必修四必修五+圆锥曲线测试题(含答案).doc

必修四必修五+圆锥曲线测试题（含答案）
一、单选题(60分）
1．等差数列{an}中，a6＋a9＝16，a4＝1，则a11＝（ ）
（A）64 （B）30 （C）31 （D）15
2．已知变量满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线的准线与双曲线 交于两点，点为抛物线的焦点，若△为直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．《算法统宗》是中国古代数学名著，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还,”题目大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛走的路程为前一天的一半，走了6天到达目的地。”则该人最后一天走的路程是( )
A． 3里 B． 4里 C． 5里 D． 6里
5．若的内角所对的边分别是，已知，且，则等于（ ）
A． B． C． D． 4
6．两个正数、的等差中项是，一个等比中项是，且，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
7．点是双曲线与圆在第一象限的交点，分别为双曲线左右焦点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y=sinx的图象

A． 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
B． 向左平移至个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
C． 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
D． 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
9．关于的一元二次不等式的解集为,则的值为（ ）
A． 6 B． -5 C． -6 D． 5
10．在中，角的对边分别为，若成等差数列，且， 的面积为，则 ( )
A． 4 B． C． D．
11．若正数m，n满足m+2n=2，则m+14n+2mn的最小值为（ ）
A． 12 B． 16 C． 18 D． 24
12．已知各项均为正数的等比数列an满足a7=a6+2a5，若存在两项am,an使得aman=4a1，则1m+4n的最小值为（ ）
A． 32 B． 53 C． 94 D． 9

二、填空题（20分）
13．若， ，则__________．
14．直线y=3x是双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线，双曲线的离心率是__________．

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（b－c）cosA＝acosC，则cosA＝_____
16．若，则的最小值为____________.

三、 解答题（70分）
17．在中，角所对的边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.

18．数列{an}满足a1=1，an+1=2an(n∈N*)，Sn为其前n项和.数列{bn}为等差数列，且满足b1=a1，b4=S3.
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn=1bn⋅log2a2n+2，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：13≤Tn<12.

19．已知双曲线和椭圆有公共的焦点，且离心率为．
（Ⅰ）求双曲线的方程．
（Ⅱ）经过点作直线交双曲线于， 两点，且为的中点，求直线的方程．

20．已知函数．
（Ⅰ）若，求的值；
（II）设，求函数在R的最值．

21．已知数列的前项和满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.

22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为53，且椭圆C的短轴恰好是圆x2+y2=4的一条直径.
(1)求椭圆C的方程
(2)设A1,A2分别是椭圆C的左，右顶点，点P是椭圆C上不同于A1,A2的任意点，是否存在直线x=m，使直线A1P交直线x=m于点Q，且满足kPA2⋅kQA2=−1，若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由

参考答案
1．D
【解析】
试题分析：在等差数列中，,所以,故选D.
考点：等差数列的性质.
2．A
【解析】
试题分析：约束条件的可行域如图所示三角形ABC部分，当目标函数过点B（1，-1）时，z取最小值，最小值为1+2×（-1）=-1，故选A.
x
A（1,1）
B（1,-1）
C（2,0）
y
O

考点：线性规划的应用.
3．D
【解析】
试题分析：先根据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得，根据双曲线的对称性可知为等腰直角三角形，进而可求得或的纵坐标为，进而求得，利用和的关系求得，则双曲线的离心率可得. 解：依题意知抛物线的准线方程为，代入双曲线的方程得 ，不妨设 ，设准线与轴的交点为，∵是直角三角形，所以根据双曲线的对称性可知，为等腰直角三角形，所以即，解得，∴，所以离心率为，选D.
考点：双曲线的性质.
4．D
【解析】记每天走的路程里数为an，可知数列an是公比q=12的等比数列，由S6=378，得S6=a11−1261−12=378，解得a1=192,∴a6=192×125=6，故选D.
5．C
【解析】由可得： ,在由余弦定理得：
6．D
【解析】由题意可得： ，结合求解方程组可得： ，
则双曲线中： .
本题选择D选项.
点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
7．B
【解析】
试题分析：依据双曲线的定义：，又，所以，,因为圆的半径，所以是圆的直径,所以,在直角三角形中,由解得．
考点：1.双曲线离心率；2.圆的几何性质．
【方法点睛】在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出和的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特征，建立关于参数的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用解题．解圆锥曲线的题目,要将题目叙述的图形正确的画出来,然后考虑圆锥曲线的定义和图形的集合性质来解题.
8．A
【解析】由图可知A=1，T=π，
∴ω=2，
又﹣ω+φ=2kπ（k∈Z），
∴φ=2kπ+（k∈Z），又0＜ϕ＜，
∴φ=，
∴y=sin（2x+）．
∴为了得到这个函数的图象，只需将y=sinx（x∈R）的图象上的所有向左平移个长度单位，得到y=sin（x+）的图象，再将y=sin（x+）的图象上各点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变）即可．
故答案为A。
9．A
【解析】由题可知-1和 是方程 的两根，由根与系数关系可知 ，所以 。所以选A。
10．B
【解析】成等差数列， ， ① 面积为 ，② 由余弦定理可得， ③ 由①②③得， ，故选B.
11．C
【解析】分析：可先将问题变形为：m+14n+2mn=m+14n+m+2nmn=2n+16m，再结合‘1’的用法的基本不等式即可解决.
详解：由题可得：m+14n+2mn=m+14n+m+2nmn=2n+16m，(2n+16m)⋅2=(2n+16m)⋅(m+2n)⋅12=12(16+2mn+4+32nm)≥12×36=18
点睛：考查基本不等式的运用，对原式得正确变形和结合‘1’的用法解题是本题关键，属于中档题.
12．A
【解析】分析：由 a7=a6+2a5 求得q=2，代入aman=4a1求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．
详解：由各项均为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5，可得a1q6=a1q5+2a1q4，
∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2．
∵aman=4a1，∴qm+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6，
∴ 1m+4n=16(1m+4n)(m+n)=16(5+nm+4mn)≥16(5+2nm⋅4mn)=32.
当且仅当nm=4mn即m=2,n=4时，等号成立．
故 1m+4n的最小值等于32.
故选A．
点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和基本不等式的应用，解题的关键是常量代换的技巧，所谓常量代换，就是把一个常数用代数式来代替，如1m+4n=(1m+4n)×6×16，再把常数6代换成已知中的m+n,即1m+4n=16(1m+4n)(m+n).常量代换是基本不等式里常用的一个技巧，可以优化解题，提高解题效率.
13．
【解析】将已知条件两边平方得， ，两式相加化简得.
14．2
【解析】分析：利用双曲线的渐近线方程，推出a，b的关系，然后求解双曲线的离心率即可．
详解：双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线方程为y=3x，可得ba=3，即c2−a2a2=3
解得e=2．故答案为：2．
点睛：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
15．
【解析】
试题分析：由正弦定理可将已知条件转化为

考点：正弦定理与三角函数基本公式
16．6
【解析】
试题分析：因为，，所以，=，即的最小值为6.
考点：本题主要考查均值定理的应用。
点评：简单题，通过改造函数的表达式，应用均值定理。应用均值定理时，“一正，二定，三相等”，缺一不可。
17．（1）（2）
【解析】试题分析：（1）根据三角形内角关系及诱导公式得，再根据两角和与差的正余弦公式展开化简得，即得.（2）先由余弦定理得，再根据基本不等式得，最后根据三角形面积公式得最大值.
试题解析：（1）在中， ，则，
化简得：
由于， ，
则，解得.
（2）由余弦定理， ，
从而，
当且仅当时取到最大值.
18．（1）an=2n−1.bn=2n−1.（2）见解析.
【解析】分析：（1）由an+1=2an可知，{an}是首项为1，公比为2的等比数列，利用b1=a1，b4=S3.解b1,d两个基本量，b1=1，d=2。
（2）cn=1bn⋅log2a2n+2 =1(2n-1)(2n+1)，利用裂项相消求出Tn的表达式即可。
详解：（1）由题意知，{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴an=a1⋅2n-1=2n-1.∴Sn=2n-1.
设等差数列{bn}的公差为d，则b1=a1=1，b4=1+3d=7，
∴d=2，则bn=1+(n-1)×2=2n-1.
（2）证明：∵log2a2n+2=log222n+1，∴cn=1bn⋅log2a2n+2 =1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1，
∴Tn=121-13+13-15+⋅⋅⋅+12n-1-12n+1 =121-12n+1=n2n+1.
∵n∈N*，∴Tn=121-12n+1<12，当n≥2时，Tn-Tn-1=n2n+1-n-12n-1 =1(2n+1)(2n-1)>0，
∴数列{Tn}是一个递增数列，∴Tn≥T1=13.综上所述，13≤Tn<12.
点睛：等差等比之间的转换：等比数列添上对数的运算变成等差数列，等差数列添上指数的运算变成等比数列。裂项相消法是用来解同一等差数列的前后两项之积的倒数的模型。
19．(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】试题分析：
（I）设双曲线方程为，由题意得，结合，可得，故可得， ，从而可得双曲线方程。（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，与双曲线方程联立消元后根据根与系数的关系可得，解得可得直线方程。
试题解析：
（I）由题意得椭圆的焦点为， ，
设双曲线方程为，
则，
∵
∴，
∴ ，
解得，
∴ ，
∴ 双曲线方程为．
（II）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，即。
由消去x整理得
，
∵直线与双曲线交于， 两点，
∴，
解得。
设， ,
则，
又为的中点
∴ ，
解得．满足条件。
∴ 直线，即.
点睛：
解决直线与双曲线位置关系的问题的常用方法是设出直线方程，把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．当直线与双曲线有两个交点的时候，不要忽视消元后转化成的关于x(或y)的方程的（或）项的系数不为0，同时不要忘了考虑判别式，要通过判别式对求得的参数进行选择．
20．（I）；（II）．
【解析】
试题分析：（I）由，化简得，平方后利用正弦的倍角公式，即可求解的值；（II）化简，即可求解在的最值．
试题解析：（Ⅰ）因为，
所以 ， 所以 ．
平方得，=，
所以 ．
（II）因为=
= ==．
所以的最大值为；的最小值为-．
考点：三角恒等变换；三角函数的性质．
21．19．（1）（2）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由数列{an}的前n项和Sn满足Sn=，利用，能求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）推导出，由此利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和．
【详解】
解：（Ⅰ）当时，；当时，，符合上式.
综上，.
（Ⅱ）.则，
，
∴，
∴.
【点睛】
用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

22．(1) x29+y24=1 (2) m=395
【解析】
【分析】
（1）由e=53=ca=a2-b2a，2b=4，联立解出即可得出；
（2）由题意知, 设Px0,y0，直线A1P的方程为y=y0x0+3(x+3)，则Q(m,y0x0+3(m+3))，又点Px0,y0在椭圆C上,Q(m,y0x0+3(m+3)).从而A2P⋅A2Q=x0-359m-133=0
故存在实数m的值.
【详解】
(1)由题可知, b=2.
联立b=2ca=53⇒ a2-c2=4,c2a2=59⇒ a2=9,c2=5，
故椭圆C的方程为x29+y24=1.
(2)由题意知, A1(-3,0),A2(3,0),设Px0,y0，
则直线A1P的方程为y=y0x0+3(x+3).
设存在直线x=m满足条件,
则当x=m时，y=y0x0+3(m+3)，
所以Q(m,y0x0+3(m+3)).
又点Px0,y0在椭圆C上,
所以y02=4(1-x029)，
所以A2P=(x0-3,y0)，
A2Q= (m-3,y0x0+3(m+3))，
A2P⋅A2Q=(x0-3,y0) ⋅(m-3,y0x0+3(m+3))
=(x0-3)(m-3)+ y0x0+3(m+3)
=(x0-3)(m-3)+ 4(3-x0)(3+x0)9(x0+3)(m+3)
=(x0-3)(m-3)+ 4(x0-3)9(m+3)
=(x0-3)(59m-133).
因为kPA2⋅kQA2=-1，
所以A2P⋅A2Q=0，
即(x0-3)(59m-133)=0，
又由题可知x0≠3，
所以59m-133=0⇒m=395，
所以存在m=395满足条件.
【点睛】
解决解析几何中探索性问题的方法
存在性问题通常采用“肯定顺推法”．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)

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