必修2第四章圆与方程测试题.doc

第四章圆与方程测验题（一）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知两圆的方程是和，那么这两个圆的位置关系是(　　)
A．相离 B．相交
C．外切 D．内切

2．过点的直线中，被圆截得的最长弦所在的直线方程为(　　)
A． B．
C． D．

3．若直线与圆相切，则的值为(　　)
A．1，－1 B．2，－2
C．1 D．－1

4．经过圆上一点的切线方程是(　　)
A． B.
C． D．

5．垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是(　　)
A． B．
C． D．

6．关于空间直角坐标系中的一点有下列说法：
①点到坐标原点的距离为；②的中点坐标为；
③与点关于轴对称的点的坐标为；
④与点关于坐标原点对称的点的坐标为；
⑤与点关于坐标平面xOy对称的点的坐标为，其中正确的个数是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5

7．已知点在圆：外，则直线与圆的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定

8．与圆：和圆：都相切的直线条数是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1

9．直线l将圆平分，且与直线垂直，则直线的方程是(　　)
A． B．
C． D．

10．圆的圆心在直线上，那么圆的面积为(　　)
A． B．
C． D．由的值而定

11．当点在圆上变动时，它与定点的连结线段的中点的轨迹方程是(　　)
A． B．
C． D．

12．曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．圆上的点到直线的距离最小值为____________．

14．圆心为且与直线相切的圆的方程是________．

15．方程表示的圆，①关于直线对称；②关于直线对称；③其圆心在轴上，且过原点；④其圆心在轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．

16．直线与圆相交于，两点，则(为坐标原点)的面积为________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)自引圆的割线，求弦中点的轨迹方程．

18．(12分)已知圆：与圆：相交于，两点，且这两点平分圆的圆周，求圆的圆心坐标．

19．(12分)点在圆心为的方程上，点在圆心为的方程
上，求的最大值．

20．(12分)已知圆：，从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求的最小值．

21．(12分)已知圆：及点，
(1)若点在圆上，求的斜率；
(2)若点是圆上任意一点，求的最大值、最小值；
(3)若满足关系：，求出的最大值．

22．(12分)已知曲线：，其中.
(1)求证：曲线表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；
(2)证明曲线过定点；
(3)若曲线与轴相切，求的值．

第四章圆与方程测验题答案（一）
一、选择题
1． 解析　将圆，化为标准方程得，
∴两圆的圆心距，又，∴两圆外切，答案　C
2．解析　依题意知所求直线通过圆心，由直线的两点式方程，得，
即，答案　A
3．解析　圆的圆心，半径为，依题意得，
即，平方整理得，答案　D
4．解析　∵点在圆上，，∴过点M的切线的斜率为.
故切线方程为，即，答案　D

5．解析　由题意可设所求的直线方程为，则由，得，由切点在第一象限知，，故所求的直线方程，即，答案　A

6．解析　点到坐标原点的距离为，故①错；②正确；点关于x轴对称的点的坐标为，故③错；点关于坐标原点对称的点的坐标为，故④错；⑤正确．答案　A

7． 解析　∵点在圆外，，又圆心到直线的距离，∴直线与圆相交．答案　B
8．解析　两圆的方程配方得，：，：，
圆心，O2，半径，，，，，，∴两圆外切，故有3条公切线，答案　B

9．解析　依题意知直线l过圆心，斜率，
∴l的方程为，即，答案　A

10． 解析　，
，∴圆心，半径.
依题意知，，∴圆的面积，答案　B

11．解析　设，，设线段PQ中点M的坐标为(x，y)，
则，，，，又点在圆上，
，故线段PQ中点的轨迹方程为 ，答案　C

12．解析　如图所示，曲线，
变形为，
直线过定点，
当直线l与半圆相切时，有
，解得，当直线l过点 时，，因此，k的取值范围是，答案　D

二、填空题
13． 解析　圆心到直线的距离为5，
∴所求的最小值为4，答案　4

14． 解析，所以圆的方程为.
答案　

15． 解析　已知方程配方，得，圆心坐标为，它在直线上，∴已知圆关于直线对称．故②正确．答案　②

16． 解析　圆心坐标，半径r＝3，圆心到直线的距离，
弦长，又原点到所在直线的距离，所以的面积为
，答案　

三、解答题
17．(10分)自引圆的割线，求弦中点的轨迹方程．
解　解法1：连接，则，设，当时，，
即，即①，
当时，点坐标为是方程①的解，
中点的轨迹方程为(在已知圆内)．
解法2：由解法1知，取中点，则，，由圆的定义，知点轨迹方程是以为圆心，2为半径的圆．
故所求的轨迹方程为(在已知圆内)．

18．(12分)已知圆：与圆：相交于，两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标．
解　由圆与圆N的方程易知两圆的圆心分别为，．两圆的方程相减得直线AB的方程为，，两点平分圆的圆周，
为圆的直径，过点，，
解得，故圆的圆心．

19．(12分) 点在圆心为的方程上，点在圆心为的方程
上，求的最大值．

解　把圆的方程都化成标准形式，得，，
如图所示，的坐标是，半径长是3；的坐标是，半径长是2.
所以，，因此，的最大值是.

20．(12分) 已知圆：，
从圆外一点向圆引一条切线，切点为，
为坐标原点，且有，求的最小值．
解　如图为圆的切线，
则，
为直角三角形，

设，，，，
，化简得点P的轨迹方程为.
求的最小值，即求的最小值，即求原点O到直线的距离，代入点到直线的距离公式可求得最小值为.

21．(12分) 已知圆：及点，
(1)若点在圆上，求的斜率；
(2)若点是圆上任意一点，求的最大值、最小值；
(3)若满足关系：，求出的最大值．
解　圆：可化为.
(1)点在圆上，所以，解得，
故点，所以的斜率

(2)如图，点是圆上任意一点，
在圆外，所以的最大值、
最小值分别是，，
易求，，所以，.
(3)点N在圆：上，表示的是定点与圆上的动点连线l的斜率．
设l的方程为，即，当直线和圆相切时，d＝r，
即，解得，所以的最大值为.

22．(12分) 已知曲线：，其中.
(1)求证：曲线表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；
(2)证明曲线过定点；
(3)若曲线与轴相切，求的值．
解　(1)证明：原方程可化为.
，，故方程表示圆心为，半径为的圆．
设圆心的坐标为，则，消去，得.
∴这些圆的圆心都在直线上．
(2)证明：将原方程变形为，
∵上式对于任意恒成立，，
解得，∴曲线过定点．
(3)∵圆与 轴相切，∴圆心到轴的距离等于半径．
即，两边平方，得， .

必修2第四章《圆与方程 》测试题（二）
一．选择题（每小题5分，共12小题，共60分）
1．方程表示圆，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．

2．以和为直径端点的圆的方程是 （ ）
A． B．
C． D．

3．过两圆：及的交点的直线的方程 （ ）
A． B． C． D．不存在

4．若曲线关于直线的对称曲线仍是其本身，则实数（ ）
A． B． C．或 D．或

5.若直线与圆总有两个不同交点，则的取值范
围是( )
A. B. C. D.

6.已知直线与圆相切，则三条边长分别为、、的三角形（ ）
A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在

7．两圆：，：的公切线有（　）
A．条 B．条 C．条 D．以上都不对

8．经过点，，圆心在直线上的圆的方程为 ( )

9．若，则直线被圆所截得的弦长为 （ 　）
A.　　　　　 B.１　　　　 　C.　　　　　　 　D.

10．设是曲线：上任意一点，则的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．

11．已知点（）是圆：内一点，直线是以为中点的弦所在的
直线，直线的方程是，那么 （ ）
A．∥且与圆相离 B．且与圆相离
C．∥且与圆相切　 B．且与圆相切

12．直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是 （ ）
A． B．或 C． D．以上都错

二．填空题（每小题5分，共20分）
13．已知,，，，

14．已知是圆的动弦，且，则的中点的轨迹方程是 ____

15．过的直线把圆分成两个弓形当其中劣孤最短时直线的方程为
_____

16．圆上到直线的距离为的点数共有 　　　　

三．解答题（共6小题，共70分）
17．（12分）求经过点 与圆 相切的切线方程．

18．（12分） 直线经过点且和圆： 相交，截得弦长为，求的方程．

19．（12分）求圆心在直线上，并且与直线：相切于点的圆的方程．

20．（12分）有一种大型商品，、两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是：每单位距离地的运费是地运费的3倍，已知、两地相距，居民选择或地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求、两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.

21．（12分）已知圆：，是否存在斜率为1的直线，使以被圆截得的弦为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程，若不存在说明理由．

22．（14分）已知圆满足：①截轴所得弦长为；②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为；③圆心到直线：的距离为的圆的方程．

必修2第四章测试题答案与提示（二）
一． 选择题
1－4. DDAB 5－8. BBAA 9－12．BCAB
提示：
1．因为方程表示圆，所以，解得．
2．因为以（5，6）和（3，－4）为直径端点，所以圆心为（4，1），半径为．
3．提示一：由圆的方程，解出交点的坐标，由直线方程的两点式，得出直线方程．
提示二：两圆的方程相减，得出直线方程．
4．因为曲线x2+y2+a2x+(1–a2)y–4=0关于直线y–x=0的对称曲线仍是其本身，所以直线y–x=0过圆心．
5．提示一：将直线方程代入圆的方程，根的判别式大于0．
提示二：圆心到直线的距离小于圆的半径．
6．因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，整理得．
7．两圆圆心分别为（-2，2），（2，5），所以圆心距为5，两圆半径为2，4，所以两圆位置关系为：相交．其公切线为两条．
8．提示一：设圆心为，半径为，则，，解出，即可．提示二：设为圆的一般方程，代入解出．
9．圆心到直线的距离为 ，圆的半径为1，由勾股定理，得弦长为1．
10．可看成圆上的点与原点的斜率，画图可知，取值范围是 ．
11．因点（）是圆：内一点，故．直线是以为中点的弦所在的直线，直线的方程为，其与直线平行圆心到直线的距离，与圆相离．
12．曲线x=表示：圆的轴右侧部分，直线y = x + b与曲线x=有且仅有一个公共点，则或者相交一个交点，此时大于-1小于等于1；或者两者相切此时．
二．填空题
13．（0，0，3）； 14．； 15．； 16．4个．
提示：
13．设为（0，0,Z）则，解得Z=3．
14．弦的中点到圆心的距离不变为4，故其轨迹为．
15．过P（1，2）的直线l把圆分成两个弓形当其中劣孤最短时，P为直线截圆所成弦的中点，由斜率公式得出直线l的斜率，的方程为．
16．直线4x-3y=2过圆的圆心，圆的半径为，因此，圆上有4个点到直线4x-3y=2的距离为．
三．解答题
17．解法1： 设切线的斜率为k，由点斜式有：y +7 = k(x- 1)，即y = k(x- 1) –7 ①
将①式代入圆方程 得：，整理得：

，解得 或
∴切线方程为：4x-3y-25 = 0或3x + 4y + 25 = 0 ．
解法2 ： 设所求切线斜率为k，∴所求直线方程为：y+7= k(x- 1)
整理成一般式为：kx – y – k - 7 = 0，∴，
化简为 0，∴ 或
切线方程为：4x - 3y - 25 = 0或3x + 4y + 25 = 0．
18．解法1：设直线的方程为y-5 = k(x-5),且与圆C相交于、,则有
，消去y得
∴，解得：k>0.
，
由斜率公式，得：

∴

两边平方，整理得：，解得：或K=2合题意．
∴直线 的方程为：x - 2y + 5 = 0或2x – y – 5 = 0．
解法2：如图所示， 是圆心到直线的距离，是圆的半径， 是弦长的一半，在中，， ，
∴，解得或k=2．
∴直线 的方程为：x-2y +5 = 0或2x-y-5=0．
19．解法1： 设所求圆方程为 ，则依题意有
，解方程组得a=1,b=-4,，
所求圆的方程为 ．
解法2： 由于圆心在直线 上，又在过切点(3，－2)与切线x+y-1=0垂直的直线y+2=(x -3)，即x-y-5=0上，解方程组
可得圆心(1，－4)，于是所求圆的方程为．
20．解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，则A（－5，0），B（5，0）.设某地P的坐标为（x，y），且P地居民选择A地购买商品的费用较低，并设A地的运费为3a元/km，则B地运费为a元/km. 由于P地居民购买商品的总费用满足条件：价格+A地运费≤价格+B地运费 ，
即，整理得. 所以，以点C为圆心，为半径的圆就是两地居民购货的分界线. 圆内的居民从A地购货费用较低，圆外的居民从B地购货费用较低，圆上的居民从A、B两地购货的总费用相等，因此可以随意从A、B两地之一购货．
21．解：圆C化成标准方程为:
　　假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）
　　由于CM⊥L，∴kCM×kL=－1 ∴kCM=，
即a+b+1=0，得b= －a－1 ①
直线L的方程为y－b=x－a，即x－y+b－a=0 ∴ CM=
∵以AB为直径的圆M过原点，∴
　　，
　　∴　　② 　　把①代入②得　，∴
当此时直线L的方程为：x－y－4=0；当此时直线L的方程为：x－y+1=0
故这样的直线L是存在的，方程为x－y－4=0 或x－y+1=0．
22．解：设圆的方程为：
　　当时，,
∵ ∴,　∴,
　　, ∴①
　　当时，∵
　　∴∴②
　　由①、②得：又∵到的距离为
　　∴∴∴或
　　∴或∴或
　　∴或．

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