中考数学——锐角三角函数及其应用(含5种解题技巧))(含答案).docx

第四章 三角形
第22讲 锐角三角函数及其应用
（思维导图+3考点+2命题点20种题型（含5种解题技巧））

2
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 锐角三角函数
考点二 解直角三角形
考点三 解直角三角形的应用
04题型精研·考向洞悉
命题点一 锐角三角函数
►题型01 理解锐角三角函数的概念
►题型02 求角的三角函数值
►题型03 由三角函数求边长
►题型04 由特殊角的三角函数值求解
►题型05 特殊角三角函数值的混合运算
►题型06 根据特殊角三角函数值求角的度数
►题型07 已知角度比较三角函数值的大小
►题型08 利用同角的三角函数求解
►题型09 利用互余两角的三角函数关系求解
►题型10 三角函数综合
►题型11 在平面直角坐标系中求锐角三角函数值
►题型12 特殊角三角函数值的另类应用
►题型13 在网格中求锐角三角函数值
命题点二 解直角三角形
►题型01 解直角三角形的相关计算
►题型02 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
►题型03 运用解直角三角形的知识解决视角相关问题
►题型04 运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题
►题型05 运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题
►题型06 运用解直角三角形的知识解决实际问题
►题型07 运用解直角三角形的知识解决实际问题（新考法/新情境）

01考情透视·目标导航
中考考点
考查频率
新课标要求
三角函数值的确定
★★
探索并认识锐角三角函数(sin A, cos A，tan A)；
知道30°,45°,60°角的三角函数值；
会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角.
特殊角的三角函数值
★
解直角三角形
★★
能用锐角三角函数解直角三角形.
解直角三角形的应用
★★
能用相关知识解决一些简单的实际问题.
【考情分析】锐角三角函数值的考查多以选择题、填空题为主，解题的一般过程是构造直角三角形，确定相应的边长，利用定义求相应的三角函数值，试题难度中等，解题关键是正确添加辅助线，确定合适的直角三角形.
【命题预测】锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点，其考察内容主要包括：①考查正弦、余弦、正切的定义，②特殊角的三角函数值，③解直角三角形与其应用等. 出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型. 预计2025年各地中考还将以选题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键.

02知识导图·思维引航

03考点突破·考法探究
考点一 锐角三角函数
1.正弦、余弦、正切
正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做
∠A的正弦，记作sin A，即；
余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做
∠A的余弦，记作cos A，即；
正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A，则
【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
2）根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
3）表示，可以写成，不能写成(正弦、余弦相同).
2. 锐角三角函数
锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数．（其中：0＜∠A＜90°）
取值范围：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角边一定比斜边短，故有如下结论：，，.
增减变化：当0°＜∠A＜90°，sin A，tan A随∠A的增大而增大，cos A随∠A的增大而减小.
【补充】利用锐角三角函数值的增减变化规律可比较锐角的大小.
3. 特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示：
三角函数值
特殊角
30°
45°
60°
sin α

cos α

tan α

1

4. 锐角三角函数的关系：
在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系：
1）同角三角函数的关系：
① 平方关系：sin2A+cos2A=1；
② 商数关系：tanA=sinAcosA .
2) 互余两角的三角函数关系：
① 互余关系：
sin A = cos(90°-∠A) = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值.
sin B = sin(90°-∠A) = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.
② 倒数关系：tanA•tanB=1

1．（2024云南真题）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则tanA的值为（    ）
A．45 B．43 C．35 D．34
2．（2023·江苏苏州·一模）化简sin28°−cos28°2等于（    ）
A．sin28°−cos28° B．0
C．cos28°−sin28° D．以上都不对
3．（2023·湖北黄石·中考真题）计算：−13−2+1−20−2cos60°= ．
4．（2023·江苏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D在边AB上，连接CD．若BD=CD，ADBD=13，则tanB= ．

考点二 解直角三角形
1. 解直角三角形
定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B.
2）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）.
3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°.
4）边角之间的关系：sin A = ac ，sin B = bc ，cos A= bc，cos B =ac，tan A = ab，tan B =ba.
【补充】三角函数是连接边与角的桥梁.
5）面积公式（h为斜边上的高）.
2. 解直角三角形的常见类型
已知条件
解法步骤
图示

两
边
斜边和一直角边(如c，a)
由sinA=ac，求∠A，∠B=90°－∠A，

两直角边(如a，b)
由tanA=ab，求∠A，∠B=90°－∠A，

一
边
一
角

斜边和一锐角（如c，∠A）
∠B=90°－∠A ，
一直角边和一锐角（如a，∠A）
∠B=90°－∠A，
另一直角边和一锐角（如b，∠A）
∠B=90°－∠A，
【注意】已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定.
【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三).
【已知一边一角的记忆口诀】有斜求对用正弦，有斜求邻用余弦，无斜求对(邻)用正切.

1．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC=5，sinB=45，则BC的长是（    ）

A．3 B．6 C．8 D．9
2．（2024·四川雅安·中考真题）如图，⊙O的周长为8π，正六边形ABCDEF内接于⊙O．则△OAB的面积为（     ）

A．4 B．43 C．6 D．63
3．（2024·江苏南通·中考真题）若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为 cm．
4．（2023·青海西宁·中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=12，∠A=42°，则BC的长约为 ．（结果精确到0.1．参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
5．（2024·浙江·中考真题）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB=10,AD=6,tan∠ACB=1．

(1)求BC的长；
(2)求sin∠DAE的值．
考点三 解直角三角形的应用
1）仰角、俯角
视角：视线与水平线的夹角叫做视角．
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的.

2）坡度、坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=hl.
坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角.
【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的夹角，坡度(用字母i表示)是比；两者之压间的关系是i=hl，坡角越大，坡度越大.

3）方位角、方向角
方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.

方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°
4）解直角三角形实际应用的一般步骤
①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形.
③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等.

1．（2024·四川·中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．这时，B处距离A处有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

2．（2024·江苏南通·中考真题）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，BC=6m，则旗杆AC的高度为 m．

3．（2023·湖北·中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C=18°，求斜坡AB的长．（结果精确到米）（参考数据：sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32）

04题型精研·考向洞悉
命题点一 锐角三角函数
►题型01 理解锐角三角函数的概念
1．（2024广州市模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（    ）
A．扩大2倍 B．不变 C．缩小12 D．扩大12
2．（2024宣化区一模）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确的是（　　）
A．sinα的值越大，梯子越陡
B．cosα的值越大，梯子越陡
C．tanα的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠α的函数值无关
3．（2022·吉林长春·中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC=α，下列关系式正确的是（    ）

A．sinα=ABBC B．sinα=BCAB C．sinα=ABAC D．sinα=ACAB
►题型02 求角的三角函数值
求锐角的三角函数值时，先确定锐角在哪个直角三角形中,，若已知三边，则直接利用定义求解；如果已知两边，则利用勾股定理求出第三边，然后利用定义求解.
1．（2024·浙江宁波·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanB=43，则sinA的值为（    ）

A．34 B．35 C．45 D．53
2．（2023·四川内江·中考真题）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且满足a2+|c−10|+b−8=12a−36，则sinB的值为 ．
3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别交边AB、CD于点E、F．若AD=8，BE=10，则tan∠ABD= ．

4．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．

(1)求证：FG是⊙O的切线；
(2)若BG=1，BF=3，求CF的长．
5．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC=BC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，交OC于点F，垂足为点E，连接AD、CD，且∠DCA=∠OCA．

(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若CD=6，OF=4，求cos∠DAC的值．
6．（2024·甘肃·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，BC=BD，点E在AD的延长线上，且∠ADC=∠AEB．

(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)当⊙O的半径为2，BC=3时，求tan∠AEB的值．
►题型03 由三角函数求边长
1．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y=kx(x<0)的图像上，顶点B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC=23，则k= ．

2．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BD，CD．

(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若CE=1，sin∠BAD=13，求⊙O的直径．
3．（2022·广西贵港·二模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．

(1)求证：BC是⊙O的切线．
(2)若CF＝2，sinC＝35，求AE的长．
4．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC=10，过点A作AE∥BC，交⊙O的直径BD的延长线于点E，连接CD．

(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)若tan∠ABE=12，求CD和DE的长．
5．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图1，抛物线y=ax2+53x+c经过点3,1，与y轴交于点B0,5，点E为第一象限内抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式．
(2)直线y=23x−4与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线EF⊥x轴，交AD于点F，连接BE．当BE=DF时，求点E的横坐标．
(3)如图2，点N为x轴正半轴上一点，OE与BN交于点M．若OE=BN，tan∠BME=34，求点E的坐标．
►题型04 由特殊角的三角函数值求解
1．（2023·山东日照·模拟预测）在实数2,x0x≠0,cos30°,38,227中，有理数的个数是（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024·湖南·模拟预测）我国是最早使用负数的国家，在数据−sin45°，2，0，+7，−0.5，π中是负数的有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A0,1，B4,1，C5,6，则sin∠BAC=（    ）

A．12 B．135 C．22 D．32
4．（2023·山东青岛·一模）计算：sin30°+3×122= ．
5．（2023·浙江宁波·模拟预测）平面直角坐标系中，点A与点B(cos60°,−3) 关于x轴对称，如果函数y=kx的图象经过点A，那么k= ．
6．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）化简求值： x+1x−3−x−3x+1÷4x−4x−3, 其中x=tan30°−2sin30°.
►题型05 特殊角三角函数值的混合运算
有关特殊角的三角函数值的计算是一类重要题型，解这类问题时，要熟记30°、45°60°角的三种三角函数值，并能准确地把值代入算式，结合实数的运算顺序及运算法则进行相关计算.
1．（2024·湖南长沙·中考真题）计算：(14)−1+−3−2cos30°−π−6.80．
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）计算：−−12−3+tan60°+3−2+(π−2024)0．
3．（2023·四川德阳·中考真题）计算：2cos30°+−12−1+|3−2|+2940+9
►题型06 根据特殊角三角函数值求角的度数
1．（2022·辽宁朝阳·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AD＝23，DC＝43，将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是 ．

2．（2024·湖北·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E在AC上，以CE为直径的⊙O经过AB上的点D，与OB交于点F，且BD=BC．

(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若AD=3，AE=1，求CF的长．
3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD．

(1)试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
(2)已知矩形纸条宽度为2cm，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形ABCD的面积为8cm2，求此时直线AD、CD所夹锐角∠1的度数．
4．（2024·山东烟台·中考真题）如图，正比例函数y=x与反比例函数y=kx的图象交于点A6,a，将正比例函数图象向下平移nn>0个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足BE:CE=3:2．过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线BC与BG关于直线BF成轴对称，连接CG．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)求n的值及△BCG的面积．
►题型07 已知角度比较三角函数值的大小
1．（2020·湖南娄底·中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1=L⋅cosα，阻力臂L2=l⋅cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（    ）

A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定
2．（2023·上海静安·一模）如果0°<∠A<60°，那么sinA与cosA的差（   ）．
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定
3．（21-22九年级上·上海静安·期末）如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（    ）
A．0<sinA<12 B．0<cosA<32
C．33<tanA<1 D．1<cotA<3
4．（2020·四川成都·模拟预测）比较大小：sin54° cos35°（填“<”“>”）．
►题型08 利用同角的三角函数求解
1．（2023·湖南娄底·中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的△ABC的面积为S△ABC=12a2b2−a2+b2−c222．△ABC的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则S△ABC=12absinC=12acsinB=12bcsinA．下列结论中正确的是（    ）
A．cosC=a2+b2−c22ab B．cosC=−a2+b2−c22ab
C．cosC=a2+b2−c22ac D．cosC=a2+b2−c22bc
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（Rt△DAE，Rt△ABF，Rt△BCG，Rt△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，连接BE．设∠BAF=α，∠BEF=β，正方形EFGH和正方形ABCD的面积分别为S1和S2，若α+β=90°，则S2:S1= ．

3．（2024·山东·模拟预测）（1）计算：2sin230°−6tan260°⋅4cos2150°2tan845°+4sin245°⋅3tan230°2sin120°⋅6tan230°；（参考公式：sinα=sin180°−α）
（2）已知a、b是一元二次方程x2+2x−3=0的两个实根，求asin245°+2bcos260°−2的S值．
4．（2024·山西晋城·二模）如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=4，E为BC边上一点，连接DE，过点C作CF⊥DE，垂足为G，交AB边于点F，连接AG．若CE=2，则线段AG的长为 ．

►题型09 利用互余两角的三角函数关系求解
1．（2021·湖南娄底·中考真题）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形ABCD表示一个“鱼骨”，AB平行于车辆前行方向，BE⊥AB,∠CBE=α，过B作AD的垂线，垂足为A'（A点的视觉错觉点），若sinα=0.05,AB=300mm，则AA'= mm．

2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，AB为半圆O的直径，C为AB上一点，连接AC，BC．请用尺规作图法，在直径AB上求作一点D，使：sin∠ACD=cos∠BAC．（保留作图痕迹，不写作法）

3．（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，
sin29°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，
sin37°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，
sin245°+sin245=222+222=1．
据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角α，β，若α+β=90°，均有sin2α+sin2β=1．
(1)当α=30°，β=60°时，验证sin2α+sin2β=1是否成立？
(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示Rt△ABC给予证明，其中∠A所对的边为a，∠B所对的边为b，斜边为c；若不成立，请举出一个反例；

(3)利用上面的证明方法，直接写出tanα与sinα，cosα之间的关系．
►题型10 三角函数综合
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线y=34x上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB的最小值为 ．

2．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和ADE中，AB=AD=3，BC=DE=4，∠ABC=∠ADE=90°．
【初步感知】
（1）如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究BDCE的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，延长ED交AC于点F，求CF的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由．

►题型11 在平面直角坐标系中求锐角三角函数值
1．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）上有一点A−3,m，且与直线y=−2x+4交于另一点Bn,6．

(1)求k与m的值；
(2)过点A作直线l∥x轴与直线y=−2x+4交于点C，求sin∠OCA的值．
2．（2022·辽宁·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A(3,0)和B(−1,0)，交y轴于点C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)D是直线AC上方抛物线上一动点，连接OD交AC于点N，当DNON的值最大时，求点D的坐标；
(3)P为抛物线上一点，连接CP，过点P作PQ⊥CP交抛物线对称轴于点Q，当tan∠PCQ=34时，请直接写出点P的横坐标．
3．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y=ax2−2ax−3aa>0与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．

(1)求线段AB的长；
(2)当a=1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD的值；
(3)延长CD交x轴于点E，当AD=DE时，将△ADB沿DE方向平移得到△A'EB'．将抛物线L平移得到抛物线L'，使得点A'，B'都落在抛物线L'上．试判断抛物线L'与L是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
4．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A，B（A在B的左边），与y轴相交于点C，已知A1,0、B3,0，C0,3，M是y轴上的动点（M位于点C下方），过点M的直线l垂直于y轴，与抛物线相交于两点P、Q（P在Q的左边），与直线BC交于点N．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，四边形PMGH是正方形，连接CP，△PNC的面积为S1，正方形PMGH的面积为S2，求S1S2的取值范围；
(3)如图2，以点O为圆心，OA为半径作⊙O．
①动点F在⊙O上，连接BF、CF，请直接写出BF+13CF的最小值为 ；
②点P是y轴上的一动点，连接PA、PB，当sin∠APB的值最大时，请直接写出P的坐标．
5．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，点O为平面直角坐标系的坐标原点，直线 y=−x+6交x轴于点A，交y轴于点 C，点B在x轴负半轴上，连接BC， tan∠BCO=35．

(1)如图1，求直线BC 的解析式；
(2)如图1，点P在线段OA上，点Q在线段OB上，OQ=3OP，点P的横坐标为t，过点Q作 DQ⊥x轴交BC于点 D，连接DP， △BDP的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不需要写出自变量t的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，过点P作PE⊥PD交AC于点E，过点D作 DF⊥AC于点G，DG交OC于点F，连接DE交y轴于点M，连接PM， tan∠DPM=38，求点 F的坐标．
►题型12 特殊角三角函数值的另类应用
1．（2023·湖南娄底·一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：sinα−β=sinαcosβ−cosαsinβ，sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ，cosα−β=cosαcosβ+sinαsinβ，cosα+β=cosαcosβ−sinαsinβ．例：sin15°=sin45°−30°=sin45°cos30°−cos45°sin30°=6−24．若已知锐角α满足条件sinα=13，则sin2α= ．
2．（2022·黑龙江绥化·中考真题）定义一种运算；sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ．例如：当α=45°，β=30°时，sin45°+30°= 22×32+22×12=6+24，则sin15°的值为 ．
3．（2023·湖南娄底·一模）定义一种运算：cosα+β=cosαcosβ−sinαsinβ，cosa−β=cosαcosβ+sinαsinβ.例如：当α=60°，β=45°时，cos60°−45°=12×22+32×22=2+64，则cos75°的值为(　　)
A．6+24 B．6−24 C．6−22 D．6+22
4．（2023九年级下·全国·专题练习）一般地，当α，β为任意角时，sin(α+β)，sin(α−β)，cos(α+β)与cos(α−β)的值可以用下面的公式求得：
sin(α+β)=sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ；
sin(α−β)=sinα⋅cosβ−cosα⋅sinβ；
cos(α+β)=cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ；
cos(α−β)=cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ．
例如：sin90°=sin(60°+30°)=sin60°×cos30°+cos60°×sin30°=32×32+12×12=1．
类似地，求：
(1)sin15°的值．
(2)cos75°的值．
(3)tan165°的值[提示：对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin(180°−α)，cosα=−cos(180°−a)]．
►题型13 在网格中求锐角三角函数值
1．（2020·湖北荆州·中考真题）如图，在6×6 正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值是（    ）   

A．55 B．255 C．12 D．32
2．（2022·湖北武汉·中考真题）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（    ）

A．13 B．12 C．33 D．32
3．（2021·四川广元·中考真题）如图，在4×4的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在⊙O上，点E是线段CD与⊙O的交点．则∠BAE的正切值为 ．

4．（2024茅箭区二模）如图是由边长为1的小正方形组成的4×4网格，则tan∠BAC= ．

5．（2024·广东·模拟预测）如图，在6×7的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形ABCD的顶点均在网格的格点上．

(1)求sinD的值．
(2)操作与计算：用尺规作图法过点C作CE⊥AD，垂足为E，并直接写出CE的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法）
命题点二 解直角三角形
►题型01 解直角三角形的相关计算
1．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（    ）

A．2 B．2 C．3 D．5
2．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中点，则sin∠EBC的值为（    ）

A．35 B．75 C．2114 D．5714
3．（2024·四川巴中·中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC于点E，延长DE与BC交于点F．若AB=3，BC=4，则点F到BD的距离为 ．

4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD，交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作⊙O的切线交BP于点G．

(1)求证：AG∥CD；
(2)求证：PA2=PG⋅PB；
(3)若sin∠APD=13，PG=6．求tan∠AGB的值．
5．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A4,2在函数y=kxk>0,x>0的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y=kxk>0,x>0的图象交于点C．若BC=5，则点B的坐标是（　　）

A．0,5 B．0,3 C．0,4 D．0,25
►题型02 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
1．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：asinA=bsinB．
证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：在RtΔBCD中， CD=asinB，在RtΔACD中，CD=bsinA∴asinB=bsinA∴ asinA=bsinB，根据上面的材料解决下列问题：

(1)如图2，在ΔABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：bsinB=csinC；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=80米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9)
2．（2022·山东济宁·中考真题）知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵sinA=ac，sinB=bc∴c=asinA，c=bsinB∴asinA=bsinB

(1)拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究asinA，bsinB，csinC之间的关系，并写出探究过程．
(2)解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
3．（2022·江苏苏州·一模）【理解概念】
定义：如果三角形有两个内角的差为90°，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．
(1)已知△ABC是“准直角三角形”，且∠C>90°．
①若∠A=60°，则∠B=______°；
②若∠A=40°，则∠B=______°；
【巩固新知】(2)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，BC=2，点D在AC边上，若△ABD是“准直角三角形”，求CD的长；

【解决问题】(3)如图②，在四边形ABCD中，CD=CB，∠ABD=∠BCD，AB=5，BD=8，且△ABC是“准直角三角形”，求△BCD的面积．

4．（2023·安徽·二模）如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在圆上，AB=10，AC=6，点C、E分别在AB两侧，且E为半圆AB的中点．

(1)求△ABC的面积；
(2)求CE的长．
5（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线W1：y=ax2+bx−2与x轴交于A，D两点，AD=5，点A在直线l：y=12x+12上．

(1)求抛物线W1的解析式；
(2)将抛物线W1沿x轴翻折后得到抛物线W2，W2与直线l交于A，B两点，点P是抛物线W2上A，B之间的一个动点（不与点A、B重合），PM⊥AB于M，PN∥y轴交AB于N，求MN的最大值．
6．（2024·湖北武汉·一模）【问题提出】在等腰△ABC中，AB=AC,BC=4,D为BC中点，以D为顶点作∠ED