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初三数学知识点梳理必考点
必考点
一元二次方程
1、 概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。
2、一般形式：形如2＋＋c = 0（a、b、c是常数，且a≠0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中2、、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b、c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项。

3、一元二次方程的解法
直接开平方法
解为：
解为：
配方法
1）二次项系数是1的一元二次方程的配方.
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
把一个一元二次方程变形为型的方程，就可以用直接开平方法求解。
2）二次项系数不是1的一元二次方程的配方.
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边;
配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
求解:解一元一次方程;
定解:写出原方程的解.
公式法：
一元二次方程，
①当时．方程有两个不相等的实根：

② 当时．方程有两个相等的实根：
③ 当时．方程没有实根。

因式分解法：
提公因式法，完全平方公式，平方差公式，十字相乘法
一、一元二次方程的根的判别式
关于的一元二次方程的根的判别式是：
b2－4 根的判别式性质是：
（1）当b2－4＞0时，该方程有两个不相等实数根；
（2）当b2－4＝0时，该方程有两个相等实数根；
（3）当b2－4＜0时，该方程没有实数根.
（4）当b2－4≥0时，该方程 有两个实数根.
二、一元二次方程的根及系数的关系
韦达定理：如果一元二次方程定的两个根为，那么：

常用变形：， ，
，，
， 等
构造新方程
理论：以两个数为根的一元二次方程是。
1、学会用韦达定理求代数式的值。
2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。
3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。
4、能应用韦达定理分解二次三项式。
知识框图
求代数式的值
求待定系数
一元二次 韦达定理 应用 构造方程
方程的求 解特殊的二元二次方程组
根公式 二次三项式的因式分解

三、一元二次方程的应用

圆
1、圆的有关概念及圆的表示法：
⑴圆心和半径的概念和作用:定点O叫做圆心，圆心确定圆的位置。
⑵线段叫做半径，半径确定圆的大小。
⑶圆的表示法和读法：
2、在平面内，点及圆有哪几种位置关系
点在圆内 点在圆内；_
r
_
d
_
d
_
C
_
B
_
A
_
O

点在圆上 点在圆上；
点在圆外 点在圆外；
3、及圆有关的概念
弦：连接圆上任意两点的线段叫弦
直径 ：经过圆心的弦叫直径。
弧 ：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧
半圆 ：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆。
优弧 ：
劣弧 ：
等弧 ：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆周角：
同心圆 ：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆
等圆：能够互相重合的两个圆叫做等圆
同圆：
4、圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①；②；
③；④ 弧弧

5、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
①是直径 ② ③ ④弧弧
⑤弧弧
以上已知任意2个条件可推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
∴弧弧
6、圆的对称性 圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
圆的对称中心是圆心，对称轴是任意过圆心的一条直线。
7、圆周角定理
1）、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴
2）、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角
∴
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
8、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

9、直线及圆的位置关系
1）直线及圆相离 无交点；
2）直线及圆相切 有一个交点；
3） 直线及圆相交 有两个交点；

10、切线的性质及判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：
∵且过半径外端
∴是⊙的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
11、三角形内切圆
（1）及三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
（2）三角形的内心是三角形角平分线的交点，它到三角形各边的距离相等。
（3）三角形的周长l,为面积为s,内切圆半径为r三者之间关系是1/2
12、切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵、是的两条切线
∴
平分
13、①正多边形
（1）、正多边形的定义
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。如：正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。
（2）、正多边形和圆的关系
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
（3）、正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
（4）、正多边形的半径
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
（5）、正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
（6）、中心角
正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
②正多边形的对称性
（1）、正多边形的轴对称性
正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
（2）、正多边形的中心对称性
边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
（3）、正多边形的画法
先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

14、圆心角为n°的扇形的弧长面积公式
弧长
扇形面积

圆锥侧面积
圆锥全面积
等量关系

锐角三角函数
一、 锐角三角函数（正弦、余弦、正切）
在△中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边及斜边的比叫做∠A的正弦（），记作 A，即。
把∠A的邻边及斜边的比叫做∠A的余弦（），记作 A，即 ；
把∠A的对边及邻边的比叫做∠A的正切（），记作 A，即。
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数（ ）。
当锐角A的大小确定时，∠A的对边及斜边的比（正弦）、∠A的邻边及斜边的比（余弦）、∠A的对边及邻边的比（正切）分别是确定的。
1、公式：。
2、正弦、余弦的增减性：
当0°≤≤90°时，随的增大而增大，随的增大而减小。
3、正切、余切的增减性：
当0°<<90°时，随的增大而增大。
二、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°

0

1

1

0

0

1

-

三、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形。
1、在△中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（以下字母同），则解直角三角形的主要依据是：
（1）边角之间的关系：
＝＝， ＝＝，＝＝，＝＝。
（2）两锐角之间的关系： A＋B＝90°。
（3）勾股定理：直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。 。
2、解直角三角形的基本类型和方法：
已知条件
解法
一边及
一锐角
直角边a及锐角A
B＝90°，b＝a·，
斜边c及锐角A
B＝90°，a＝c·，b＝c·
两边
两条直角边a和b
，B＝90°，
直角边a和斜边c
，B＝90°，
二次函数

1、二次函数概念：一般地，如果2(a、b、c是常数，a≠0),特别注意a不为零，那么y叫做x的二次函数.
其中² 为二次项，为一次项， c为常数项；称a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线及坐标轴的交点：
当抛物线及x轴有两个交点时，描出这两个交点及抛物线及y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线及x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线及y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

2、几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标

当时
开口向上
当时
开口向下
（轴）
（0,0）

（轴）
(0, )

(,0)

(,)

()

3、二次函数的解析式（待定系数法）
（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像及轴的交点坐标、，通常选用交点式：.
4、二次函数的性质
1、二次函数的性质
函数
二次函数

图像
a>0
a<0

y

0 x

y

0 x

性质
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（2）对称轴是，顶点坐标是（，）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增；
（4）抛物线有最低点，当时，y有最小值，
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
（2）对称轴是，顶点坐标是（，）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减；
（4）抛物线有最高点，当时，y有最大值，
2、二次函数中，的含义：
表示开口方向：>0时，抛物线开口向上
<0时，抛物线开口向下
及对称轴有关：对称轴为
表示抛物线及y轴的交点坐标：（0，）

3、抛物线中，的作用
（1）决定开口方向及开口大小，这及中的完全一样.
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
故：①时，对称轴为轴；
②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；
③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.
（3）的大小决定抛物线及轴交点的位置.
当时，，∴抛物线及轴有且只有一个交点（0，）：
①，抛物线经过原点;
②,及轴交于正半轴；
③,及轴交于负半轴.

4、二次函数图象的平移
① 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
② 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

③平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）
特别记忆同左上加 异右下减 (必须理解记忆)
说明① 函数中值同号，图像顶点在y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右
②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减
5、二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。

6、一次函数的图像及二次函数的图像的交点，
由方程组 的解的数目来确定：
①方程组有两组不同的解时及有两个交点;
②方程组只有一组解时及只有一个交点；
③方程组无解时及没有交点.
7、二次函数及一元二次方程的关系
抛物线2及x轴的交点个数可由一元二次方程20的根的情况说明：
（1）当b2－4＞0时，该方程有两个不相等实数根抛物线及x轴有两个交点；
（2）当b2－4＝0时，该方程有两个相等实数根抛物线及x轴有一个交点；
（3）当b2－4＜0时，该方程没有实数根抛物线及x轴没有交点；
（4）当b2－4≥0时，该方程 有两个实数根抛物线及x轴有交点；

8、二次函数的应用★★★★★
（一）运用函数来解决(增长率)的问题：
1、审题
2、构建二次函数的模型：将问题转化为二次函数的一个具体的表达式。
3、求二次函数的最大或最小值
4、求这个函数的最大或最小值。
（二）用二次函数知识解决抛物线形建筑问题
1、审题,弄清已知和未知。
2、将实际问题转化为数学问题。建立适当的平面直角坐标系
3、根据题意找出点的坐标，求出抛物线解析式。分析图象，解决实际问题。
4、得到实际问题答案。
（三）用二次函数知识解决面积、定价、利润问题
1、 首先审清题意
2、 根据题意找到等量关系
3、 列出二次函数表达式
4、 根据二次函数的性质及题目要求把二次函数写成顶点式
5、 依据顶点式写出二次函数的最大值或最小值，以及此时自变量的取值

相似
1．在四条线段a、b、c、d中，若a：b＝c：d，则称a、b、c、d四条线段成．若a：b＝b：c，则线段b叫做线段a和c的比例．
2．比例的性质：
比例的基本性质①：如果a：：d， 那么 = ；
反过来，如果（b≠0，d≠0），那么 = （比的形式），
或 = （分式的形式）。
比例的基本性质②：如果，那么
比例的基本性质③：如果，
在 = 中,我们则把b叫做a及c的比例中项。反之，若线段b为线段a及c的比例中项，则有b2。

2.黄金分割的概念：
如图，点B把线段分成两部分，如果(大段及线段全长的比=小段及大段的比），那么称线段被点B黄金分割。点B为线段的黄金分割点。这个比值约为0.618，称为黄金比。
黄金矩形：黄金矩形的性质:
黄金三角形：黄金三角形的性质：

3.对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．

4．相似三角形的判定方法：
(1)特殊图形“A”型、“X”型、“K”型、双直角三角形．
(2) 两角对应相等．
(3)夹角相等，夹边对应成比例．
(4)三边对应成比例．
(5)直角三角形一条直角边和斜边对应成比例．

5．相似三角形的性质：
(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形的对应边上的高之比、对应中线之比和对应角平分线之比等于相似比．
(3)相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．

6．如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．

7．相似多边形的性质：
(1)相似多边形周长的比等于相似比．
(2)相似多边形对应对角线的比等于相似比．
(3)相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于对应边的比．
(4)相似多边形面积的比等于相似比的平方．

8．位似的定义：
　如果两个图形不仅是相似，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一条直线上，那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．
9．位似的性质：
　 位似图形的对应点和位似中心在在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于位似比；位似多边形的对应边平行或在同一条直线上．

10．平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
统计概率知识点
知识点1、简单的随机抽样
用抽签的办法决定哪些个体进入样本．统计学家们称这种理想的抽样方法为简单的随机抽样．
知识点2、平均数
在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数．
知识点3、中位数
将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数（或正中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．
知识点4、众数
在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数．
知识点5、加权平均数．
在一组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重，每个数乘以它相应的权重后所得的平均数叫做这组数据的加权平均数．
知识点6、极差
一组数据中的最大值减去最小值所得的差称为极差．
知识点7、方差：
我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果通常称为方差．
计算方差的公式：设一组数据是是这组数据的平均数。则这组数据的方差是：

知识点8、标准差：
一组数据的方差的算术平方根，叫做这组数据的标准差．
用公式可表示为：

知识点9、确定事件
那些无需通过实验就能够预先确定它们在每一次实验中都一定会发生的事件称为必然事件．那些在每一次实验中都一定不会发生的事件称为不可能事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件．
知识点10、随机事件
无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件称为不确定事件或随机事件．
知识点11、概率
表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率．
知识点12、概率的理论计算方法有：①树状图法；②列表法．

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