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高一函数主要知识点和解决方法及典型例题

一、函数的概念与表示
1、函数
构成函数概念的三要素 ①定义域;②对应法则;③值域.
两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同
例1、下列各对函数中，相同的是（ ）
A、 B、
C、 D、f（x）=x，
例2、给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ）
A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个
x
x
x
x
1
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
y
y
y
y
3
O
O
O
O

二、函数的定义域
1、求函数定义域的主要依据：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；
（3）对数函数的真数必须大于零；
（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；
例1、（05江苏卷）函数的定义域为 .

2、抽象函数定义域问题的几种题型及求法．
　(1)、已知的定义域，求的定义域
其解法是：若的定义域为，则在中，，从中解得的取值范围即为的定义域．
已知函数的定义域为，求的定义域．
分析：该函数是由和构成的复合函数，其中是自变量，是中间变量，由于与是同一个函数，因此这里是已知，即，求的取值范围．
解：的定义域为，，．
故函数的定义域为．
(2)、已知的定义域，求的定义域
其解法是：若的定义域为，则由确定的的范围即为的定义域．
例2　已知函数的定义域为，求函数的定义域．
分析：令，则，
由于与是同一函数，因此的取值范围即为的定义域．
解：由，得．
令，则，．
故的定义域为．
(3)、运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．
例３　若的定义域为，求的定义域．
　　解：由的定义域为，则必有解得．
所以函数的定义域为．

例2、

例3、

三、函数的值域
求函数值域的方法：
①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；
②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；
④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；
⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；
⑥图象法：二次函数必画草图求其值域.
例题、求下列函数的值域：
1．（直接法）①； ② .

2．（换元法）

3. (分离常数法) ① ②.

4. (单调性); 5．(图象法.

函数解析式的求法
（1）待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设是一次函数，且，求
解：设 ，则

（2）配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。
例2 已知 ，求 的解析式
解：，

（3）换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知，求
解：令，则，

（4）构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例4 设求
解
例5 设为偶函数，为奇函数，又求的解析式
解
（5）赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例6 已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求
解对于任意实数x、y，等式恒成立，
不妨令，则有
再令 得函数解析式为：
五．函数的奇偶性
1．定义:　设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数.
如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇函数.
2.性质：
①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,　　 y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,
②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0
③奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称]
3．奇偶性的判断
①看定义域是否关于原点对称　　　　　②看f(x)与f(-x)的关系
例1.已知函数是定义在上的偶函数. 当时，，
则当时， .

例2、已知定义域为的函数是奇函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.

例3、若奇函数满足，，则_________________.

六、函数的单调性
1、函数单调性的定义：
2、设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数.
例1、判断函数的单调性.

例2、函数的单调增区间是____________________
例3、(高考真题)已知是上的减函数，那么的取值范围是 （ ）
（A） （B） （C） （D）