平面向量知识归纳.doc

平面向量的鸡毛蒜皮
一、向量概念
1、向量：既有大小，又有方向的量．
零向量：长度为的向量;零向量和任意向量平行或垂直.
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；
2、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

3、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
4、 坐标运算：设，，
则．
设、两点的坐标分别为，，则．
4、向量数乘运算：
⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．
①，
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．
5、 平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．
6、平面向量的数量积：，;注意数量积是一个实数，不再是一个向量.
⑴．零向量与任一向量的数量积为．
⑵性质：①．②．③．
(3)坐标运算：设两个非零向量，，则．
(4) (5)（或者，注意考虑分母为0的情况）．
(6)在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0.
例子：已知，，且，则向量在向量上的投影为______（答：）
（7） 的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积.
（8） ; ;
二、三角形“四心”焖锅
三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好．——重心之歌
三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．——内心之歌
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等，；（5）旁心：略
1、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足：
（1） ，，则的轨迹一定通过的重心.
（2） ，则的轨迹一定通过的重心.
（3），，则动点的轨迹一定通过的垂心．
（4），，则动点的轨迹一定通过的内心．
（5），，则动点的轨迹一定通过的外心。
2、奔驰定理
已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，若,则三角形OBC,OAC,OAB,ABC面积之比为：.以下是奔驰定理关于四心的推论：
（1）O是的重心；为的重心.
（2）O是的垂心； ；
（3）O是的外心（或）；；
（4）O是的内心

是的内心.
三、向量里一点点可能会遇到的结论
1、三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证：.
设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心. 求证：
2、 三点共线定理： A，B，C三点共线，O为平面上任意一点，则
3、 极化恒等式：
极化恒等式的三角形模式：如右图，假如点D是BC中点，则
4、 角平分线定理：假如AD是角平分线，则;
5、 直角三角形内接圆半径；(c是斜边)
6、 重心真的很神奇，若三角形ABC重心为G，则，；
重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，即重心到三条边的距离与三条边的长成反比；
重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.
7、线段的定比分点：设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，若存在一个实数 ，使，则叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以定比为的定比分点；
(1)设、，分有向线段所成的比为，则.
(2)点M为平面内的任一点，则，特别地为的中点；
8、一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
9、，特别地，当同向或有
例子：已知，则的范围是[3,7].（可以直接用9的结论，也可以平方）
10、 的面积公式很多，例如;;；海伦公式等等.
在向量里，有一种行列式表示，可以简化计算，中，则.
证明：.
四、 平面向量问题解题策略
（1） 向量的分解，合并（线性运算），三点共线定理；
（2） 向量的几何化，数形结合；
（3） 向量的实数化（已知夹角，长度，数量积）
（4） 向量的坐标化（图形特殊化，长度特殊化，建立坐标系）

五、 练习题(高考真题)
1、 设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝ 1 .　
2、已知向量，，则 9 .
3、已知向量a=，b=, 若ma+nb=, 则实数的值为__-3___.
4、已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t= 2 .
5、已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为 90o ．
6、设为所在平面内一点，则（ A ）
（A） (B) （C） (D)
7、设向量，不平行，向量与平行，则实数______.
8、设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，，则（ C ）
（A）20 （B）15 （C）9 （D）6
9、（11年10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题,其中的真命题是（ A ）

（A） （B） （C） （D）
10、若平面向量满足:;则的最小值是.
11、已知是单位向量,.若向量满足
12、在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是___1＋_____．
13、已知圆O的半径为1，PA,PB为该圆的两条切线，A,B为切点，则的最小值为 .
14、已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（ 7 ）
15、,M是BC中点，AM=3,BC=10,则 -16 .（极化恒等式可以一试）

16、[2014·惠州调研] 已知△ABC中，角A为锐角，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.设向量m＝(cos A，sin A)，
n＝(cos A，－sin A)，且m与n的夹角为.
(1)计算m·n的值并求角A的大小； (2)若a＝，c＝，求△ABC的面积S.
【答案】（1）A＝（2）S＝bcsin A＝
17、在平面直角坐标系中，已知向量，，．
（1）若，求tan x的值；
（2）若与的夹角为，求的值． 【答案】（1）；（2）．