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存存 贮贮 模模 型型 一、存贮问题的基本要素一、存贮问题的基本要素二、模型一二、模型一不允许缺货，生产时间很短不允许缺货，生产时间很短三、模型二三、模型二不允许缺货，生产需一定时不允许缺货，生产需一定时间间四、模型三四、模型三不允许缺货，生产需一定时不允许缺货，生产需一定时间间五、随机性存贮模型五、随机性存贮模型存贮模型存贮模型 存存贮贮理理论论所所研研究究的的数数学学模模型型一一般般分分两两大大类类，一一类类是是确确定定型型模模型型，这这类类模模型型不不包包含含随随机机因因素素；另另一一类类是是带带有有随随机机因因素素的的存存贮贮模模型型即随机性模型。即随机性模型。一般的存贮问题通常包含下面一般的存贮问题通常包含下面5 5个基本要素。个基本要素。（一）需求（一）需求 需需求求是是存存贮贮系系统统的的输输出出，需需求求量量可可以以通通过过供供销销渠渠道道获获得得，它它可可以以是是确确定定的的，如如自自动动生生产产线线上上每每个个班班组组对对某某种种零零件件的的需需求求量量；它它也也可可以以是是随随机机的，如市场每天对某种商品的销售量。的，如市场每天对某种商品的销售量。一、存贮问题的基本要素一、存贮问题的基本要素 补补充充是是存存贮贮系系统统的的输输入入，存存贮贮物物品品的的补补充充可可以以由由工工厂厂生生产产获获得得，也也可可以以通通过过订订货货得得到到。从从订订货货到到货货物物入入库库，通通常常需需要要一一段段时时间间，称称为为滞滞后后时时间间。由由于于滞滞后后时时间间的的存存在在，管管理理者者为为了了能能及及时时补补充充，就就必必须须提提前前订订货货，所所提提前前的的时时间间称称为为提提前前时时间间。滞滞后后时时间可以是随机的，也可以是确定的间可以是随机的，也可以是确定的。（二）补充（订货或生产）（二）补充（订货或生产）存存贮贮论论要要研研究究的的基基本本问问题题是是物物品品何何时时补补充充及及补补充充多多少少数数量量，任任何何一一个个满满足足上上述述要要求求的的方方案案称称为为一一个存贮策略，常见的策略有以下三类。个存贮策略，常见的策略有以下三类。1.1.T T循环策略每隔循环策略每隔T T时间补充存贮量时间补充存贮量Q Q。2.2.（s s，S S）策策略略每每当当存存贮贮量量x xs s时时不不补补充充，当当xsxs时补充存贮，补充量时补充存贮，补充量Q QS-xS-x（即将存贮补充到即将存贮补充到S S）。）。3.3.（t t，s s，S S）混混合合策策略略每每隔隔t t时时间间检检查查存存贮贮量量x x，当当x xs s时不补充；当时不补充；当xsxs时，补充存贮量使之达到时，补充存贮量使之达到S S。（三）存贮策略（三）存贮策略 1.1.订订货货费费它它包包括括两两部部分分，一一部部分分是是订订购购一一次次货货物物所所需需的的订订购购费费用用（如如手手续续费费、出出差差费费等等），它它是是仅仅与与订订货货次次数数有有关关的的一一种种固固定定费费用用。另另一一部部分分是是货货物物的的成成本本费费kxkx（x x为为订订货货数数量量，k k为为单单价价），成成本本费费随随订订货货数数量变化而变化。量变化而变化。2.2.保保管管费费包包括括货货物物的的库库存存费费和和货货物物的的损损坏坏变变质质等等支出的费用。支出的费用。3.3.缺货费由于供不应求造成缺货带来的损失费用，缺货费由于供不应求造成缺货带来的损失费用，如停工停产造成的损失和罚款等。如停工停产造成的损失和罚款等。（四）费用（四）费用 为为了了衡衡量量存存贮贮策策略略的的好好坏坏，必必须须建建立立一一个个衡衡量量指指标标，这这个个指指标标称称为为目目标标函函数数。通通常常把把目目标标函函数取为该策略的平均费用或平均利润。数取为该策略的平均费用或平均利润。（五）目标函数（五）目标函数 模型一模型一不允许缺货，生产时间很短不允许缺货，生产时间很短为为了了使使模模型型简简单单，易易于于理理解解，便便于于计计算算，可可作作以以下假设：下假设：1.1.不允许缺货，则设缺货费用无穷大。不允许缺货，则设缺货费用无穷大。2.2.当当存存贮贮降降至至零零时时，可可立立即即得得到到补补充充（即即生生产产时时间很短，可近似地看做零）。间很短，可近似地看做零）。二、模型一二、模型一3.3.需需求求是是连连续续的的、均均匀匀的的，设设需需求求速速度度r r（单单位位时时间的需求量）为常数，则间的需求量）为常数，则t t时间内的需求量为时间内的需求量为 。4.4.每次订货量不变，订购费每次订货量不变，订购费 不变。不变。5.5.单位存贮费不变，设为单位存贮费不变，设为 （单位时间单位货物的单位时间单位货物的存贮费）存贮费）对于这样的存贮问题，用什么来衡量存贮策略的优对于这样的存贮问题，用什么来衡量存贮策略的优劣，即指标是什么劣，即指标是什么?自然想到用总费用来衡量。自然想到用总费用来衡量。假假设设每每隔隔T T时时间间补补充充一一次次，则则订订货货量量必必须须满满足足T T时时间间内内的的需需求求 ，即即订订货货量量 ，每每次次订订货货费费为为 ，货物单价为货物单价为 ，则订货费为则订货费为T T时时间间内内的的存存贮贮量（如图）为量（如图）为则则T T时间内的存贮费为时间内的存贮费为故故T T时间内的总费用时间内的总费用 为为确确定定订订货货周周期期T T及及每每次次订订货货量量Q Q，考考虑虑T T时时间间内内的总的平均费用的总的平均费用 为为求求T T，使使 达到最小达到最小则由则由 可得可得即即每每隔隔T T时时间间订订货货一一次次使使平平均均总总费费用用 最最小小，且且订订货批量为货批量为上式即为存贮论中著名的上式即为存贮论中著名的经济订购批量公式经济订购批量公式，从，从 、的表达式可以看到与的表达式可以看到与k k无关，即与货物单价无关，无关，即与货物单价无关，所以在考虑费用时可以略去所以在考虑费用时可以略去 这一项。这一项。例例1 1 某某食食品品厂厂按按计计划划每每年年需需用用鸡鸡蛋蛋800800吨吨，鸡鸡蛋蛋不不允允许许缺缺货货，鸡鸡蛋蛋的的供供应应不不必必每每日日购购货货，每每次次订订购购费费需需120120元元，每每吨吨鸡鸡蛋蛋价价格格5 5 500500元元，存存贮贮每每吨吨每每月月9090元元，试试研研究究其其存存贮贮策策略略，即即多多长长时时间间进进一一次货次货?每次进货数量多少为宜每次进货数量多少为宜?解解 这这是是典典型型的的不不允允许许缺缺货货、且且能能及及时时补补充充的的存存贮贮问问题题。这这时时r r800800360360，90903030，120120，将其分别代入前面式子可得将其分别代入前面式子可得 （天）天）8006 800636036040403 3（吨）吨）即每隔即每隔6 6天订货一次，每次进货天订货一次，每次进货40403 3吨。吨。模型二模型二不允许缺货，生产需一定时间不允许缺货，生产需一定时间这这里里，除除了了生生产产需需要要一一定定时时间间的的条条件件外外，其其余余皆皆与与模型一相同。模型一相同。三、模型二三、模型二这时存贮变化如图所示这时存贮变化如图所示设设生生产产批批量量为为Q Q，所所需需生生产产时时间间为为t t，则则生生产产速速度度为为 ，已已知知需求速度为需求速度为在在 区区间间内内，存存贮贮以以 速速度度增增加加；在在 区区间内，存贮以速度间内，存贮以速度r r减少。减少。T T、t t均为待定参数。均为待定参数。由图易知由图易知 可得可得即以速度即以速度 生产生产 时间的产量等于时间的产量等于T T时间内的需求量。时间内的需求量。T T时间内的存贮量时间内的存贮量T T时间内的存贮费为时间内的存贮费为 则则T T时间内总的平均费用时间内总的平均费用F F（T T）为为则有则有与模型一中式相比较，它们只差因子与模型一中式相比较，它们只差因子当当 （生生产产速速度度很很大大）时时，则则生生产产时时间间很很短短，即为模型一。即为模型一。例例2 2 某某厂厂每每月月需需某某产产品品100100件件，生生产产能能力力为为每每月月500500件件，每每批批装装配配费费为为5 5元元，每每月月每每件件产产品品存存贮贮费费为为0.40.4元元，求求最最优优生生产产周周期期、生生产产时时间间和和生生产产批批量。量。即最优生产周期为即最优生产周期为1717天，生产时间为天，生产时间为3.43.4天，生产天，生产批量为批量为5656件。件。解解 已已知知 ，p p5005003030，r r1001003030，0.40.43030，则则四、模型三四、模型三 模模型型三三允允许许缺缺货货，生生产产时时间间很很短短。模模型型一一、二二是是在在不不允允许许缺缺货货的的情情况况下下推推导导出出来来的的，模模型型三三是是允允许缺货，并将缺货损失定量化来加以分析。许缺货，并将缺货损失定量化来加以分析。这这里里除除假假设设允允许许缺缺货货，其其余余条条件件与与模模型型一一相相同同，设单位时间每缺一件的损失为设单位时间每缺一件的损失为 。假假设设每每隔隔T T天天订订货货Q Q，而而货货物物在在 时时用用完完，有有一一段段时时间间，即即 长长时时间间地地缺缺货货（这这时时需需求求速速度度仍仍为为 ）（）（如图），则在如图），则在T T时刻的订货量时刻的订货量T T时间内的存贮量时间内的存贮量 ；存贮费；存贮费T T时间内的缺货量为时间内的缺货量为则缺货损失费为则缺货损失费为T T时间内总的平均费用时间内总的平均费用 为为得得其中其中 与模型一相比，相差因子与模型一相比，相差因子 当当 时时 11，模型三即为模型一模型三即为模型一。例例3 3 在在例例1 1中中允允许许缺缺货货，且且每每月月缺缺1 1吨吨损损失失270270元元，试研究其存贮策略。试研究其存贮策略。解解 将将 120120、90903030、2702703030 800800360360代入公式得代入公式得即每隔即每隔 天订货一次，每次进货天订货一次，每次进货 吨。吨。（一）需求是随机的（一）需求是随机的报报童童问问题题：报报童童每每天天清清晨晨从从报报社社购购进进报报纸纸零零售售，晚晚上上将将没没卖卖掉掉的的报报纸纸退退回回，设设购购进进价价b b、零零售售价价a a、退退回回价价c c，问问他他如如何何确确定定每每天天购购进进的的数数量量，以以获获得得最最大收益大收益?五、随机性存贮模型五、随机性存贮模型自自然然可可假假设设：a ab bc c，卖卖掉掉一一份份赚赚a-ba-b，退退回回一一份份赔赔b-cb-c，而而需需求求量量事事先先无无法法确确定定，是是随随机机的的，购购进进多多了了卖卖不不完完赔赔钱钱，购购进进少少了了不不够够卖卖少少赚赚钱钱。假假设设报报童童通通过过以以往往经经验验或或其其他他途途径径掌掌握握了了需需求求量量的的随随机机规规律，即销售律，即销售r r份的概率是份的概率是f f（r r），），r r0 0，1 1，2 2下面根据下面根据f f（r r）、）、a a、b b、c c来建立购进量的优化模型。来建立购进量的优化模型。设设购购进进n n份份，能能卖卖掉掉r r（随随机机量量)份份，则则或或rnrn，或或r rn n，所所以以一一天天的的收收入入也也是是随随机机的的。因因此此我我们们不不可可能能确确定定每每天天的的收收入入，而而只只能能从从概概率率论论大大数数定定律律的的观观点点看看，考考虑虑每每天天收收入入的的期期望望值值，即即将将平平均均收收入入作作为为目目标函数。标函数。记记 为每天购进为每天购进n n份的平均收入，则份的平均收入，则现在的问题是：当现在的问题是：当n n为何值时，为何值时，达到最大达到最大?由由于于需需求求量量和和购购进进量量都都较较大大，可可将将 看看做做连连续续变变量量，这时概率这时概率 即为概率密度即为概率密度 ，则上式为则上式为1 1、连续的情形、连续的情形求导得求导得令令 ，则可得则可得而而 ，则则当当 具体确定时，具体确定时，即可确定。从即可确定。从 三者三者关系可以看出关系可以看出:，则则 ；的差别越大，则的差别越大，则 越小；越小；越大，则越大，则 越大，这与实际情况相符。越大，这与实际情况相符。2 2、离散离散的情形的情形若仍将若仍将r r看做离散的，用差分的方法来求解极值。看做离散的，用差分的方法来求解极值。与连续时的结果一致，当与连续时的结果一致，当 具体确定时，具体确定时，n n即可确定。即可确定。例例 某某店店拟拟出出售售甲甲商商品品。每每单单位位甲甲商商品品成成本本5050元元，售售价价7070元元。如如不不能能售售出出必必须须减减价价为为4040元元，减减价价后后一一定可以售出。已知售货量定可以售出。已知售货量r r的概率服从泊松分布的概率服从泊松分布为为平平均均售售出出数数，根根据据以以往往经经验验，平平均均售售出出数数为为6 6单位单位(6)6)。问该店订货量应为多少单位问该店订货量应为多少单位?解解 由题意知：由题意知：代入上式可得代入上式可得因因 ，而而G(6)G(6)的数值更接近于的数值更接近于 0.667 0.667，故订货量应为，故订货量应为6 6单位。单位。由由于于需需求求是是随随机机变变量量，事事前前难难以以知知道道需需求求的的准准确确数数值值。这这时时工工厂厂或或商商店店无无法法决决定定存存贮贮策策略略，从从存存贮贮的的角角度度来来考考虑虑，假假设设在在一一个个阶阶段段开开始始的的时时刻刻原原有有存存贮贮为为I I，如如供供应应不不足足则则须须承承担担缺缺货货费费，如如供供应应有有余余，则则多多余余的的部部分分仍仍须须存存贮贮起起来来。由由于于存存在在着着这这种种不不确确定定性性，就就需需要要计计算算随随机机变变量量的的期期望望值值，从从而而定定出最佳的存贮量。出最佳的存贮量。（二）需求是随机离散的（二）需求是随机离散的(s s，S)S)型存贮策略型存贮策略考虑一个阶段考虑一个阶段(时间段落时间段落)。假设：。假设：1.1.原有存贮量为原有存贮量为 (在本阶段内为常数在本阶段内为常数)。2.2.存贮物单价为存贮物单价为 ，订购费为订购费为 ，订货量为订货量为 时，时，所需订货费用为所需订货费用为 。3.3.单位货物的存贮费为单位货物的存贮费为 ，缺货费为缺货费为 (指整个阶指整个阶段所需的费用段所需的费用)。4.4.需求量需求量 ，其概率其概率 为已知。为已知。1 1、假设、假设2 2、各种费用、各种费用 订货量为订货量为 ，存贮量达到存贮量达到 本阶段的各种费用。本阶段的各种费用。订货费：订货费：。存存贮贮费费：当当需需求求 时时，未未能能售售出出的的存存贮贮部部分分须须付付存存贮贮费费。时时，不不需需要要付付存存贮贮费费。所所需需存存贮贮费的期望值费的期望值 时，不付存贮费及缺货费。时，不付存贮费及缺货费。缺货费：缺货费：当需求当需求 时，时，部分须付缺货部分须付缺货费。缺货费用的期望值费。缺货费用的期望值 本阶段所需订货费、缺货费及存贮费期望之和为本阶段所需订货费、缺货费及存贮费期望之和为其中其中 表示存贮所达到的水平，记表示存贮所达到的水平，记 ，上上式可写成式可写成求出求出 值使值使 最小。最小。3 3、解法、解法1.1.将需求将需求r r的随机值按大小顺序排列为的随机值按大小顺序排列为其中其中2.2.只从只从 中取值。当中取值。当 取值为取值为 时，记时，记为为 。3.3.仿照前面求极值的方法求仿照前面求极值的方法求C(S)C(S)的最小值。的最小值。上式右端数值严格小于上式右端数值严格小于1 1，称为临界值，记作，称为临界值，记作由由于于需需求求是是离离散散的的，所所以以等等式式不不一一定定成成立立，为为此此选选使不等式使不等式成立的成立的 的最小值为的最小值为 ，则订货量为则订货量为 。例例 设设某某公公司司利利用用塑塑料料作作原原料料制制成成产产品品出出售售，已已知知每每箱箱塑塑料料购购价价为为800800元元，订订购购费费C1C16060元元，存存贮贮费费每每箱箱C2C24040元元，缺缺货货费费每每箱箱C3C31 1 015015元元，原原有有存存贮贮量量I I1010箱箱，已已知知对对原原料料需需求求的的概概率率如如下表，求该公司订购原料的最佳订购量。下表，求该公司订购原料的最佳订购量。(1)(1)计算临界值计算临界值（2 2）选使不等式选使不等式 的的 最小值作最小值作 。作为作为 。解解(3)(3)原存贮原存贮I I1010，订货量订货量该公司应订购塑料该公司应订购塑料3030箱。箱。对于上述计算还有另一方面的问题，原存对于上述计算还有另一方面的问题，原存贮量贮量I I达到什么水平可以不订货达到什么水平可以不订货?假设这一水平假设这一水平是是s s，当当I Is s时可以不订货，当时可以不订货，当IsIs时要订货，时要订货，使存贮达到使存贮达到S S，订货量订货量Q QS-IS-I。计算计算s s的方法：考查不等式的方法：考查不等式 因因s s也只从也只从 中取值，使上式成立的中取值，使上式成立的 的值中最小者定为的值中最小者定为s s。当当s sS S时，上式左端缺货时，上式左端缺货费用的期望值虽然会增加，但订货费及存贮费用期望值费用的期望值虽然会增加，但订货费及存贮费用期望值都减少，一增一减，使不等式仍有可能成立。在最不利都减少，一增一减，使不等式仍有可能成立。在最不利的情况下如的情况下如s sS S时，不等式是成立的时，不等式是成立的(因为因为C1C10)0)。因此我们相信一定能找到因此我们相信一定能找到s s值。当然计算值。当然计算s s要比计算要比计算S S复杂一些，但就具体问题计算复杂一些，但就具体问题计算s s也不是很难的。如例也不是很难的。如例2 2中中要计算要计算s s确实很简单。将确实很简单。将3030作为作为s s代入上式左端代入上式左端故式子成立，则故式子成立，则 已是最小值，故已是最小值，故 。上例的存贮策略为每个阶段开始检查存贮量上例的存贮策略为每个阶段开始检查存贮量I I，当当I I3030箱时不必补充存贮，当箱时不必补充存贮，当I30I30箱时补充存贮量达到箱时补充存贮量达到4040箱箱.将将4040代入上式右端代入上式右端