线性代数矩阵的初等变换.pptx

第三章第三章 矩矩阵的初等的初等变换与与线性方程性方程组知知识点回点回顾：克拉默法：克拉默法则结论结论 1 1 如如果线性方程组果线性方程组(1)(1)的系数行列式不等于零，则的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解该线性方程组一定有解,而且解是唯一的而且解是唯一的.（P.22定理定理3）结论结论 1如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零系数行列式必为零.设设用克拉默法则解线性方程组的两个条件：用克拉默法则解线性方程组的两个条件：(1)(1)方程个数等于未知量个数；方程个数等于未知量个数；(2)(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零.线性方程组的线性方程组的解受哪些因素解受哪些因素的影响？的影响？1 1 矩矩阵的初等的初等变换例例1：求解线性方程组求解线性方程组一、消元法解一、消元法解线性方程性方程组三种变换：三种变换：交换方程的次序，记作交换方程的次序，记作 ；以非零常数以非零常数 k 乘某个方程，记作乘某个方程，记作 ；一个方程加上另一个方程的一个方程加上另一个方程的 k 倍，记作倍，记作 .其逆变换是：其逆变换是：结论：结论：1.由于对原线性方程组施行的变由于对原线性方程组施行的变换是可逆变换，因此变换前后换是可逆变换，因此变换前后的方程组同解的方程组同解.2.2.在上述变换过程中，实际上只在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算算，未知数并未参与运算iji k i k jiji k i+k jijik ik j定义：定义：下列三种变换称为矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换：对调两行，记作对调两行，记作 ；以非零常数以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作乘某一行的所有元素，记作 ；某一行加上另一行的某一行加上另一行的 k 倍，记作倍，记作 .其逆变换是：其逆变换是：把定义中的把定义中的“行行”换成换成“列列”，就得到矩阵的，就得到矩阵的初等列变换初等列变换的定的定义义 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换初等变换 初等变换初等变换初等行变换初等行变换初等列变换初等列变换增广矩增广矩阵阵结论：结论：对原线性方程组施行的变换可以对原线性方程组施行的变换可以转化为对增广矩阵的变换转化为对增广矩阵的变换.备注注n带有运算符的矩有运算符的矩阵运算，用运算，用“=”例如：例如：矩矩阵加法加法数乘矩数乘矩阵、矩、矩阵乘法乘法矩矩阵的的转置置 T（上（上标）方方阵的行列式的行列式|n不不带运算符的矩运算符的矩阵运算，用运算，用“”例如：例如：初等行初等行变换初等列初等列变换有限次初等行变换有限次初等行变换有限次初等列变换有限次初等列变换行等价行等价，记作，记作 列等价列等价，记作，记作 二、矩二、矩阵的初等的初等变换有限次初等变换有限次初等变换矩阵矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 等价等价，记作，记作矩阵之间的等价关系具有下列性质：矩阵之间的等价关系具有下列性质：反身性反身性 ；对称性对称性 若若 ，则，则 ；传递性传递性 若若 ，则，则 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵：1.可画出一条阶梯线，线的下可画出一条阶梯线，线的下方全为零；方全为零；2.每个台阶只有一行；每个台阶只有一行；3.阶梯线的竖线后面是非零行阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素的第一个非零元素.行最简形矩阵行最简形矩阵：4.非零行的第一个非零元为非零行的第一个非零元为1;5.这些非零元所在的列的其它这些非零元所在的列的其它元素都为零元素都为零.行最简形矩阵行最简形矩阵：4.非零行的第一个非零元为非零行的第一个非零元为1;5.这些非零元所在的列的其它这些非零元所在的列的其它元素都为零元素都为零.标准形矩阵标准形矩阵：6.左上角是一个单位矩阵，其左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零它元素全为零.行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵由标准形矩阵由m、n、r三个参三个参数完全确定，其中数完全确定，其中 r 就是行阶就是行阶梯形矩阵中非零行的行数梯形矩阵中非零行的行数.行最简形矩阵行最简形矩阵标准形矩阵标准形矩阵三者之间的包含关系三者之间的包含关系 任何矩阵任何矩阵行最简形矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换有限次初等行变换 有限次初等列变换有限次初等列变换 有限次初等变换有限次初等变换 结论结论有限次初等行变换有限次初等行变换 定义：定义：n阶单位矩阵阶单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方阵称为经过一次初等变换得到的方阵称为初等方阵初等方阵.三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵.(1)(1)对调单位阵的两行（列）；对调单位阵的两行（列）；(2)(2)以常数以常数 k0 乘单位阵的某一乘单位阵的某一 行（列）；行（列）；(3)(3)以以 k 乘单位阵单位阵的某一乘单位阵单位阵的某一 行（列）加到另一行（列）加到另一 行（列）行（列）三、初等方三、初等方阵(1)(1)对调单位阵的第对调单位阵的第 i,j 行（列），行（列），记作记作 E5(3,5)记作记作 Em(i,j)(2)(2)以常数以常数 k0 乘单位阵第乘单位阵第 i 行（列），行（列），记作记作 E5(3(k)记作记作 Em(i(k)(3)(3)以以 k 乘单位阵乘单位阵第第 j 行行加到加到第第 i 行行,记作记作 E5(35(k)记作记作 Em(ij(k)以以 k 乘单位阵乘单位阵第第 i 列列加到加到第第 j 列列?两种理解！两种理解！结论结论把矩阵把矩阵A的第的第 i 行与第行与第 j 行对调，即行对调，即 .把矩阵把矩阵A的第的第 i 列与第列与第 j 列对调，即列对调，即 .以非零常数以非零常数 k 乘矩阵乘矩阵A的第的第 i 行，即行，即 .以非零常数以非零常数 k 乘矩阵乘矩阵A的第的第 i 列，即列，即 .把矩阵把矩阵A第第 j 行的行的 k 倍加到第倍加到第 i 行，即行，即 .把矩阵把矩阵A第第 i 列的列的 k 倍加到第倍加到第 j 列，即列，即 .定理定理3.2 设设A是一个是一个 mn 矩阵，矩阵，对对 A 施行一次施行一次初等行变换初等行变换，相当于在，相当于在 A 的左边的左边乘以相应的乘以相应的 m 阶初等矩阵；阶初等矩阵；对对 A 施行一次施行一次初等列变换初等列变换，相当于在，相当于在 A 的右边的右边乘以相应的乘以相应的 n 阶初等矩阵阶初等矩阵.口诀：左行右列口诀：左行右列.定理定理3.3 方阵方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2,Pl，使，使 A=P1 P2,Pl 这表明，可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵这表明，可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵.其实，可逆矩阵的其实，可逆矩阵的行最简形矩阵也是单位阵行最简形矩阵也是单位阵推论推论2 方阵方阵 A 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 .推论推论1 方阵方阵 A 与与 B 等价的充要条件是存在等价的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P 及及 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 Q，使，使 PAQ=B.解解例例3 3即即初等行变换初等行变换例例4 4解解列变换列变换行变换行变换2 矩矩阵的秩的秩一、矩一、矩阵秩的定秩的定义定定义：在在 mn 矩矩阵 A 中，任取中，任取 k 行行 k 列列(k m，kn)，位于位于这些行列交叉些行列交叉处的的 k2 个元素，不改个元素，不改变它它们在在 A中所中所处的位置次序而得的的位置次序而得的 k 阶行列式，称行列式，称为矩矩阵 A 的的 k 阶子式子式显然，显然，mn 矩阵矩阵 A 的的 k 阶子式共有阶子式共有 个个概念辨析：概念辨析：k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式与元素与元素a12相对应的相对应的余子式余子式相应的相应的代数余子式代数余子式矩阵矩阵 A 的一个的一个 2 阶子块阶子块矩阵矩阵 A 的一个的一个 2 阶子式阶子式定定义：设矩矩阵 A 中有一个不等于零的中有一个不等于零的 r 阶子式子式 D，且所有，且所有r+1 阶子式（如果存在的子式（如果存在的话）全等于零，那么）全等于零，那么 D 称称为矩矩阵A 的的最高最高阶非零子式非零子式，数，数 r 称称为矩矩阵 A 的秩的秩，记作作 R(A)规定：规定：零矩阵的秩等于零零矩阵的秩等于零矩阵矩阵 A 的一个的一个 3 阶子式阶子式矩阵矩阵 A 的的 2 阶子式阶子式 如果矩阵如果矩阵 A 中所有中所有 2 阶子式都等于零，那么这个阶子式都等于零，那么这个 3 阶子式也阶子式也等于零等于零 定定义：设矩矩阵 A 中有一个不等于零的中有一个不等于零的 r 阶子式子式 D，且所有，且所有r+1 阶子式（如果存在的子式（如果存在的话）全等于零，那么）全等于零，那么 D 称称为矩矩阵A 的的最高最高阶非零子式非零子式，数，数 r 称称为矩矩阵 A 的秩的秩，记作作 R(A)l根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵 A 中任何一个中任何一个 r+2 阶子式（如果存在的话）都可以用阶子式（如果存在的话）都可以用 r+1 阶子式来表示阶子式来表示l如果矩阵如果矩阵 A 中所有中所有 r+1 阶子式都等于零，那么所有阶子式都等于零，那么所有 r+2阶子式也都等于零阶子式也都等于零 l事实上，所有高于事实上，所有高于 r+1 阶的子式（如果存在的话）也都等阶的子式（如果存在的话）也都等于零于零 因此矩阵因此矩阵 A 的秩就是的秩就是 A 中非零子式的最高阶数中非零子式的最高阶数规定：规定：零矩阵的秩等于零零矩阵的秩等于零矩阵矩阵 A 的秩就是的秩就是 A 中非零子式的最高阶数中非零子式的最高阶数 显然，显然，n若矩阵若矩阵 A 中有某个中有某个 s 阶子式不等于零，则阶子式不等于零，则 R(A)s；若矩阵若矩阵 A 中所有中所有 t 阶子式等于零，则阶子式等于零，则 R(A)t n若若 A 为为 n 阶矩阵，则阶矩阵，则 A 的的 n 阶子式只有一个，即阶子式只有一个，即|A|当当|A|0 时，时，R(A)=n;可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵满秩矩阵当当|A|=0 时，时，R(A)n;不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵降秩矩阵n若若 A 为为 mn 矩阵，则矩阵，则 0R(A)min(m,n)nR(AT)=R(A)矩阵矩阵 A 的一个的一个 2 阶子式阶子式矩阵矩阵 AT 的一个的一个 2 阶子式阶子式AT 的子式与的子式与 A 的子式对应相等，从而的子式对应相等，从而 R(AT)=R(A)例：例：求矩阵求矩阵 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中解：解：在在 A 中，中，2 阶子式阶子式 A 的的 3 阶子式只有一个，即阶子式只有一个，即|A|，而且，而且|A|=0，因此，因此 R(A)=2 例：例：求矩阵求矩阵 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中解（续）：解（续）：B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有是一个行阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，因此行，因此其其 4 阶子式全为零阶子式全为零以非零行的第一个非零元为对角元的以非零行的第一个非零元为对角元的 3 阶子式阶子式，因此，因此 R(B)=3 还存在其还存在其它它3 阶非零阶非零子式吗？子式吗？例：例：求矩阵求矩阵 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中解（续）：解（续）：B 还有其它还有其它 3 阶非零子式，例如阶非零子式，例如结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数二、矩二、矩阵的秩的的秩的计算算例：例：求求矩阵矩阵 A 的秩，其中的秩，其中 分析：分析：在在 A 中，中，2 阶子式阶子式 A 的的 3 阶子式共有阶子式共有 (个个)，要从要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的.行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵.两个等价的矩阵的秩是否相等？两个等价的矩阵的秩是否相等？定理：定理：若若 A B，则，则 R(A)=R(B)应用：应用：根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩该矩阵的秩例：例：求求矩阵矩阵 的秩，并求的秩，并求 A 的的一个一个最高阶非零子式最高阶非零子式解：解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵有行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故个非零行，故R(A)=3 第二步求第二步求 A 的最高阶非零子式的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列的第一个非零元所在的列 ，与之对应的是选取矩阵，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、的第一、二、四列二、四列R(A0)=3，计算，计算 A0的前的前 3 行构成的子式行构成的子式因此这就是因此这就是 A 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式分析：分析：对对 B 作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设 B 的行阶梯的行阶梯形矩阵为形矩阵为 ，则，则 就是就是 A 的行阶梯形矩阵，因此可的行阶梯形矩阵，因此可从从中同时看出中同时看出R(A)及及 R(B)例：例：设设 ，求矩阵，求矩阵 A 及矩及矩阵阵B=(A,b)的秩的秩解：解：R(A)=2R(B)=3矩阵的秩的性质矩阵的秩的性质若若 A 为为 mn 矩阵，则矩阵，则 0R(A)min(m,n)R(AT)=R(A)若若 A B，则，则 R(A)=R(B)若若 P、Q 可逆，则可逆，则 R(PAQ)=R(B)maxR(A),R(B)R(A,B)R(A)R(B)特别地，当特别地，当 B=b 为非零列向量时，有为非零列向量时，有R(A)R(A,b)R(A)1 R(AB)R(A)R(B)R(AB)minR(A),R(B)若若 Amn Bnl=O，则，则 R(A)R(B)n 例：例：若若 Amn Bnl=C，且，且 R(A)=n，则，则R(B)=R(C)附注：附注：n当一个矩阵的秩等于它的列数时，这样的矩阵称为当一个矩阵的秩等于它的列数时，这样的矩阵称为列满秩列满秩矩阵矩阵n特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵阵，也就是可逆矩阵因此，本例的结论当因此，本例的结论当 A 为为为方阵时，就是性质为方阵时，就是性质 n本题中，当本题中，当 C=O，这时结论为：，这时结论为：设设 AB=O，若，若 A 为列满秩矩阵，则为列满秩矩阵，则 B =O 3 线性方程性方程组的解的解一、一、线性方程性方程组的表达式的表达式1.一般形式一般形式3.向量方程的形式向量方程的形式方程方程组可可简化化为 AX=b 2.增广矩增广矩阵的形式的形式4.向量向量组线性性组合的形式合的形式二、二、线性方程性方程组的解的判定的解的判定设有有 n 个未知数个未知数 m 个方程的个方程的线性方程性方程组定义：定义：线性方程组如果有解，就称它是线性方程组如果有解，就称它是相容的相容的；如果无解，；如果无解，就称它是就称它是不相容的不相容的问题问题1：方程组是否有解？方程组是否有解？问题问题2：若方程组有解，则解是否唯一？若方程组有解，则解是否唯一？问题问题3：若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？m、n 不一不一定相等！定相等！定理：定理：n 元线性方程组元线性方程组 Ax=b无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是 R(A)R(A,b)；有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b)=n；有无限多解的充分必要条件是有无限多解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b)n 分析：分析：只需证明条件的充分性，即只需证明条件的充分性，即R(A)R(A,b)无解；无解；R(A)=R(A,b)=n 唯一解；唯一解；R(A)=R(A,b)n 无穷多解无穷多解那么那么无解无解 R(A)R(A,b)；唯一解唯一解 R(A)=R(A,b)=n；无穷多解无穷多解 R(A)=R(A,b)n 证明：证明：设设 R(A)=r，为叙述方便，不妨设，为叙述方便，不妨设 B=(A,b)的的行最行最简形矩阵简形矩阵为为第一步：第一步：往证往证 R(A)R(A,b)无解无解若若 R(A)R(A,b)，即，即 R(A,b)=R(A)1，则，则 dr+1=1 于是于是 第第 r+1 行对应矛盾方程行对应矛盾方程 0=1，故原线性方程组无解，故原线性方程组无解R(A)R(A,b)R(A)1 前前 r 列列 后后 n-r 列列 前前 n 列列前前 r 列列第二步：第二步：往证往证 R(A)=R(A,b)=n 唯一解唯一解若若 R(A)=R(A,b)=n，故原线性方程组有唯一解故原线性方程组有唯一解后后 n-r 列列 则则 dr+1=0 且且 r=n，对应的线性方程组为对应的线性方程组为 从而从而 bij 都不出现都不出现.第三步：第三步：往证往证 R(A)=R(A,b)n 无穷多解无穷多解若若 R(A)=R(A,b)n，对应的线性方程组为对应的线性方程组为前前 r 列列 则则 dr+1=0.后后 n-r 列列 即即 r n，令令 xr+1,xn 作自由变量，则作自由变量，则 再令再令 xr+1=c1,xr+2=c2,xn=cn-r，则，则 线性方程组线性方程组的通解的通解例：例：求解非齐次求解非齐次线性方程组线性方程组解：解：R(A)=R(A,b)=3 4，故原线性方程组有无穷多解，故原线性方程组有无穷多解解（续）：解（续）：即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组令令 x3 做自由变量，则做自由变量，则 方程组的通解可表示为方程组的通解可表示为 例：例：求解非齐次求解非齐次线性方程组线性方程组解：解：R(A)=2，R(A,b)=3，故原线性方程组无解，故原线性方程组无解例：例：求解齐次求解齐次线性方程组线性方程组提问：提问：为什么只对系数矩阵为什么只对系数矩阵 A 进行初等行变换变为行最简形进行初等行变换变为行最简形矩阵？矩阵？答：答：因为齐次线性方程组因为齐次线性方程组 AX=0 的常数项都等于零，于是的常数项都等于零，于是必有必有 R(A,0)=R(A)，所以可从，所以可从 R(A)判断齐次线性方程组判断齐次线性方程组的解的情况的解的情况例：例：设有设有线性方程组线性方程组问问 l l 取何值时，此方程组有取何值时，此方程组有(1)唯一解；唯一解；(2)无解；无解；(3)有无有无限多个解？并在有无限多解时求其通解限多个解？并在有无限多解时求其通解定理：定理：n 元线性方程组元线性方程组 AX=b无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是 R(A)R(A,b)；有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b)=n；有无限多解的充分必要条件是有无限多解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b)n 解法解法1：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵附注：附注：对含参数的矩阵作初等变换时，由于对含参数的矩阵作初等变换时，由于 l l+1，l l+3 等因等因式可能等于零，故不宜进行下列的变换：式可能等于零，故不宜进行下列的变换：如果作了这样的变换，则需对如果作了这样的变换，则需对 l l+1=0（或（或 l l+3=0）的）的情况另作讨论情况另作讨论 分析：分析：讨论方程组的解的情况，就是讨论参数讨论方程组的解的情况，就是讨论参数 l l 取何值时，取何值时，r2、r3 是非零行是非零行在在 r2、r3 中，有中，有 5 处地方出现了处地方出现了l l，要使这，要使这 5 个元素等个元素等于零，于零，l l=0，3，3，1 实际上没有必要对这实际上没有必要对这 4 个可能取值逐一进行讨论，个可能取值逐一进行讨论，先先从从方程组有唯一解入手方程组有唯一解入手于是于是当当 l l 0 且且 l l 3 时，时，R(A)=R(B)=3，有唯一解，有唯一解当当 l l=0 时，时，R(A)=1，R(B)=2，无解，无解当当 l l=3 时，时，R(A)=R(B)=2，有无限多解，有无限多解解法解法2：因为系数矩阵因为系数矩阵 A 是方阵，所以方程组有唯一解的充是方阵，所以方程组有唯一解的充分必要条件是分必要条件是|A|0 于是于是当当 l l 0 且且 l l 3 时，时，方程组有唯一解方程组有唯一解当当 l l=0 时，时，R(A)=1，R(B)=2，方程组无解，方程组无解当当 l l=3 时，时，R(A)=R(B)=2，方程组有无限多个解，其通解为，方程组有无限多个解，其通解为定理：定理：n 元线性方程组元线性方程组 AX=b无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是 R(A)R(A,b)；有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b)=n；有无限多解的充分必要条件是有无限多解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b)n 分析：分析：因为对于因为对于 AX=0 必有必有 R(A,0)=R(A)，所以可从，所以可从 R(A)判断齐次线性方程组的解的情况判断齐次线性方程组的解的情况定理：定理：n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 AX=0 有非零解的充分必要条件有非零解的充分必要条件是是 R(A)n 定理：定理：线性方程组线性方程组 AX=b 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b)定理：定理：矩阵方程矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是 R(A)=R(A,B)定理：定理：矩阵方程矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是 R(A)=R(A,B)证明：证明：设设 A 是是 mn 矩阵，矩阵，B 是是 ml 矩阵，矩阵，X 是是 nl 矩阵矩阵.把把 X 和和 B 按列分块，记作按列分块，记作X=(x1,x2,xl)，B=(b1,b2,bl)则则即矩阵方程即矩阵方程 AX=B 有解有解 线性方程组线性方程组 Axi=bi 有解有解 R(A)=R(A,bi)设设 R(A)=r，A 的行最简形矩阵为的行最简形矩阵为 ，则，则 有有 r 个非零行，个非零行，且且 的后的后 mr 行全是零行全是零再设再设从而从而 矩阵方程矩阵方程 AX=B 有解有解 线性方程组线性方程组 Axi=bi 有解有解 R(A)=R(A,bi)的后的后 mr 个元素全是零个元素全是零 的后的后 mr 行全是零行全是零 R(A)=R(A,B)定理：定理：矩阵方程矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是 R(A)=R(A,B)定理：定理：设设 AB=C，则，则 R(C)minR(A),R(B)证明：证明：因为因为 AB=C，所以矩阵方程，所以矩阵方程 AX=C 有解有解 X=B，于是于是 R(A)=R(A,C)R(C)R(A,C)，故，故 R(C)R(A)又又(AB)T=CT，即，即 BTAT=CT，所以矩阵方程，所以矩阵方程 BTX=CT 有解有解 X=AT，同理可得，同理可得，R(C)R(B)综上所述，可知综上所述，可知 R(C)minR(A),R(B)非齐次线性方程组非齐次线性方程组无解无解否否是是无限多个解无限多个解否否是是唯一解唯一解包含包含 n-R(A)个自由变量个自由变量的通解的通解