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《有理数》章节知识点归纳总结定稿
有理数章节知识点归纳总结

一、基本运算和基本概念
本身之迷
① 倒数是它本身的数是±
② 绝对值是它本身的数是非负数（正数和）
③平方等于它本身的数是，
④立方等于经本身的数是±，
⑤偶数次幂等于本身的数是、
⑥奇数次幂等于本身的数是±，
⑦相反数是它本身的数是
数之最
①最小的正整数是 ②最大的负整数是 ③绝对值最小的数是 ④平方最小的数是
⑤最小的非负数是 ⑥最大的非正数
⑦没有最大和最小的有理数
⑧没有最大的正数和最小的负数

例、填空：
①两个互为相反数的数的和是；
②及它绝对值的差为；
③ 两个互为相反数的数的商是；(除外)
④ 的倒数等于它本身；
⑤的绝对值及它本身互为相反数；
⑥ 的平方及它的立方互为相反数；
⑦ 的倒数及它的平方相等；
⑧的平方是，的绝对值是；

、（）、 ，
（）、，
（）、， （）、，
（）、， （）、，
（）、， （）、，
（）、， （）、，
（）、， （）、，
（）、， （）、，
（）、，（）、，
（）、， （）、，
（）、，
（）、。

（）、 （）、

（）、 （）、

（）、 （ ）、

（）、 （）、

（ ） ( )＝，

（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
、下面有四种说法，其中正确的是 （ ）
.一个有理数奇次幂为负，偶次幂为正
.三数之积为正，则三数一定都是正数
.两个有理数的加、减、乘、除（除数不为零）、乘方结果仍是有理数
.一个数倒数的相反数，及它相反数的倒数不相等

、下列判断错误的是 （ ）
（）任何数的绝对值一定是正数；
（）一个负数的绝对值一定是正数；
（）一个正数的绝对值一定是正数；
（）任何数的绝对值都不是负数；

、下列四个命题：（）任何有理数都有相反数；（）一个有理数和它的相反数之间至少还有一个有理数；（）任何有理数都有倒数；（）一个有理数如果有倒数，则它们之间至少还有一个有理数；（）数轴上点都表示有理数；（）任何一个有理数的平方必是正数。上述命题中，说法正确的是 ；

、是最小的正整数，是最大的负整数的相反数，是到数轴上距原点的距离最小的数，求的值

、下列各数对中，数值相等的是（ ）
、及 、—及（—）
、—及（—） 、×及（×）
、按照下面所示的操作步骤，若输入的值为－，则输出的值为
输入
平方
乘以
减去
输出

、已知依据上述规律，则 ．
、定义，则．

、规定，求的值。

、用“”定义新运算：对于任意实数，，都有。例如，，求的值及当为有理数时，（）的值。

、现规定一种运算“*”，对于、两数有：,试计算的值。

、用“”、“”定义新运算：对于任意实数，，都有和，例如，。则（）（）。

二、数的分类
1、 把下列各数填在相应的括号内：，，，， ， ，
正数集合{ }；
负数集合{ }；
整数集合{ }；
正分数集合{ }；
负分数集合{ }；
2、 下列各数中：，－，，， ，， ，，，，－，，－，－，。
正整数是{ }
正分数是{ }
负整数是{ }
负分数是{ }
正数是{ }
负数是{ }
三、非负性
、已知，求的值。

、若,
求的值.

3、 如果，
求的值．

、已知及互为相反数，求的值。

四、绝对值的化简
、若—，则
若，则,
若—，则，
若—，则
、为数轴上表示的点，将点沿数轴向左移动个单位长度到点，则点所表示的数为
、及原点的距离是个单位长度的点有个，它们分别表示的有理数是和；
、绝对值小于的所有整数之和是
绝对值大于而小于的所有整数有
他们和为 ，积为 ．

、已知两个有理数，如果＜，且＜，那么（ ）
、＞，＞
、＜，＞
、异号
、异号，且负数的绝对值较大
、若∣∣，则的值是( )
. . .
、如果及互为相反数，则等于（ ）
． ． ． ．
、如果，下列成立的是（ ）
． ． ． ．
、比－大，而比小的整数的个数是（ ）
.
、若为有理数，则必是 （ ）
、非正数 、非负数
、 、正数
、下列各语句中正确的是（ ）
、若>，则是正数 、若<，则
、若，则 、若，则
、如果一个数的平方等于它的绝对值，那么这个数是（ ）
、－ 、
、 、－，，
、若，且

、已知︱︱,︱︱,且︱︱ (),试求的值。

、已知，，求的值。

、已知且＞＞，求＋＋的值。

、若
则。

、若，求（）的值；
（） 若＜，求—；
（） 若 — —，求—的值；
（） 若＞， — —，求—的值

、实数、、在数轴上的位置如图：
化简－－－

五、实际问题的应用
、某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为（±），（±.），（±）的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（ ）
．0.8kg ．0.6kg ．0.5kg ．0.4kg
、年月第届奥运会将在北京开幕，个城市的国标标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么北京时间年月日时应是（　　 ）
．伦敦时间年月日时
．巴黎时间年月日时
．纽约时间年月日时
．汉城时间年月日时
北京
汉城
巴黎
伦敦
纽约

：日最高股价
：日最低股价
股价（元）
星期

二
四
一
三
五

、如图是某只股票从星期一至星期五每天的最高股价及最低股价的折线统计图，则这五天中最高股价及最低股价之差最大的一天是（ ）
.星期二 .星期三 .星期四 .星期五．

、小明业余时间进行飞镖训练，上周日训练的平均成绩是环，而这一周训练的平均成绩变化如下表：正号表示比前一天提高，负号表示比前一天下降

（）问本周哪一天的平均成绩最高，它是多少环？
（）问本周哪一天的平均成绩最低，它是多少环？
（）本周日的成绩和上周日的成绩比是提高了，还是下降了，其变动的环数是多少？

、某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：、 、 、 、 、 、 、、 、 。
（）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？
（）若每千米的价格为元，司机一个下午的营业额是多少？

、冷库的室温为2℃，现存入一批食物冷冻，必须使室温保持在-22℃，若冷冻每小时使室温下降5℃，经过多少小时，就可以使冷库达到-22℃的冷冻室温？

、已知某零件的标准直径是，超过规定直径长度的数量（单位：）记作正数，不足规定直径长度的数量（单位：）记作负数，检验员某次抽查了件样品，检查的结果如下表：
序号

直径长度（）

（）试指出哪件样品的大小最符合要求；
（）如果规定偏差的绝对值在之内是正品，偏差的绝对值在，—之间是次品，偏差绝对值查过是废品，那么上述件样品中，哪些是正品，哪些是次品，哪些是废品？

、红星队在场足球赛中的成绩是：第一场：胜，第二场：负，第三场：平，第四场：负。红星队在场比赛中总的净胜球数是多少？

、某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：
及标准质量的差值
（单位：）

袋 数

这批样品的平均质量比标准质量多还是少？多或少几克？若每袋标准质量为克，则抽样检测的总质量是多少？

、袋小麦以每袋千克为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，分别记为：，，，，，，，，，及标准重量相比较，袋小麦总计超过或不足多少千克？袋小麦总重量是多少千克？每袋小麦的平均重量是多少千克？

日期
日
日
日
日
日
日
日
人数变化

－
－

－
、十·一”黄金周期间,省城逍遥津公园风景区在天假期中每天旅游的人数变化如下表(正数表示比前一天多的人数,负数表示比前一天少的人数): (单位:万人)
() 若月日的游客人数记为万,月日的游客人数是多少?
() 请判断天内游客人数最多的是哪天?最少的是哪天?他们相差多少万人?
() 求这一次黄金周期间游客在该地总人数.

六、科学计数法
、据《中国经济周刊》报道，上海世博会第四轮环保活动投资总金额高达亿元，其中亿用科学记数法表示为（ ）
、 、 、 、
、为了响应中央号召，今年我市加大财政支农力度，全市农业支出累计达到 元，其中 元用科学记数法可表示为（　　）（保留三位有效数字）．
．×元 ．×元 ．× 元 ．×元
、光的传播速度约为 ，太阳光照射到地球上大约需要，则太阳到地球的距离用科学记数法可表示为（ ）
（） （）
（） （）
、据统计，年嘉兴市人均约为×元，比上年增长，其中，近似数×有个有效数字．
、温家宝总理有句名言：多么小的问题乘以亿，都会变得很大；多么大的经济总量，除以亿都会变得很小．将 用科学记数法表示为 ．

七、近似数
、用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（ ）
．（精确到）
．（精确到百分位）
．（保留两个有效数字）
．（精确到）
、近似数×精确到位,有个有效数字．
、列各个数据中，哪些数是准确数?哪些是近似数?
()小琳称得体重为千克；
()现在的气温是－2℃；
()1m等于100cm；
()东风汽车厂年生产汽车辆.

、()近似数. 万精确到，有个有效数字，分别是
()近似数. 精确到，有个有效数字，分别是
()近似数. 精确到，有个有效数字，分别是

、用四舍五入法，将下列各数按括号中的要求取近似数.
() (精确到)；
() (精确到个位)；
() (精确到百位)；
() (保留个有效数字)；
() (保留个有效数字).

、下列说法正确的是（ ）
、近似数及的精确度相同
、近似数及的有效数字相同
、近似数万及近似数的精确度相同
、近似数有个有效数字
八、字母运算中符号的确定
、有理数、在数轴上的位置如图所示，则的值（ ）
．大于 ．小于 ．小于 ．大于
、如果<，那么下列判断正确的是( )
．<，< ．>，>
．≥，≤ ．<，>或>，<
、已知，其中有三个负数，则（ ）
．大于 ．小于
．大于或等于 ．小于或等于
、若，其、、（ ）
．都大于 ．都小于
．至少有一个大于 ．至少有一个小于
、如果两个数的积为负数，和也为负数，那么这两个数( )
() 都是负数 　 () 都是正数 　
() 一正一负，且负数的绝对值大
() 一正一负，且正数的绝对值大
、两个不为零的有理数相除,如果交换被除数及除数的位置而商不变,这两个数一定是 ( )
() 相等 () 互为相反数
() 互为倒数 () 相等或互为相反数
、下列结论错误的是（ ）
、若异号，则＜，＜
、若同号，则＞，＞
、
、
九、相反数、倒数、绝对值的应用
、已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为．试求下式的值：

、若，互为相反数，则││．

、如果、互为倒数，、互为相反数，且，则代数式（）。

、已知、互为相反数，、互为倒数， 绝对值为，求的值

、若正数的倒数等于其本身，负数的绝对值等于 ，且，，求代数式的值。

、及互为相反数，及相乘的积是最大的负整数，及的和等于，则
的值是多少？

、若互为相反数，互为倒数，的绝对值是，求的值。

十、四则混合运算
、考查乘法分配律的应用
（）

（）

（）

（）

、乘法交换律的应用
（）

（）（）（）×÷×（）

（）

4、 运算顺序的应用
（）

（）十×(－)＋(－)÷(－)

（）

（）

（） [（×）÷（）]

（）

（）

（）

（）

（）

十一、乘方运算的实际运用
、有一张纸的厚度为0.1mm,若将它连续对折次后,它的厚度为 .
、有一块面积是平方米的木板，第一次截掉一半，第二次截掉剩下的一半，…如此截下去，截第五次后剩下的木板面积是多少？

、米长的小棒，第次截止一半，第次截去剩下的一半，如此下去，第次后剩下的小棒长为（ ）
、 、 、 、
、细菌繁殖，细胞分裂，马峰窝，树干分叉，枝条上的树叶，种族繁衍，蝴蝶效应，折纸

十二、找数的规律
、已知，且为互不相等的整数，则

、按规律排列的数：，……，则第个数是

、探索规律：①，个位数字是；②;个位数字是；③ ,个位数字是；④, 个位数字是；⑤, 个位数字是；⑥, 个位数字是； 的个位数字是
；……；的个位数字是 。

、是不为的有理数，我们把称为的差倒数．如：的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则 ．
、已知：若（均为整数）则

、观察下列等式，你会发现什么规律：，，，。。。请将你发现的规律用只含一个字母（为正整数）的等式表示出来 。
、观察数表

根据其中的规律，在数表中的方框内填入适当的数.

十三、比较大小

比较下列各对数的大小．
（）及
（）及
（）及
（）及
（）
（）
（）（）＿＿＿（）；＿＿＿； ＿＿＿； ＿＿＿（）

十四、运算技巧的考查
;

如果有理数满足∣－∣(－)，试求…的值。

＋2-3-4＋＋…＋＋

已知…×，求…的值。

例、阅读下列材料

根据以上信息，求出下式的结果。

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