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高中文科数列部分知识整理
数列（一）
等差数列
1.等差数列的概念：若数列{an}从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则数列{an}叫等差数列.常数叫做公差。
2. 等差中项：若a、b、c成等差数列，则b称a与c的等差中项，且b=；
a、b、c成等差数列是2b=a+c的充要条件.

3.通项公式：an=a1+（n－1）d，
推广：an=am+（n－m）d.
变式：a1=an－（n－1）d，d=，d=.
4.前n项和：Sn==na1+d=n·an－（n－1）nd.
变式：===a1+（n－1）·=an+（n－1）·（－）.

【练习】
1.等差数列{an}中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n是 （ ）
A.48 B.49 C.50 D.51

2.在等差数列{an}中，公差为，且a1+a3+a5+…+a99=60，则a2+a4+a6+…+a100=_________.

3.已知{an}为等差数列，前10项的和S10=100，前100项的和S100=10，求前110项的和S110.
解：设{an}的首项为a1，公差为d，则

4.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50.
（1）求通项{an}； （2）若Sn=242，求n.

6.设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{}的前n项和，求Tn.

数列（二）
等比数列
1.定义数列{an}从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.常数叫公比.
2.等比中项：若a、b、c成等比数列，则b为a、c的等比中项，且b=±.
3.通项公式：an=a1qn－1，
推广形式：an=amqn－m.
4.前n项和Sn=
5.证明等比数列的方法：（1）用定义：只需证=常数；
（2）用中项性质：只需an+12=an·an+2或=.
【例题】
1.已知等比数列{an}中，a3=3，a10=384，则该数列的通项an=___________________.

2.数列{an}中，a1=1，an=an－1+1（n≥2），求通项公式an.

数列（三）
差比数列知识点归纳
一、等差数列
1、等差数列及等差中项定义
注：根据定义，当我们看到形如：、、、、、时，应能从中得到相应的等差数列。

2、等差数列的通项公式：、 (其中为首项、为已知的第项) 当时，是关于的一次式；当时，是一个常数。

3、等差数列的前项和公式：
当时，是关于的二次式且常数项为0； 当时（），是关于的正比例式。

4、等差数列中，若，则
5、等差数列的公差为，则任意连续项的和构成的数列、、、……仍为等差数列，公差为。

6、等差数列的公差为，前项和为，则数列是等差数列，公差为。特别地、、组成等差数列。

7、两个等差数列与的公差分别为和，则数列为等差数列，且公差为

8、等差数列的任意等距离的项（项数组成等差数列）构成的数列仍为等差数列。如、、、…

9、为等差数列，公差为，则数列 ()是等比数列，公比为。

10、 在等差数列中：
① 若项数为，则

② 若项数为，则

11、两个等差数列与的前项和分别为、，则

二、等比数列
1、等比数列及等比中项定义：
注：根据定义，当我们看到形如：、、、、应能从中得到相应的等差数列。

2、等比数列的通项公式： (其中为首项、为已知的第项，)
关于等比数列的单调性：
当时，为常数列 当时，为摆动数列；
当且时，为递增数列；
当且时，为递减数列；
当且时，为递增数列；
当且时，为递减数列；
3、等比数列的前项和公式：当时， (是关于的正比例式)；
当时，

4、等比数列中，若，则

5、等比数列的公比为，且,则任意连续项的和构成的数列、、、……仍为等比数列，公比为。
6、两个等比数列与的公比分别为和，则数列、、仍为等比数列，公比分别为、、。
7、等比数列的任意等距离的项（项数组成等差数列）构成的数列仍为等比数列。如、、、…

8、等比数列的公比为，且，则 (且) 是等差数列，公比为。
9、 在等比数列中： ① 若项数为，则
② 若数为则，

数列专题讲练
1． 等差数列的证明方法：
（1）定义法：(常数) （2）等差中项法：
2．等比数列的证明方法：
（1）定义法：(常数) （2）等比中项法：

二．通项公式的求法

（1）利用等差等比的通项公式

（2）累加法：
【例】已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则

所以数列的通项公式为。

（3）构造等差或等比 或
【例】已知数列满足求数列的通项公式；
解：

是以为首项，2为公比的等比数列。

即　

【例】已知数列中，,，求.
解：在两边乘以得：
令，则,解之得：,所以.

【练习】已知数列满足，且。
（1）求； （2）求数列的通项公式。
（4）利用
【例】若和分别表示数列和的前项和，对任意正整数
，.求数列的通项公式；
解：
当
当

【练习】已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an

（5）累积法 转化为，逐商相乘.
【例】已知数列满足，，求。
解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即
又，

【练习】1.已知， ，求。

（6）倒数变形：,两边取倒数后换元转化为。
【例】已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。
解：取倒数：
是等差数列，
【练习】已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝
求数列｛an｝的通项公式；

三．数列求和
1、等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
3、错位相减法求和{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
【例】 求和：
解：由题可知，设 ①
…②（设制错位）
①－②得
（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：
。
∴

【练习】 求数列前n项的和.
4、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.
5、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
【例】求数列的前n项和：，…
解：设
将其每一项拆开再重新组合得
（分组）
当a＝1时，＝（分组求和）
当时，＝

6、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）
（1）为等差数列，
（2）

【例】求数列的前n项和.
解：设，则

＝

【例】在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
解：∵
　 ∴ 数列{bn}的前n项和：
＝ ＝

【练习】1．已知数列{}的前项和为，且满足 。求数列{}的通项公式；

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