专题二第2讲三角恒等变换与解三角形.doc

第2讲　三角恒等变换与解三角形
自主学习导引
真题感悟
1．(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝
A．－　　　 B．－
C.　　　 D.
解析　利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解．
∵sinα＋cos α＝，
∴(sin α＋cosα)2＝，
∵2sin αcos α＝－，
即sin 2α＝－.
又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝＞0，
∴2kπ＋＜α＜2kπ＋π(k∈Z)，
∴4kπ＋π＜2α＜4kπ＋π(k∈Z)，∴2α为第三象限角，
∴cos 2α＝－＝－.
答案　A
2．(2012·浙江)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知cos A＝，sin B＝cos C.
(1)求tan C的值；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
解析　(1)因为0＜A＜π，cos A＝，得sin A＝＝.
又cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝cos C＋sin C，所以tan C＝.
(2)由tan C＝，得sin C＝，cos C＝.
于是sin B＝cos C＝，
由a＝及正弦定理＝，得c＝.
设△ABC的面积为S，则S＝acsin B＝.
考题分析
新课标高考对本部分的考查，一般多以小题考查三角变换在求值、化简等方面的应用，而解答题常常有以下三种：三角变换与内部相关知识的综合性问题、三角变换与向量的交汇性问题、三角变换在实际问题中的应用问题．
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高频考点突破
考点一：三角变换及求值
【例1】设＜α＜，sin＝，求的值．
[审题导引]　解答本题的关键是求出sin α与cos α，观察所给的条件式会发现求sin α与cos α的方法有两个，一是利用角的变换，二是解关于sin α与cos α的方程组．
[规范解答]　解法一　由＜α＜，得＜α－＜，
又sin＝，∴cos＝.
∴cos α＝cos
＝coscos －sinsin ＝.
∴sin α＝.
故原式＝＝cos α＝.
解法二　由sin＝，得sin α－cos α＝，①
平方得1－2sin αcos α＝，
即2sin αcos α＝＞0.
由于＜α＜，故＜α＜.
(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
故sin α＋cos α＝，②
联立①②，解得sin α＝，cos α＝.
∴原式＝cos α(1＋2sin α)
＝×＝.
【规律总结】
sin α、cos α的求值技巧
当已知sin，cos时，利用和、差角的三角函数公式展开后都含有sin α＋cos α或sin α－cos α，这两个公式中的其中一个平方后即可求出2sin αcos α，根据同角三角函数的平方关系，即可求出另外一个，这两个联立即可求出sin α，cos α的值．或者把sin α＋cos α、sin α－cos α与sin2α＋cos2α＝1联立，通过解方程组的方法也可以求出sin α、cos α的值．
[易错提示]　三角函数求值中要特别注意角的范围，如根据sin2α＝求sin α的值时，sin α＝± 中的符号是根据角的范围确定的，即当α的范围使得sin α≥0时，取正号，反之取负号．注意在运用同角三角函数关系时也有类似问题．
【变式训练】
1．(2012·烟台一模)若α∈，且cos2α＋sin＝，则tan α＝
A．1　　　　B.　　　　C.　　　　D.
解析　cos2α＋sin＝cos2α＋cos 2α
＝2cos2α－sin2α＝＝＝，
即tan2α＝1. 又α∈，tan α＞0，∴tan α＝1.

2．(2012·南京模拟)已知sin＋sin α＝－，－＜α＜0，则cos α＝________.
解析　sin＋sin α＝sin α＋cos α＋sin α
＝sin α＋cos α＝sin＝－，
∴sin＝－.
又∵－＜α＜0，∴－＜α＋＜，∴cos＝，
∴cos α＝cos＝cos＋sin
＝.
答案　
考点二：正、余弦定理的应用
【例2】　(2012·湖南师大附中模拟)在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且(2a－c)cos B＝bcos C.
(1)求角B的大小；
(2)若cos A＝，a＝2，求△ABC的面积．
[审题导引]　(1)把条件式中的边利用正弦定理转化为角后进行三角恒等变换可求B；
(2)利用(1)的结果求b及c，利用公式求面积．
[规范解答]　(1)因为(2a－c)cos B＝bcos C，由正弦定理，得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C.
∴2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C
＝sin(B＋C)＝sin A.
∵0＜A＜π，∴sin A≠0，∴cos B＝.
又∵0＜B＜π，∴B＝.
(2)由正弦定理＝，得b＝，
由cos A＝可得A＝，
由B＝，可得sin C＝，
∴S＝absin C＝×2××＝
【规律总结】
解三角形的一般方法是
(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a、b.
(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π求另一角．
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解题时可能有多种情况．
(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.
【变式训练】
3．(2012·北京东城11校联考)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sin A＝sin C，B＝30°，b＝2，则边c＝________.
解析　由正弦定理得a＝c，由余弦定理可知b2＝a2＋c2－2accos B，
即4＝3c2＋c2－2c2×，解得c＝2.
答案　2
考点三：解三角形与实际应用问题
【例3】(2012·宿州模拟)已知甲船正在大海上航行．当它位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，乙船当即也决定匀速前往救援，并且与甲船同时到达．(供参考使用：取tan 41°＝)
(1)试问乙船航行速度的大小；
(2)试问乙船航行的方向(试用方位角表示，譬如北偏东……度)．
[审题导引]　据题意作出示意图，把实际问题转化为解三角形，利用正、余弦定理求解．
[规范解答]　设乙船运动到B处的距离为t海里．

则t2＝AC2＋AB2－2AB·ACcos 120°
＝102＋202＋2×10×20×＝700，
∴t＝10，又设∠ACB＝θ，
则＝，＝，
则sin θ＝＝0.65，∴θ＝41°，
∴乙船应朝北偏东71°的方向沿直线前往B处求援．速度为5海里/小时．
【规律总结】
应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步
(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；
(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；
(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；
(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案
【变式训练】
4．如图所示，小丽家住在成都市锦江河畔的电梯公寓AD内，她家河对岸新建了一座大厦BC，为了测得大厦的高度，小丽在她家的楼底A处测得大厦顶部B的仰角为60°，爬到楼顶D处测得大厦顶部B的仰角为30°，已知小丽所住的电梯公寓高82米，请你帮助小丽算出大厦高度BC及大厦与小丽所住电梯公寓间的距离AC.

解析　设AC＝x米，则BC＝x米，
过点D作DE⊥BC，易得BE＝x，
∴x－x＝82.
∴x＝41米．
∴BC＝×41＝123米．
名师押题高考
【押题1】已知＝，则sin α＋cos α＝________.
解析　＝＝
＝·＝，
则sin α＋cos α＝.
答案　
[押题依据]　诱导公式、倍角公式等都是高考的热点，应用这些公式进行三角恒等变换是高考的必考内容．本题考点设置恰当、难度适中，体现了对基础知识和基础能力的双重考查，故押此题．
【押题2】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列．
(1)若b＝，a＝3，求c的值；
(2)设t＝sin Asin C，求t的最大值．
解析　(1)因为A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C，
因为A＋B＋C＝π，所以B＝.
因为b＝，a＝3，b2＝a2＋c2－2accos B，
所以c2－3c－4＝0.
所以c＝4或c＝－1(舍去)．
(2)因为A＋C＝π，
所以t＝sin Asin＝sin A
＝sin 2A＋＝＋sin.
因为0＜A＜，所以－＜2A－＜.
所以当2A－＝，即A＝时，t有最大值.
[押题依据]　本题将三角函数、余弦定理、数列巧妙地结合在一起，综合考查了三角恒等变换及余弦定理的应用，体现了高考在知识的交汇处命题的理念，故押此题．