函数模型的应用实例ⅠDOC.doc

课题：§3.2.2函数模型的应用实例(Ⅰ)
教学目标：
知识与技能 能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题．
过程与方法 感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性．
情感、态度、价值观 体会运用函数思想和处理现实生活和社会中的简单问题的实用价值．

教学重点：
重点 运用一次函数、二次函数模型的处理实际问题．
难点 运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．

教学程序与环节设计：

创设情境
组织探究
探索研究
巩固反思
作业回馈
课外活动
实际问题引入，激发学习兴趣．
以实际应用问题为载体，体会选择变量、建立模型，解决实际问题的的思想与方法．
结合例题的探究方法，总结运用函数概念建立模型的过程和方法，形成结论性报告．
师生交流共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤．
强化基本方法，规范基本格式．

运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题，了解函数模型的广泛应用．

教学过程与操作设计：
环节
教学内容设计
师生双边互动
创

设

情

境
大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？ 你有什么更好的方法？
原来孙子提出了大胆的设想。
由此可见我们所学过的方程、函数，在现实生活中都有着广泛的应用，怎样才能从实际问题入手，运用所学知识，通过抽象概括，建立数学模型来解决实际问题呢？

师：介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”。这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35=12；鸡数就是：35－12=23。激发学生学习兴趣，增强其求知欲望．

生：用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题．
组

织

探

究

材料一：一次函数、二次函数的应用举例
例1．某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行驶的路程．
探索：
1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样；
2）所涉及的变量的关系如何？
3）写出本例的解答过程．

例2．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店制定了两种优惠办法：
1） 买一只茶壶赠送一只茶杯；
2） 按总价的92%付款．
某顾客需买茶壶4只，茶杯若干（不少于4只），若购买茶杯（只）付款（元），试分别建立两种优惠办法中与之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪种更省钱？

师：引导学生独立思考，完成解答．引导学生分析自变量t的取值范围（即函数的定义域），注意t的实际意义．

生：独立思考，完成解答，并进行讨论、交流、评析．

师：本例从现实生产、生活实际出发，要引导学生认识到数学与实际的联系，体会数学的实用价值，享受数学的应用美．

生：正确理解题意，认真思考、讨论，交流做法，给出解答．

环节
教学内容设计
师生双边互动
组

织

探

究

探索：
1）本例所涉及的变量之间的关系可用何种函数模型来描述？
2）本例涉及到几个函数模型？
3）如何理解“更省钱？”；
4）写出具体的解答过程．

师：注意提醒学生对于应用题一定要回来到实际问题中作答．

师：引导学生认识：数学模型是用数学语言模拟现实的一种模型，它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来，并用数学语言来表达．数学模型可采用各种形式，如方程（组），函数解析式，图形与网络等．

例3．某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？

探索：
1） 本例涉及到哪些数量关系？
2） 应用如何选取变量，其取值范围又如何？
3） 应当选取何种函数模型来描述所选变量的关系？
4） “总收入最高”的数学含义如何理解？

[略解：]
设客房日租金每间提高个2元，则每天客房出租数为300-10，
由>0，且300-10>0得：0<<30
设客房租金总收入元，则有：老派

（0<<30）
由二次函数性质可知当=10时，max=8000．
所以当每间客房日租金提高到20+10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元．

师：注意引导学生分析题目中所涉及的各数量关系，及其之间的关系．

生：思考如何选取变量，建立不同的函数模型．

师：引导学生注意本例由于客房间数不太多，为了理解本应用题，可以选用列表法求解．

师：注意引导学生恰当选取变量，简化函数模型，如可设客房日租金每间提高个2元．

生：仔细分析题意，根据老师的引导启发，选取适当的变量，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析．

环节
呈现教学材料
师生互动设计
组
织
探
究

例4．教材P123例5．

（仿照例3给出例4的解答过程）

生：仿照例3给出例4的解答过程，然后讨论、交流，并进行评析．

探
究
与
发
现

根据前面例题的探索研究，总结运用函数概念建立模型研究解决某些实际问题的过程和方法：
1）建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数问题；
2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；
3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解，从而解决实际问题．

师：引导学生注意在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系．抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制．

巩
固
与
反
思

尝试练习：
1） 某单位计划10月份组织员工到H地旅游，人数估计在10~25人之间．甲、乙两旅行社的服务质量相同，且组织到H地旅游的价格都是每人200元，甲旅行社表示可给予每位旅客七五折优惠；乙旅行社表示先免去一位旅客的旅游费用，其余游客八折优惠．问该单位怎样选择，使其支付的旅游费用较少？
2） 某商店如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可售100件，现在商店用提高出售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品涨价1元，其销售量就减少10件，问该商店将出售价定为多少才能使每天赚得的利润最大？并求出最大利润．
3）要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价．

小结与反思：
共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤．

环节
呈现教学材料
师生互动设计
作
业
与
回
馈
教材P127
习题32（A组）第6、7题；

课
外
活
动
设计并解决一个生活中的一次函数或二次函数的应用性问题．

运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题，了解函数模型的广泛应用．