八年级数学经典难题.docx

经典难题〔一〕
1、：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．
求证：CD＝GF．〔初二〕

2、：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝15度
求证：△PBC是正三角形．〔初二〕

3、如图，四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．
求证：四边形A2B2C2D2是正方形．〔初二〕

4、：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．
求证：∠DEN＝∠F．

经典难题〔二〕
1、：△ABC中，H为垂心〔各边高线的交点〕，O为外心，且OM⊥BC于M．
〔1〕求证：AH＝2OM；
〔2〕假设∠BAC＝600，求证：AH＝AO．〔初二〕

2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．
求证：AP＝AQ．〔初二〕

3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，那么由此可得以下命题：
设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．
求证：AP＝AQ．〔初二〕

4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．
求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．〔初二〕

经典难题〔三〕
1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．
求证：CE＝CF．〔初二〕

2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．
求证：AE＝AF．〔初二〕

3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．
求证：PA＝PF．〔初二〕

4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．〔初三〕

经典难题〔四〕
1、：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
求：∠APB的度数．〔初二〕

2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．
求证：∠PAB＝∠PCB．〔初二〕

3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．
〔初三〕

4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且
AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．〔初二〕

经典难题〔五〕
1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：
√3≤L＜2．

2、：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．

3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．

4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80度，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝30度，∠EBA＝20度，求∠BED的度数．

答案
经典难题〔一〕

4.如下列图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。

经典难题〔二〕
1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD，
可得BH=BF,从而可得HD=DF，
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2)连接OB，OC,既得∠BOC=1200，
从而可得∠BOM=600,
所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证。

经典难题〔三〕

4.

证明：作CQ⊥PD于Q，连接EO，EQ，EC，OF，QF，CF，
所以PC2=PQ*PO〔射影定理〕，
又PC2=PE*PF，
所以EFOQ四点共圆，
∠EQF=∠EOF=2∠BAD，
又∠PQE=∠OFE=∠OEF=∠OQF，
而CQ⊥PD，所以∠EQC=∠FQC，因为∠AEC=∠PQC=90°，
故B、E、C、Q四点共圆，
所以∠EBC=∠EQC=1/2∠EQF=1/2∠EQF=∠BAD.
∴CB∥AD，
所以BO=DO，即四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，BC=AD．

经典难题〔四〕

2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC.
可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：
AEBP共圆〔一边所对两角相等〕。
可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。

经典难题〔五〕

2.顺时针旋转△BPC 60度，可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，
即如下列图：可得最小PA+PB+PC=AF。

3.顺时针旋转△ABP 90度，可得如下列图：