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数列
一、 数列的概念与简单表示法
1、 数列的概念
⑴ 数列的定义：
按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每个数称为该数列的项。
数列中每一项都和它的序号有关。数列的一般形式为，或者简记为，其中表示数列的通项。
注：
① 研究对象:“数”(与集合相区别)。
② 首项（第1项）：数列中的排在第1位的数。
第2项 ：数列中的排在第2位的数。
……
通项（第n项）：数列中的排在第n位的数。
③ 注意与含义的区别：
：表示数列中的第n项。
：表示数列，简单记法。
④ 数列的项性质：
有序性 ：一个数列不仅与构成数列的数有关，而且与排列顺序有关。
可重复性 ：数列中数可以重复出现。
补充知识：
集合中元素的性质：确定性、互异性、无序性。
例：a 1、2、3、4、5、6和6、5、4、3、2、1构成同一个结合，不同的数列
b 1、2、2、3、5、5可以表示数列，但不能构成集合。
⑵ 从函数的角度研究数列：
对于任意一个数列，其每一项与序号都有对应的关系，见下表：
序号（项数n）
1
2
3
…
n
…

项

…

…
数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集｛1,2,3，…,n｝)的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
注：1、数列可以看作特殊的函数（离散型），其图像是一系列孤立的点。
2、函数不一定是数列。
2、 数列的表示方法
⑴ 列表法：列出表格表示出数列的项和序号的关系
例：数列6,66,666,6666,66666,666666可以用下表表示
序号（项数）
1
2
3
4
5
6
项
6
66
666
6666
66666
666666
⑵ 图像法：
在平面直角坐标中，数列的图像是一系列横坐标为正整数的孤立的点（,）。
⑶ 通项公式法：用数学式子表示数列。最常用的数列表示方法。

3、 数列的通项公式：
⑴ 数列的第n项叫做数列的通项。
⑵ 如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，
那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
注：① 并不是所有的数列都可以用通项公式表示
例：π小数点后每一位所构成的数列1,4,1,5,9，2,6…
π精确到1,0.1,0.01,0.001，…的近似值组成的数列3,3.1，3.14,3.142，…
② 只给出一个数列的若干项，而未指明数列构成规律时，该数列的通项公式不能唯一确定。
例：数列1,4,7,10，…
通项公式可以是,也可以
③ 数列通项公式的表示方法不唯一。
例：数列-1，1,-1,1,-1，…
通项公式可以是,也可以是。

4、 数列的递推公式：
⑴ 递推公式：
如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式。
⑵ 通项公式与递推公式异同点：
相同点：都可以确定一个数列，都可以求出数列的任意一项。
不同点：通项公式可以通过代入项数n直接求出项。简单直接
递推公式需要通过一次或者多次赋值，求出需要的项。赋值繁琐
所以我们经常会研究根据递推公式求通项公式的问题。（相应专题练习）

5、 数列的前n项和：
叫做数列的前n项和，记作
数列的通项与前n项和的关系：

注：1、不是对一切正整数n都成立的，而是对于的一切正整数恒成立，因为当时，，无意义。
2、由前n项和求通项公式时，要分两种情况：和，然后验证两种情形可否用同一式子表示。若当时，也适合的表达式，则将两种情况统一合写。若不能，则需要采用分段形式来表示。

例： （1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

6、 数列的分类：

分类标准
名称
含义
举例
项的个数
有穷数列
项数有限的数列
1,2,3，…，n
无穷数列
项数无限的数列
1,4,9,…,, …
项的变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
3,4,5，…，n+2
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
1,, ,…,
常数列
各项相等的数列
6,6,6, …,6
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
1,-2,3,-4, …

7、 数列的性质： 单调性，周期性，有界性
⑴ 单调性：
递增数列：，>
递减数列：，<
摆动数列：有大有小
常数列：，=
求数列的最大（小）项，一般先研究数列的单调性，
可以用 或 求解，
也可以转换为函数的最值问题或利用数形结合求解。

⑵ 周期性：
，=（k为正整数），那么称数列是以k为周期的周期函数。
例：①、、
注意：，不是周期函数。
②
③递推公式（创新题型）：，
⑶ 有界性：
， ,那么称为 有界数列，否则称为无界数列。
例：1、、等均为有界数列
2、、、等均为无界数列