浙江省专升本历年真题卷.doc

2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷

一、填空题
1．函数的连续区间是 。
2． 。

3．（1）轴在空间中的直线方程是 。

（2）过原点且与轴垂直的平面方程是 。

4．设函数,当时，函数在点处连续。
5．设参数方程，
（1）当是常数,是参数时，则 。

（2）当是常数，是参数时，则 。
二．选择题
1．设函数在上连续可导，，且，则当（ ）时，在处取得极大值。
（A）当时，，当时，,
（B）当时，，当时，,
（C）当时，，当时，,
（D）当时，，当时，.
2．设函数在点处可导，则
（ ）。

3．设函数，则积分 （ ）。

5．设级数和级数都发散，则级数是（ ）.
（A）发散 （B）条件收敛 （C）绝对收敛 （D）可能发散或者可能收敛

三．计算题
1．求函数的导数。
2. 求函数在区间（－1，2）中的极大值，极小值。
3. 求函数的n 阶导数。
4．计算积分。
5．计算积分。
姓名：准考证号：报考学校 报考专业：

密封线
6．计算积分。
8.把函数展开成的幂级数，并求出它的收敛区间。
9.求二阶微分方程的通解。
10.设是两个向量，且求的值，其中表示向量的模。
四．综合题
1．计算积分，其中是整数。
2．已知函数，
其中常数满足，
（1）证明函数在（0，1）内至少有一个根，
（2）当时，证明函数在（0，1）内只有一个根。

2005年高数（一）答案（A）卷
一． 填空题
1．连续区间是
2．
3．（1）或者，或者（其中是参数），（2）
4．
5．（1）， （2）.

二．选择题
题 号
1
2
3
4
5
答 案
B
D
B

D

三．计算题。
1．解 ：令， （3分）
则 （7分）
2．解：，驻点为 （2分）
（法一） ，
， （极大值）， （5分）
， （极小值）. （7分）
（法二）

－1
（－1，0）
0

2

正
0
负
0
正

-2
递增
1
递减

递增

（5分）
当时，（极大值），当时，（极小值） （7分）

3．解：利用莱布尼兹公式

（7分）
4．解： (3分)
＝ (7分)
5．解：＝ (3分)
C （其中C是任意常数） （7分）
6．解：＝ （3分）
＝2－ ＝2－
＝。 （7分）
8：解：
(2分)

＝， （5分）
收敛区间为（-1， 3）. （7分）
9.解：特征方程为，特征值为（二重根），
齐次方程的通解是，其中是任意常数.
(3分)
的特解是， （6分）
所以微分方程的通解是，其中是任意常数
（7分）
10．解：＝ (3分)
＝. （7分）
四．综合题：
1．解：（法一）
＝－ （4分）
＝ （10分）
（法二）当时
＝－ （ 4分）
＝ （7分）
当时
＝ ＝ （10分）
2．证明：（1）考虑函数, （2分）
在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，，
由罗尔定理知，存在，使得，即
，就是,
所以函数在（0，1）内至少有一个根. （7分）
（2）
因为，所以，
保持定号，函数在（0，1）内只有一个根. （10分）
姓名：准考证号：报考学校 报考专业：

密封线

2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷

一、 填空题
1． 。
2．函数的间断点是 。
3．若在处连续，则 。
4．设，则 。
5． 。
8．微分方程的通解 。
二．选择题
1． 函数的定义域为，则函数的定义域（ ）。

2． 当时，与不是等价无穷小量的是（ ）。

3．设，其中，则下面结论中正确（ ）。

4．曲线与轴所围图形的面积可表示为（ ）。

5． 设为非零向量，且，则必有（ ）。

三．计算题
1．计算。
2．设，求。
3．设函数 ，求。
4．计算不定积分。
5．计算定积分。
6．求微分方程满足的特解。
姓名：准考证号：报考学校 报考专业：

密封线
7．求过直线 ，且垂直于已知平面的平面方程。
8．将函数展开成的幂级数，并指出收敛半径。
10．当为何值时，抛物线与三直线所围成的图形面积最小，求将此图形绕轴旋转一周所得到的几何体的体积。

四．综合题

1． （本题8分）设函数在上连续，且，证明方程：
在内有且仅有一实根。
2．（本题7分）证明：若，则。
3．（本题5分）设是连续函数，求证积分
。

2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷（A卷）答案
一． 填空题
1．。
2．函数的间断点是。
3．若在处连续，则
4．。设，则。
5．
8．微分方程的通解为，其中为任意常数。
二．选择题
1、C 2、D 3、D 4、C 5、B
三．计算题
1．计算。
解：= 分
又因为 分
分
所以=。 分
2．设，求。
解； 分
= 分
3．设函数 ，求。
解： 2分
4分
7分
4．计算不定积分.
解： 3分
= 7分
5．计算定积分。
解： 3分
= 5分
=。 7分
6．求微分方程满足的特解。
解：微分方程对应的特征方程为

特征根为 1分
而，所以为单根， 2分
对应的齐次方程的通解为 3分
非齐次方程的通解为代入原方程得 4分
有通解 5分
有
有解 7分
7．求过直线 ，且垂直于已知平面的平面方程。
解：通过直线的平面束方程为
即
3分
要求与平面垂直，则必须

6分
所求平面方程为 7分
8．将函数展开成的幂级数，并指出收敛半径。
解： 2分
= 3分
=
= 6分
收敛半径 7分
10．当为何值时，抛物线与三直线所围成的图形面积最小，求将此图形绕轴旋转一周所得到的几何体的体积。
解：设所围面积为
2分

令 3分
，所以为最小的面积 4分
7 分
四；综合题
1·设函数在上连续，且，证明方程
在内有且仅有一实根。
证明：令， 则在上连续， 2分
， 4分
由闭区间上连续函数的介值定理知道在内至少存在一点，使得
5分
又因为，所以单调上升，在内最多有一个根，所以在内有且仅有一个实根。 7分
2．证明：若，则。
证明：令 2分令，（当时，，此时

+ 5分
所以是在上的极大值，有唯一性定理知：是最大值，故 7分
3．设是连续函数，求积分的值。
解： 令

.

2007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷

一、填空题
1．函数的定义域是 。
2．设，则 。
3．极限 。
4．积分 。
5．设则 。
6．积分 。
8．微分方程的通解 。
二．选择题
1．设 ，则是的（ ）。
（A）连续点 （B）跳跃间断点 （C）无穷间断点 （D）振荡间断点
2. 下列结论中正确的是（ ）。
（A）若，则存在，
（B）若，则，
（C）若，，则，
（D）若数列收敛，且 ，则数列收敛。
3．设，，则当时，是的 （ ）。
（A）高阶无穷小 （B）等价无穷小 （C）同阶但非等价无穷小 （D）低阶无穷小
4．已知函数 ，则（ ）。
（A） （B） （C） （D）

三．计算题
1．设，求。
2．由方程所确定的是的函数，求。
3．计算极限。
4．计算积分。
5．计算积分。
6．计算积分。
7．求经过点且平行于直线的直线方程。
9．任给有理数，函数满足，求
10．将函数在点处展开成幂级数，并指出收敛区间（端点不考虑）。

四．综合题
1．设直线与抛物线所围成的图形的面积为，直线与抛物线所围成的面积为，当时，，试确定的值，使得最小。
3．当时，求证。

《高等数学（一）》答案
一． 填空题：
1．
2．
3．0
4．
5．
6．
8．
二．选择题：
1、 2、 3、 4、
三．计算题：
1．解。

2。解：方程两边对求导数，得

。
3．解:令，
4．解：原式＝
5．解：＝
＝
6．解：＝
＝
＝
7．解：平行于直线 的直线的方向向量应是

所求直线方程为。
9．解：原方程两边对求导数，得
…………（1）
，
所以满足…………（2）
由原方程令，得，由方程（1）得。
方程（2）对应的特征方程为，即，
所以（2）有通解。
，得，即。
，，
所以，则。
10． 解：
。
收敛区间为，即。
四、综合题：
1．解：当时，与的交点坐标是和，则

。
，令，得。
，所以在时，。
当时，与的交点坐标是和，则

。
，则在时单调减少。
故在时，为的最小值，即。
又因为
，所以在时，的最小值在时取到，即。

3、 证明：令，则。
当时，，，，
从而在内单调减少，所以，（）
即。

2008年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷

一. 选择题
1.函数是（ ）。
（A）奇函数 （B）偶函数 （C）有界函数 （D）周期函数
2.设函数，则函数在处是（ ）。
（A）可导但不连续 （B）不连续且不可导 （C）连续且可导 （D）连续但不可导
3.设函数在上,，则成立（ ）。

4.方程表示的二次曲面是（ ）。
（A）椭球面 （B）柱面 （C）圆锥面 （D）抛物面
5.设在上连续,在内可导,, 则在内，曲线上平行于轴的切线（ ）。
（A）至少有一条 （B）仅有一条 （C）不一定存在 （D）不存在
二.填空题
1.计算 。
2.设函数在可导, 且,则 。.
3.设函数则 。
4.曲线的拐点坐标 。
5.设为的一个原函数,则 。
6. 。
7.定积分 。
10. 设平面过点且与平面平行，则平面的方程为 。
三.计算题:(每小题6分,共60分)
1.计算。
2.设函数,且,求。
3.计算不定积分。
4.计算广义积分。
5.设函数,求。
6. 设在上连续，且满足，求。
报考学校：报考专业：姓名： 准考证号：

密封线
7.求微分方程的通解。
8.将函数展开成的幂级数。
四.综合题
1.设平面图形由曲线及直线所
围成,
求此平面图形的面积;
求上述平面图形绕轴旋转一周而得到的旋转体的体积。
2.求函数的单调区间、极值及曲线的凹凸区间.
3.求证:当时,.
《高等数学(一)答案
一. 选择题:(每小题4分,共20分)
题 号
1
2
3
4
5
答 案
B
D
C
C
A

二..填空题:(每小题4分,共40分)
1. ; 2. 2; 3. ; 4. ; 5. ;
6. ; 7. ; 10. .
三．计算题(每小题6分,共60分)
1.解法一.由洛必达法则,得到 …………..4分 . …………6分
解法二.令, 则 ……….. 2分
于是, . …………6分

2.解., …………3分
故 . ………..6分

3. 解法一.令,,则, ………..2分
……….5分
. ……….6分
解法二. ……….4分
. ……….6分
4.解. ……….3分
. ………..6分

5.解. ……….3分
. ……….6分
6.解. 设,两边对已给等式关于从0到1积分,得到
……….4分
从而解得 .. ………..5分
代入原式得. ……….6分

7.解.特征方程为，得到特征根， ………..1分
故对应的齐次方程的通解为， ………..3分
由观察法，可知非齐次方程的特解是， ………..5分
因而，所求方程的通解为
，其中是任意常数. ……….6分

8.解.因为, ….3分
所以
=. ……..6分
四.综合题:(每小题10分,共30分)
1.解法一(1). ……….4分
. ………..6分
(2). ………..9分
………..12分
解法二.(1) ……….3分
. ………..6分
(2). ……….9分
. …………12分
2.解.定义域为,
,令,得到 (驻点), …….2分
由,得到, …….3分

0

1
(1,2)
2

+
0
－

－
0
＋

－

－

＋

＋

极大值
－1

极小值
－5

……..8分
故为单调增加区间，（0，2）为单调减少区间; ……….10分
极大值为－1，极小值为－5, ……..11分
为凸区间，为凹区间 ………12分
3.证明. 令
……….2分
利用中值定理,，其中, …….4分
所以,因此,当时，是单调增加的， ………5分
而,
所以当时,. ………..6分

姓名：准考证号：报考学校 报考专业：

密封线

2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷

一、填空题

3．写出函数的水平渐近线 和垂直渐近线 。

二．选择题
4．可微函数在点处有是函数在点处取得极值的 （ ）。
充分条件， 必要条件，
充分必要条件， 既非充分又非必要条件。

三．计算题

4．计算极限.

7．函数方程，其中变量是变量的函数，
求和

9．求微分方程的通解.

10．直线把圆分成左，右两部分，求右面部分绕轴旋转一周所得的旋转体体积.

四．综合题： （本题共2个小题，每小题10分，共20分）

1．设是整数，计算积分.

2005年高数（二）答案（A卷）
一．填空题
3．（1）， （2）

二．选择题
4、D
三．计算题
4．解：＝＝

7．解：

（3分）
（7分）

9．解：
（5分）

（其中为任意常数） （7分）

10．解：直线与圆的交点是， （2分）
右面部分绕轴旋转一周的所得几何体的体积.
（5分）
＝ （7分）
四．综合题：
1．解：＝ （3分）＝ （10分）

2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷

一、 填空题
1. 若 在 连续，则 。
2. 曲线在处的切线方程为 。
3. 设函数，则其导数为 。
4. ＝ 。
5. 设，则 。
6. 曲线与直线，及轴所围成的图形绕轴旋转一周，
所得旋转体体积为 。
7. 微分方程 的通解为 。
8. 若级数收敛，则的取值范围是 。

二．选择题
1．（ ）。
(A) (B) (C) 1 (D) 不存在
2. 当时， 是比 的（ ）.
（A） 高阶无穷小 （B）等价无穷小 （C）同阶无穷小 （D）低阶无穷小
3. 级数 为（ ）.
绝对收敛 条件收敛 发散 无法判断
4.曲线与直线所围成的图形的面积为（ ）.

5.广义积分为（ ）.
0

三．计算题
1. 计算极限 。
2．计算函数 的导数 。

3 计算由隐函数 确定的函数 的微分。
4. 判别正项级数的敛散性。
5. 计算不定积分 。
6. 求幂级数 的收敛半径与收敛区间。
7. 计算定积分 。
8. 计算微分方程 满足初始条件 的特解。
9. 计算函数 的二阶导数 。
10. 将函数 展成的幂级数并指出收敛区间.

四．综合题
1.设，证明不等式 。
2．设函数，求在区间上的最大值与最小值。
3. 设， （为实数）
试问在什么范围时,
（1）在点连续；
（2）在点可导。
4．若函数，求。

2006年浙江省普通高校“专升本”联考
《高等数学（二）》试卷（A）参考答案及评分标准

一、填空题

1. 若 在连续，则
1 .
2. 曲线在处的切线方程为 .
3. 设函数，则其导数为 .
4. ＝ 4 .
5. 设，则 .
6. 曲线与直线，及轴所围成的图形绕轴旋转一周，所得旋转体体积为 .
7. 微分方程 的通解为 .
8. 若级数收敛，则的取值范围是

二、选择题
1、B 2、A 3、B 4、C 5、D

三、计算题
2. 计算极限 .
解： ＝ （5分）
＝ （6分）

2．计算函数 的导数 .
解1： 两边取对数，得
（1分）
两边求导数
（4分）

＝ （6分）
解2： 由于，所以
（4分）
＝ （6分）
3 计算由隐函数 确定的函数 的微分.
解： 方程两边关于求导数，把 看成的函数.
（3分）
解得 （4分）
所以函数的微分 （6分）
5. 判别正项级数的敛散性.
解1： 由于，所以 （3分）
已知级数收敛 （5分）
由比较判别法知级数 收敛. （6分）
解2： 取，＝1 （4分）
因为级数收敛 （5分）
所以原级数收敛。 （6分）
5. 计算不定积分
解1： ＝ （4分）
＝ （6分）
解2： 设 ，则，，于是
＝ （4分）
=
= （5分）
= （6分）
6. 求幂级数 的收敛半径与收敛区间.
解： 当 时， （2分 ）
所以当 ，即 时，幂级数 收敛；当 ，即时，幂级数 发散，所以幂级数的收敛半径 （3分）
由于 时，级数 成为 发散。 （5分）
因此幂级数收敛区间为 （6分）
11. 计算定积分
解： 由于公式 ，所以
＝ （2分）
＝
＝ （ 3分）
＝ （5分）
＝
＝ （6分）
12. 计算微分方程 满足初始条件 的特解.
解： 分离变量得 （2分）
两边积分
于是有
即 （4分）
或
将初始条件代入得 （5分）
所求特解是 （6分）
13. 计算函数 的二阶导数 .
解： （3分）
（6分）
14. 将函数 展成的幂级数并指出收敛区间.
解： 因为 （1分）
根据幂级数展开式 ， （2分）
于是
（5分）
收敛区间是 （6分）

四、 综合题
1. 设，证明不等式
证明： 设， （ 2分 ）
则 在闭区间上满足 定理条件，
于是存在一点，使 （3分）
即 （4分）
因为且，所以 ， （5分）
因此 ,从而. （7分）
2．设函数，求在区间上的最大值与最小值.
解： 由于定积分是一确定的实数，设 （1分）
对的等式两边积分有

于是 （2分）
由上式解得
（3分）
令得驻点 （4分）
当时，恒有 ，表明在区间内严格增加， （5分）
所以 是函数在的最小值 （6分）
是函数在的最大值. （7分）
3． 3.设， （为实数）试问在什么范围时
（1）在点连续；
（2）在点可导.
解： （1）当时，是时的无穷小量，而是有界变量， （2分）
所以当时， （3分）
即当时，在点连续。 （4分）
（2）当时，由导数定义及有界变量乘无穷小量是无穷小量，得
（6分）
＝ （7分）
所以当时，在点可导. （8分）
4． 若函数，求.
解：
上式两边关于求导数
， （1分）
（ 2分）
记 ，则上式是二阶常系数非齐次微分方程 ，即 （I）
的通解是，为任意常数。 （3分）
由于是的特征方程 的单根，所以设是方程 （I）的一个特解，
于是有 与
将它们代入方程（I）得 （4分）
于是方程（I）的通解为，（）
这里为任意常数.
从已知条件可求得，，并代入方程（） （5分）
得
解得 （7分）
所求函数 （8分）

姓名：准考证号：报考学校 报考专业：

密封线

2007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷

一、 填空题

1. 设，其反函数为 。
2. 设 ，函数的可去间断点为 。
3. 设，则曲线与直线及轴所围图形绕轴旋转所得旋转体的体积为 。
4. 级数收敛的必要条件为 。
5. 确定曲线的垂直渐近线为 ；斜渐近线为 。
6. 广义积分 。
7. 对于，其特解可以假设为 。

二、选择题

1. 曲线的拐点为 （ ）
（A） (B) (C) (D) 无拐点
2. 当时， 是 的（ ）.
同阶但不是等价无穷小 等价无穷小
高阶无穷小 低阶无穷小
3. 若，则（ ）
（A） (B) (C) (D)
4. 对于幂级数，下列说法中正确的为（ ）
(A）当时，发散 (B) 当时，条件收敛
(C) 当时，条件收敛 (D) 当时，绝对收敛
5. 若，分别为非齐次线性方程的解，则为下列方程中（ ）的解：
(A）