)＝，∴D.
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，
＝＝.
∵∥，
∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①
又＝，＝，
∵∥，∴x－4＝0，
即7x－16y＝－20.②
联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为.