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<p>沈文选数学测评题命制研究
数学测评题的命制研究
沈文选（湖南师范大学）
测评既包括测量，又包括评估或评价.
高考是一种重要的教育测评方式，它是一种偏重于考查能力的选拔性测评.由于数学学科的特殊地位，因而数学高考是人们最为关注的一种专业测评.
经过多年的高考实践，现在的高考试题情境新颖，构思独特，设问别致. 这其中包含了命题者的大量心血，但命题者研究设计的路径却隐藏于题外，若解后不注意反思、总结，则很难捕捉高考命题的基本走向，试题考查的深度及广度也不易被发掘，久而久之，只能是广种薄收. 研究高考试题，不仅是命题者的事，也是教师一项常态化的工作，要认真去感知问题的发生、发展过程，明晰问题的来龙去脉，寻求问题的解决方法，探求问题的拓展延伸，揭示问题的本质特征，才能领悟高考命题的意图，向学生讲清楚试题的实质，发挥试题的巨大功能.
一道好题并不在于它的深奥，而在于它的导向和示范作用. 好的高考试题往往不一定都是新题，它往往就来源于教材，既能引导师生重视教材作用和对基本知识的学习，又能让师生意识到仅仅靠题海战和死记硬背是无法在高考中取得高分. “高考指挥棒”在当代中国是客观存在的，高考的导向始终是高中数学教学最关注的问题，无论是从学生学的角度还是从教师教的角度，高考都起到积极的导向作用.
以高考试题为基本素材，对试题进行命制探究、变式拓展和背景解读，实际上就是对高考试题的“二次开发”，为教师的授课提供有益的、切合高三学生学情的案例，其目的就是让高考试题更有利于学生对数学知识的理解和思维的发展. 认真研究高考试题，活化高考试题，进一步开发高考试题，拓展其教育功能，是高考复习的有效途径之一. 高考备考中对高考试题的开发，需要我们建立在对高考试题和教材纵深研究的基础上，善于用联系的观点探究课本题和高考试题的变式，善于在课本题中寻找高考试题的原型，探究高考试题及课本题的结合点，再将这些问题做恰当的分解或整合、延伸或拓展. 教师在课堂上要有意识地引导学生从题目的变化中发现不变的本质，练就一手莫让浮云遮望眼，除尽繁华识真颜的硬本领，避免让学生机械重复地训练，避免让学生思维在低层次之间游走，尽量让学生体会柳暗花明又一村的豁然开朗，经历从苦思不得其解到得来全不费功夫的酣畅淋漓，努力使高三课堂教学丰富、鲜活、高效，精彩纷呈.
下面介绍笔者在《走进教育数学》一书中对测评题的命题研究来探讨对高考试题的命制研究.
测评题的命制，首先在设计理念上，要体现关注教材；要体现测评的主要知识点、基本技能、基本思想方法；要体现从学力上测试评价被测试者；其次，在设计框架结构上要突出其学科的重点及内在联系、全面的能力因素、多元化能力层次结构和合理的难度安排；再次，在设计构思上坚持考查用数学基本方法解决问题，以此强化交汇点的设计，淡化烦琐的运算和冗长的逻辑推理. 在具体制作中，可采取以下方式：源于教材，寻求变化；高于教材，网络交汇；探讨解法，估量效能；探索立意，开发题源；实践检验，评价分析. 下面试举例说明之：
1. 源于教材，寻求变化
原人教版高中数学第二册（上）第130页有一道例题：
如图1，直线及抛物线相交于、两点，求证.
图1
源于教材，寻求变化，这个变，可以是由数字变为字母，可以是由特殊变为一般；所给条件可以强化变，也可以弱化变等. 例如，针对此例，可有如下几种变化：
（1） 变化直线方程这个条件，保持求证结论不变.
显然，直线方程变化为，不能保证结论不变；直线方程变化为，能保证结论不变，那么能使得的直线有何共同点? 于是可得如下问题：
问题1 设、是抛物线上非原点的两动点，若直线过点，求证：.
如果将问题1作为测评题，则可起到检测学习者是否初步学懂此例的作用，因求解方法没有大的改变.
（2） 变化抛物线方程这个条件，保持求证结论不变.
这里，暂不讨论把抛物线变化为椭圆或双曲线，可得如下问题：
问题2 设、是抛物线上非原点的两动点，若直线过定点，求证：.
如果将问题2作为测试题，则不仅可以起到检测学习者是否初步学懂此例的作用，还可起到检测学习者分类讨论思想是否具备. 因为，该问题的证明要分情况讨论：所在直线的斜率存在及不存在.
问题2还可以变化成如下问题：
问题3 设、施抛物线上非原点的两动点，是原点，则的充要条件是所在直线必经过定点.
如果将问题3作为测评题，则可作为阶段综合检测题，因这时还需证明时，直线过定点.
综上，若要将例题变化成综合性的测评题，还需要高于教材.
2. 高于教材，网络交汇
在例题中，，这构成直角三角形. 注意到及直角三角形有关的问题中，有一系列的优美数量、位置关系，这在平面几何中，都有重点的介绍及讨论；又注意到解析几何这门学科的中心内容之一就是求轨迹方程；再根据例题这个背景，可制作出如下问题：
问题4 如图2，设和为抛物线上原点以外的两个动点，已知，，求点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.
如果将问题4作为测评题，则成为2000年春季北京、安徽数学高考试题.
图3
图2
问题5 如图3，过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦，，再以，为邻边作矩形，求点的轨迹方程.
如果将问题5作为测评题，则成为2005年成都市高中毕业班第三次诊断性检测题（理科）.
问题6 如图4，设是一常数，过点的直线及抛物线交于相异的两点、，以线段为直径作圆（为圆心）. 试证抛物线顶点在圆的圆周上；并求圆的面积最小时直线的方程.
图4
如果将问题6作为测评题，则成为2004年全国高考（重庆卷）理科试题.
问题7 过抛物线的顶点引两条互相垂直的动弦和，则三角形面积的最小值为.
如果将问题7作为测评题，则成为1999年全国高中竞赛联赛题.
问题8 已知点和抛物线上两点，使得，求点的横坐标的取值范围.
如果将问题8作为测评题，则成为2002年全国高中竞赛联赛题。
问题9 如图5，、是抛物线上的两点，且（为坐标原点），求中点的轨迹.
如果将问题9作为测评题，则成为2003年上海市高考题.
图6
图5
问题10 如图6，在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足. ①求的重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；②的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
如果将问题10作为测评题，则成为2005年全国高考（广东卷）试题.
3. 探讨解法，估量效能
测评试题命制的成功及否，要从多个方面来评析. 在未测评之前，探讨其解法. 也可以从主观方面估量其效能. 下面仅以问题4为例说明之.
解法1 （根据由课本例题的变化而得到的问题3的结论），时，可知直线恒过定点，设点的坐标为. 因为，所以.
由点斜式求得的方程为，即.
又
，从而.
即
为点的轨迹方程.
此方程表示以为圆心，为半径的圆，但除去点.
估量效能 被测评者若能按上述方法求解，则表明被测评者不仅有学习的积极性和主动性，而且对问题的观察比较敏感，数学思维深刻而活跃.
解法2 令直线的斜率为，则直线的斜率为，即、的方程分别为，.
它们及抛物线方程联立求得，，则直线的方程为
,
即
. ①
直线的方程为
. ②
将①，②联立并看成点的参数方程，消去，即①②得
.
又由式①知点不在点的轨迹上.
故所求点的方程为. （下略）
估量效能 这种求解方法要求被测评者有较灵活地处理问题的能力，特别在联立①及②消去时，要求观察分析能力也比较强.
解法3 可设，，则
. ③
于是的方程为
. ④
直线的方程为
. ⑤
由，有
. ⑥
由④有代入⑤得
. ⑦
又由④有
. ⑧
将⑥、⑧代入⑦得.
又点不满足式⑤，从而为所求点的轨迹方程.（下略）
估量效能 被测试者按这种解法做，③~⑥比较容易得到，但要得到⑦、⑧，思维要灵活、思路要开阔，还要注意的整体代换，不被中的所迷惑，适当的“退却”，是为了更大突破. 这要求被测试者有较强综合能力.
解法4 设，则，将所在的方程及抛物线方程联立消去得
从而，又，则
即
⑨
由，有
⑩
将⑨代入⑩得，即得. （下略）
估量效能 此种解法得到式⑩很容易，但要从式⑩中消去不很容易，要得到⑨也要费一番周折. 这就要求被测评者思维灵活，并善于考虑：涉及直线及圆锥曲线问题时，常利用方程组得一个一元二次方程，并利用韦达定理（根及系数的关系）解题.
解法5 设，则，则的方程为
.
令，解得，即直线过定点.
此时，若设，则由得
（下略）
估量效能 这及解法1思路相同，对比解法1要求被测试者对问题的观察更敏锐，有更强的探索能力. 这种解法最简捷，这儿有无限风光在险峰之感.
解法6 设，直线的方程设为，它及抛物线方程联立消去得
又设，则
从而
⑪
又由，有，即
⑫
由⑪及⑫有
. ⑬
如何消去式⑬中的，可有如下两种办法：
其一，将的方程变为
，
易知过定点，而得.
再由，即得.
其二，设法表达，由，有，而. 将这两者代入直线方程中，得. 化简得. （下略）
估量效能 这种解法除要求被测评者思维开阔灵活外，还要求被测评者有锲而不舍的精神.
解法7 设，则.
由，有
.
又
⑭
及
（其中设）
（因）
（因） ⑮
由⑭、⑮有
. 且，，
故为所求方程. （下略）
估量效能 此种解法要求被测评者综合能力及代数恒等变形能力较强.
4. 探索立意，开发题源
测评题的命制是有考查目标的，考查目标确立了测评题命制的立意，立意包括知识立意和能力立意. 知识立意主要考查对基础知识和基本方法的掌握维度，能力立意是考查在能力方面的考查目的. 对于课本中的同一道例（习）题，由于立意不同，可以命题出各种类型，各种形式的测评题出来，下面，仅以问题6说明之.
（1） 若直接利用问题6，考查核心概念的理解，则可命制：
问题11 以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）
（2010年高考福建卷理科题）
问题12 已知抛物线的准线及圆相切，则的值为（ ）
（2010年高考陕西卷理科题）
问题13 设为抛物线的焦点，点在抛物线上.若，则（ ）
（2007年高考全国卷卷理科题）
（2） 若变换条件，考查基本数学思想方法，则可命制
问题14 已知以为焦点的抛物线上的两个点满足，则弦的中点到准线的距离是 （2010年高考重庆卷理科题）
问题15 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（ ）
（2007年高考宁夏卷理科题）
（3） 若逆向思考，考查通性通法，则可命制
问题16 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于点. 若线段的长为8，则 （2009年高考福建卷理科题）
问题17 过抛物线的焦点作一条直线及抛物线交于点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）
有且仅有1条 有且仅有2条 有无穷多条 不存在
（2005年高考上海卷理科题）
（4） 若变换设向，考查探究创新能力，则可命制
问题18 已知是抛物线的焦点，过点且斜率为1的直线交于点，设，则及的比值等于 （2008年高考全国卷理科题）
问题19 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，及抛物线分别交于点（在轴左侧），则 （2008年高考全国卷理科题）
问题20 已知直线及抛物线相交于，点为的焦点，若，则 （2009年高考全国卷理科题）
问题21 已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线及相交于点，及抛物线的一个交点为，若，则
（2010年高考全国卷理科题）
问题22 过抛物线的焦点作斜率为1的直线及该抛物线交于点，点在轴上的正射影分别为，若梯形的面积为，则
（2010年高考湖南卷理科题）
（5） 若变换素材，考查类比迁移能力，则可命制
问题23 已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线及相交于点，若，则（ ）
（2010年高考全国卷理科题）
问题24 已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则椭圆的离心率为 （2010年高考全国卷理科题）
问题25 设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若，则点的坐标是 （2011年高考浙江卷理科题）
（6） 若勾通联系，考查综合解题能力，则可命制
问题26 已知抛物线的焦点，过点的直线及相交于点，点关于轴的对称点为.
（1） 证明：点在直线上；
（2） 设，求的内切圆的方程.
（2010年高考全国卷理科题）
问题27 已知是非零实数，抛物线的焦点在直线上.
（1） 若，求抛物线的方程；
（2） 设直线及抛物线交于点，的重心分别为.求证：对任意非零实数，抛物线的准线及轴的交点在以线段为直径的圆外.
（2010年高考浙江卷理科题）
5.实践检验，评价分析
评价数学测试题，常从命制立意，试题的解法，试题的背景，试题的变化，试题的导向等几个方面进行. 一道成功的数学测评题，应经得起实践的检验. 首先测评被测评者的知识和能力是无法截然分开的，一个人如果少闻寡见，知识贫乏，那么他的办事能力决然不可能高到哪里去，但是也不能说，知识多了，能力也就必定强. 这时还得看他所掌握的知识是活知识，还是死知识，看他遇到问题时会不会用他所掌握的知识对问题进行具体有效的分析，并从中找到解决问题的办法. 找到了，把事件办好了，就是能力强的反映；找不到，不能把事情办好，表面他的能力也就差一些. 因此，数学测量题制作的知识及能力并重指导思想是理所当然的.
其次，要看测评效应，要能较好的发挥测评功能. 一方面，要听各方面人士的反响意见；另一方面，要运用测量学的有关理论，进行效度、信度、难度、区分度等方面的数据分析.除此之外，还要看能否起到良好的启示及导向作用. 例如，对于问题4，对它就有较好的评价：“此题具有较高的思维价值，是高考命题的方向之一.”（王承宣，2003）
再次，对测评问题的数学本原或背景可否深入探寻进行评价分析.
通过对这个基本条件的分析，探寻其数学本原，可得如下一系列结论：
结论1 设直线及椭圆相交于两点，则的充要条件是椭圆中心到直线的距离为.
结论2 设直线及双曲线相交于两点，则当，的充要条件是双曲线中心到直线的距离；当，不可能有.
结论3 设是抛物线上一定点，是抛物线上两点，且，则过点.
结论4 若抛物线的内接三角形的两边所在的直线的斜率之积为定值，则另一边所在的直线恒过定点.
结论5 设是椭圆上一定点，是椭圆上两点且，则恒过定点.
结论6 设是双曲线上一定点，是双曲线上两点，若，则恒过定点.
结论7 直线及抛物线交于两点，当（为坐标原点）时，作于，则点的轨迹是一个圆（去掉原点），轨迹方程为.
结论8 直线及椭圆交于两点，若（为坐标原点），作于，则点的轨迹是一个以为圆心，以为半径的一个圆，轨迹方程为.
结论9 直线及双曲线交两点，若（为坐标原点），作于，则点的轨迹是一个以为圆心，以为半径的圆，轨迹方程为，否则不可能有）.
这后几个结论说明了，当圆锥曲线的弦张直角时直线过定点，且弦上高的垂足的轨迹是圆.
结论10 设直线及抛物线相交于两点，又设是抛物线上不同于的一定点. 若直线的斜率存在且分别记为，则对于非零常数，有
(1) 直线过定点;
(2) 直线过定点.
结论11 设直线及椭圆相交于两点，又设是椭圆上不同于的一定点.若直线的斜率存在且分别记为，则对于非零常数，有
(1) 当时,直线过定点;
(2) 直线过定点.
结论12 设直线及双曲线相交于两点，又设是双曲线上不同于的一定点. 若直线的斜率存在且分别记为，则对于非零常数，有
(1) 当时,直线过定点;
(2) 直线过定点.
以上述结论为背景，又可以编造出如下测评问题：
问题28 过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于.
(1) 求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点的距离；
(2) 当及的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线的
斜率是非零常数. （2004年高考北京卷题）
问题29 是抛物线上的一点，动弦分别交轴于两点，且.
(1) 若为定点，证明：直线的斜率为定值；
(2) 若为动点，且，求的重心的轨迹.
（2005年高考江西卷题）
问题30 双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于两点，若，，求双曲线的方程.
（1991年全国高考题）
问题31 椭圆的中心是原点，它的短轴长是，相应于焦点的准线及轴相交于点，，过点的直线及椭圆相交于两点.
(1) 求椭圆的方程及离心率；
(2) 若，求直线的方程. （2004年高考天津卷题）
问题32 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到的焦点的距离的最大值是3，最小值是1.
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 若直线及椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以
为直径的圆过椭圆的右顶点. 求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
（2007年高考山东卷题）
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