Ch7.1参数的点估计.pptx

,*,第一节 参数的点预计,点预计概念,求预计量的办法,课堂练习,小结,参数预计问题的普通提法:,X,1,X,2,X,n,设有一种统计总体,总体的分布函数为,现从该总体抽样，得样本,F,(,x,)，其中 为未知参数(可以是向量).,要依据该样本对参数 作出估计,或估计,的某个已知函数 .这类问题称为,参数估计,.,参数预计问题是运用从总体抽样得到的信息来预计总体的某些参数或者参数的某些函数.,参数预计,参数预计,点预计,区间预计,（假定身高服从正态分布 ）,设这5个数是:,1.65 1.67 1.68 1.78 1.69,这是,区间估计,.,估计,在区间 1.57,1.84 内，,例如我们要预计某队男生的平均身高.,现从该总体选取容量为5的样本，我们的任务是要根据选出的样本（5个数）求出总体均值 的估计.而全部信息就由这5个数组成.,估计 为1.68，,这是,点估计,.,一、点预计概念,随机抽查,100,个婴儿,得,100,个体重数据,10,7,6,6.5,5,5.2,呢?,据此,我们应如何估计,和,而全部信息就由这100个数构成.,例1,已知某地区新生婴儿的体重 ,未知,为预计 :,我们需要构造出适宜的样本的函数 T(X1,X2,Xn)，每当有了样本，就代入该函数中算出一种值，用来作为 的预计值.,T,(,X,1,X,2,X,n,),称为参数,的点预计量，,把样本值代入,T,(,X,1,X,2,X,n,),中，,估计值.,得到 的一个,点,由大数定律,自然想到把样本体重的平均值作为总体平均体重的一种预计.,样本体重的平均值,我们知道,若 ,则,.,用样本体重的均值 估计 .,类似地，用样本体重的方差 估计 .,使用什么样的统计量去估计？,能够用样本均值;,也能够用样本中位数;,还能够用别的统计量.,问题是:,二、谋求预计量的办法,1.矩预计法,2.最大似然法,3.最小二乘法,4.贝叶斯办法,这里我们重要介绍前面两种办法.,1.矩预计法,矩预计法是英国统计学家K.皮尔逊,最早提出来的.由辛钦大数定理,若总体 的数学期望 有限,则有,其中 为连续函数.,这表明,当样本容量很大时,在统计上,能够用,用样本矩去预计总体矩.这一事实导出矩预计法.,定义,用样本原点矩估计相应的总体原点矩,又,用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的,连续函数,这种参数点估计法称为,矩估计法,.,理论根据:,大数定律,矩预计法的具体做法以下：,那么它的前,k,阶矩 ,一般都是这,k,个参数,设总体的分布函数中含有,k,个未知参数 ,i,=1,2,k,从这,k,个方程中解出,j,=1,2,k,j,=1,2,k,那么用诸 的估计量,A,i,分别代替上式中的诸 ,即可得诸 的,矩估计量,：,矩预计量的观察值称为矩预计值.,的函数,记为：,例2,设总体,X,在,a,b,上服从均匀分布,a,b,未知.是来自,X,的样本,试求,a,b,的矩估计量.,解,即,解得,于是 a,b 的矩预计量为,样本矩,总体矩,解,例3 设总体 X 的均值 和方差 都存在,未知.是来自 X 的样本,试求 的矩预计量.,解得,于是 的矩估计量为,样本矩,总体矩,解:,由矩法,样本矩,总体矩,从中解得,的矩估计.,即为,数学盼望,是一阶,原点矩,例3,设总体,X,的概率密度为,是未知参数,其中,X1,X2,Xn是取自X的样本,求参 的矩预计.,矩法的优点是简朴易行,并不需要事先懂得总体是什么分布.,缺点是，当总体类型已知时，没有充足运用分布提供的信息.普通场合下,矩预计量不含有唯一性.,其重要因素在于建立矩法方程时，选用那些总体矩用对应样本矩替代带有一定的随意性.,2.,最大似然法,它是在总体类型已知条件下使用的一种参数预计办法.,它首先是由德国数学家,高斯,在,1821年提出的.,Gauss,Fisher,然而,这个办法常归功于英国统计学家费歇.,费歇在1922年重新发现了这一办法，并首先研究了这种办法的某些性质.,最大似然预计法的思想,最大似然预计法，是建立在最大似然原理,的基础上的求点预计量的办法。最大似然原理的直观想法是：在实验中概率最大的事件最有可能出现。因此，一种实验如有若干个可能的成果A,B,C,若在一次实验中，成果A出现，,则普通认为A出现的概率最大。,最大似然预计定义：,当给定样本,X,1,X,2,X,n,时，定义,似然函数,为：,设,X,1,X,2,X,n,是取自总体,X,的一个样本，样本 的联合密度(连续型）或联合分布律 (离散型)为,f,(,x,1,x,2,x,n,;).,f,(,x,1,x,2,x,n,;),这里,x,1,x,2,x,n,是样本的观察值.,似然函数：,f,(,x,1,x,2,x,n,;),最大似然估计法,就是用使 达到最大值的,去估计 .即,称 为 的,最大似然估计值,.,而相应的,统计量,称为 的,最大似然估计量,.,看作参数 的函数，它可作为 将以多大可,能产生样本值,x,1,x,2,x,n,的一种度量.,求最大似然预计量的普通环节为：,（1）,求似然函数,（2）,一般地，求出 及似然方程,（3）,解似然方程得到最大似然估计值,（4）,最后得到最大似然估计量,解,似然函数,例5,解,X,的,似然函数为,例,6,解,例,7,解,例,这一预计量与矩预计量是相似的.,最大似然预计的不变性:,U.,解,例,以及p=P(X=0)的最大似然预计量。,因为 是 的单调函数，所以，,p,=,P,(,X,=0)的最大似然估计量为,三、,课堂练习,例1,设总体,X,的概率密度为,其中 是未知参数,X,1,X,2,X,n,是取自,X,的样本,求参数 的矩估计.,解,样本矩,总体矩,解得,的矩估计量为,故,解 由密度函数知,例 2 设X1,X2,Xn是取自总体 X 的一种样本,其中 0,求 的矩预计.,具有均值为 的指数分布,即,E,(,X,-)=,D,(,X,-)=,E,(,X,)=,D,(,X,)=,故,解得,也就是,E,(,X,)=,D,(,X,)=,的矩估计量为,于是,解,似然函数,为,对数似然函数为,例3 设X1,X2,Xn是取自总体X的一种样本,求 的,最大似然估计值,.,其中,0,求导并令其为0,=0,从中解得,即为 的,最大似然估计值,.,对数似然函数为,这一讲，我们介绍了参数点预计,给出了谋求预计量最惯用的矩法和极大似然法.,参数点预计是用一种拟定的值去预计未知的参数.看来似乎精确，事实上把握不大.,四、小结,