选修22导数及微积分教师版.doc

选修2-2导数及微积分教师版
教学课题
选修2-2第一章1.1.1--1.1.2变化率问题和导数的概念

课标要求

一、知识及技能：
1．理解平均变化率的概念；
2．了解平均变化率的几何意义，会求函数在某点处附近的平均变化率；
3．了解导数的实际背景，理解导数的定义，知道瞬时变化率就是导数，并会用定义求函数的导数。
二、过程及方法：
1.体会平均变化率的思想及内涵
2.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
三、情感态度及价值观：学生在从平均变化率到瞬时变化率的探索过程中，通过动手算、动脑思和集体合作讨论，树立敢于战胜困难的信心，养成主动获取知识和敢于探究求新知的习惯，激发求知欲，增强合作交流意识。培养学生的爱国情操
认知层次
知识点

识记

理解

应用

综合
知识点1
平均变化率
∨

知识点2
平均变化率的几何意义

∨

知识点3
导数的定义

∨

目标设计

目标设计
1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。
2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。
3.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。
4.通过实例的分析，理解平均变化率、瞬时变化率的概念；了解平均变化率及瞬时变化率之间的关系；
5.通过导数概念的形成过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及内涵；
6.通过观察和动手实践培养学生的分析、比较和归纳的能力，并感悟到极限思想.
教学过程设计
情境设计
问题设计

情境一
大家可能都有过吹气球的回忆。在吹气球的过程中,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
问题1：我们曾经学习过球的体积公式，对一个半径为（单位：dm）的球，其体积(单位：L)可以怎样表达？
问题2：若将r表示成V的函数能得到什么关系式？
问题3：当球中空气从0增加至1L时，气球半径增加多少？气球的平均膨胀率是多少？
问题4：当球中空气从1L增加到2L时呢？你得到了什么结论？（此处均需要学生动手计算，教师在旁巡视、监督并做出适当的指导）

情境二
播放郭晶晶、吴敏霞在2008年北京奥运会上跳水比赛夺冠录像片段，让学生在情景中感受速度变化，学生通过计算回答问题。

问题1：设郭吴二人相对于水面的高度h(单位:m)及起跳后的时间t(单位:s) 存在函数关系h(t)=4.9t2+6.5t+10，如果用她们在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么:（1）在0≤t≤0.5这段时间里,运动员的平均速度为多少？（2）在1≤t≤2这段时间里, 运动员的平均速度为多少？
问题2：计算郭吴在0≤t≤这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:
(1) 她们在这段时间里是静止的吗?
(2) 你认为用平均速度描述她们的运动状态有什么问题吗?
问题3：当郭吴起跳后的时间从t1增加到t2时,运动员的平均速度是多少?
通过以上的课堂活动，是学生逐步归纳出两个情景的共性，引出函数的平均变化率的概念：
一般地,函数y=f(x)中，式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率。其中令，，则: 。
归纳概念的过程，体现了从特殊到一般的数学思想。
思考：（1）,的符号是怎样的？（2）平均变化率有哪些变式？（3）观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?（左图）
情境三 学生探究：
在上面的跳水比赛中，通过刚才的计算我们只能求出运动员在某一段时间内的平均速度，，这个平均速度并不能很好的反映在某时刻的瞬时速度，那有没有办法求出运动员在任何一个时刻的瞬时速度呢？
问题1：运动员在t=2时的瞬时速度怎么求？
问题2：在内的平均速度能否求出来？
问题3：能否计算当=1，0.1，0.01，0.001…..时在上的平均速度？当逐渐地趋近于0时你发现了什么？
问题4：同学们知道了t=2时的瞬时速度的表示方法了，那么在某个时刻的瞬时速度又如何表示呢？
情境四：再探究，揭示导数概念
简介导数产生的历史背景. 十七世纪，力学，航海，天文等方面取得了突飞猛进的发展，这些发展对数学提出了新的要求，其中两类问题直接导致了导数的产生：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度及加速度，二是求已知曲线的切线。
导数是微积分的一部分，微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹，他们分别从运动学和几何学角度的来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现。
问题1：函数在处的瞬时变化率怎样表示？在处的导数.记作(也可记为).
【典例分析】
例1：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，如果在h时，原油的温度（）为
计算第2h时和第6h时原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
教师板演当x=2时的原油温度瞬时变化率的求解过程，然后全体同学笔练求x=6时的温度瞬时变化率.
【课堂练习】：
1. 计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
2. 求
3. 请一学生小结，其他人补充、完善，引导学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的自主学习习惯。
2.你能通过以上的例题及练习指出函数求导的步骤吗？ ①求增量
②求比值
③取极限
归纳总结：①是指从0的左右两侧分别趋向于0，但永远不会等于0；
②若存在，则称在处可导
习题设计
1.计算函数f(x)=2x+1在区间[–3,–1]上的平均变化率；（知识点1，易）
2.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则= ( )
A . 3 B . 3Δx-(Δx)2 C . 3-(Δx)2 D . 3-Δx （知识点2，易）
3. 设函数，若，则a等于（ ） （知识点3，中）
A.2 B.-2 C.3 D.-3
4. 已知函数，求的值。（知识点2，中）
5.已知，求的值。（知识点3，难）

教学课题
选修2-2第一章1.1.3导数的几何意义

课标要求

一、知识及技能：
1．了解平均变化率及割线斜率之间的关系；
2．理解曲线的切线的概念；
3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；
4．理解导函数
二、过程及方法：
通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。
三、情感态度及价值观：
导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数及形的结合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。培养学生学数学，用数学的意识。
认知层次
知识点

识记

理解

应用

综合
知识点1
平均变化率及割线斜率的关系
∨

知识点2
曲线切线的概念

∨

知识点3
导数的几何意义

∨

知识点4
导函数的概念

∨

目标设计

1.通过作函数图像上过点的割线和切线直观感受由割线过渡到切线的变化过程
2.掌握函数在某一点处的导数的几何意义，进一步理解导数的定义
3.会利用导数求函数曲线上某一点的切线方程（注意在某一点处和过该点的切线方程的区别）
教学过程设计
情境设计
问题设计

情境一：如图，观察图中当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势

问题1：当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线逐渐趋近于哪个位置？这个位置有什么特点？（得出切线定义）
问题2：这个切线的定义及以前我们学过的切线定义有何不同？（可引导学生从交点个数上进行分析）
问题3：割线的斜率如何表达？切线PT的斜率如何表达，它们有何关系？
（容易知道，割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率）

情境二
联系上节课我们所学的平均变化率和瞬时变化率，及这节课的割线斜率和切线斜率进行类比，从而发现知识间的相互关系
平均变化率瞬时变化率
割线的斜率切线的斜率
再进一步得到导数的几何意义
问题1：已知曲线上两点
，
求：(1)结合两点坐标，割线的斜率可表示为什么？（）
（2）结合，割线→切线PT，则切线PT的斜率可表示为什么？（）
问题2：你能发现导数的几何意义吗？
函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，
即
情境三 典例探究（课本例2）
如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数，根据图像，请描述、比较曲线在、、附近的变化情况．

问题1：用图形体现，的几何意义。
问题2：导数值的正负，反应该点附近的曲线有何变化趋势？
问题3：运用导数的几何意义，描述在附近增（减）以及增（减）快慢的情况。变式：在附近呢？
此处要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（同桌讨论、描述运动员的运动状态），体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”的思想方法。
从中小结出:1.点附近的增减-----导数的正负-----过该点切线的斜率正负;
2.增减快慢-----导数的绝对值大小-------过该点切线的斜率大小的绝对值---曲线在该点附近的陡峭程度。
情境四：
随的变化，函数值也在不断变化，但一旦确定，则函数值也随之确定下来而且是唯一的，这符合了函数的定义，那么这个新的函数有什么特殊的名字吗？
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时, 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或，
即:
（注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数）
【典型例题】求函数在点P处的切线方程.
问题3：你能归纳总结出求切线方程的一般步骤吗？
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标;
②求出函数在点处的变化率 ，得到曲线在点的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程
变式研究：若把“在处”改为“过点P”的话,结果如何？
习题设计
1. 已知曲线上的两点A（2，3），，当时，割线AB的斜率是__________，当时，割线AB的斜率是__________，曲线在点A处的切线方程是________________________。 （知识点1，易）
2.曲线在点处的切线方程为（ ） （知识点2，易）
A． B． C． D．
3函数在处的导数的几何意义是（ ） （知识点3，易）
A在点处的函数值 B在点处的切线及轴所夹锐角的正切值
C曲线在点处的切线的斜率D点及点（0，0）连线的斜率.
4.已知曲线在点P（1，4）处的切线及直线平行且距离为，则直线的方程为
A 或 B
C 或 D 以上都不对 （知识点3，中）
5. 若，则＝（ ） （知识点3，难）
A -3 B -6 C -9 D -12

教学课题
选修2-2第一章1.2.1几个常用函数的导数

课标要求

一、知识及技能：
1．能够用导数的定义求几个常用函数的导数，会利用它们解决简单的问题。
2．掌握五个公式，理解公式的证明过程；
二、过程及方法：
1. 通过本节的学习，使学生掌握由定义求导数的三个步骤，推导四种常见函数、、、、的导数公式；
2.掌握并能运用这五个公式正确求函数的导数．
三、情感态度及价值观：
1.通过本节的学习，进一步体会导数及物理知识之间的联系，提高数学的应用意识。
2. 注意培养学生归纳类比的能力；
认知层次
知识点

识记

理解

应用

综合
知识点1
五个公式
∨

知识点2
五个公式的推导过程

∨

知识点3
利用五个公式求函数的导数

∨

目标设计
1.五种常见函数的导数的求解步骤
2.五种常见函数、、、、的导数公式
3. 熟练运用这五个公式正确求函数的导数
教学过程设计
情境设计
问题设计

情境一
我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数，如何求它的导数呢？
问题1：导数是用什么来定义的？（平均变化率的极限）
问题2：平均变化率的极限如何计算？（求增量，求比值，取极限）
问题3：以上求导数的过程用起来是否方便？我们有没有必要归结一下公式便于以后的运算？

情境二
1.利用定义求出函数①的导数
2.若表示速度关于时间的函数，则可以如何解释？如何描述物体的运动状态？
问题1：函数值的增量是什么？（0）
问题2：自变量的增量是多少（）
问题3：=？及的取值有关吗？
问题4：你得到的函数的导数是什么？（）及的取值有关系吗？
情境三 学生探究：
你能独立完成②，③，④这几个函数的导函数吗？
问题1：函数②的导数是什么？（）若是改为呢？
问题2：函数③的导数是什么？（）若改为呢？
问题3：函数④的导数是什么？（）若改为呢？
情境四：再探究：
1.以上四个函数的导数求解过程中用到的变形方法都是常见的提公因式，通分，合并同类项等初级方法，你能否还用以上方法求出函数⑤的导数呢？
2.你能否把本节课所学的五个函数的求导公式通过类比推广统一起来呢？
，再往下如何化简？根据经验我们知道，应该能够把分母上的约去才行（因为取极限时，分母为0分式无意义）故要进行分子有理化具体过程如下：
=
=
①
②
③
④
⑤
推广：
（1）若，则（幂函数）
（2）若，则（类幂函数）
函数
导函数

习题设计
1. 给出下列命题,其中正确的命题是___________(填序号) （知识点1，易）
(1)任何常数的导数都为零;
(2)直线上任一点处的切线方程是这条直线本身;
(3)双曲线上任意一点处的切线斜率都是赋值;
(4)函数和函数在(上函数值增长的速度一样快.
2. 已知,则（ ）A．0 B．2 C．6 D．9（知识点3，易）
3. 在曲线上的切线的倾斜角为的点为（ ）（知识点3，中）
A． B． C． D．
4. 函数，且，则= （知识点3，难）
5.已知直线及抛物线相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P，使的面积最大。（知识点3，难）
教学课题
选修2-2第一章1.2.2（1）基本初等函数的导数公式及运算法则

课标要求

一、知识及技能：
1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；
2．掌握导数的四则运算法则，并能利用公式求简单函数的导数；
二、过程及方法：
1. 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
2.能运用公式处理某些实际问题。
三、情感态度及价值观：
通过学习本节课，培养学生对问题的认知能力．由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了八个基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则．学生不用推导而直接去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系，达到学有所用．在训练中也加深了学生对学习数学的兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣．
认知层次
知识点

识记

理解

应用

综合
知识点1
基本初等函数的导数公式

∨

知识点2
导数的四则运算法则

∨

目标设计
1.熟记基本初等函数的导数公式；
2.熟记并掌握导数的四则运算法则；
3.应用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则解题。
4.运用公式处理某些实际问题。
教学过程设计
情境设计
问题设计

情境一
五种常见函数、、、、的导数公式填写下表
函数
导数

问题1：
上一节的内容中，我们从导数的定义出发，按照求导数的哪三个步骤推导了五个常用函数y＝c、y＝x、y＝x2、y＝、y＝的导数公式。是不是所有的函数求导都必须按那三个步骤来求呢？
问题2：
我们知道,函数的导数为，以后看见这种函数就可以直接按公式去做，而不必用导数的定义了。那么其它基本初等函数的导数怎么呢？

情境二
你能用求导的三步骤求出正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数吗？那些原有的变形方法还适用吗？极限会求吗？

为了方便，我们有一个基本初等函数的导数公式表，今后我们直接可以使用基本初等函数的导数公式表来求函数的导数
函数类型
导函数
常函数
（为常数）
幂函数
（）
正、余弦函数
，
指数函数
，
对数函数
，

例1 根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数．（1） （2）；（3）
（4）（5）
例2 假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价（单位：元）及时间（单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？（精确到0.01）
情境三
以上的求导公式只对单一函数求解起来方便快捷，如果一个函数是由几个不同类型的函数通过加、减、乘、除四则运算组成的，那这样的函数又该如何去求导呢？有没有特定的运算法则可循？
导数的运算法则
导数运算法则
1．
2．
3．
问题1：若法则2中的（常数），其结果是什么？
问题2：你能从中得出什么结论？
推论：（常数及函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
问题3：积法则及商法则的相同点及不同点是什么？
（积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.且商法则分母上为分母函数的平方）
例3．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．
（1） （2）y ＝；
（3）y ＝x · sin x · ln x； （4）y ＝
【课堂练习】求下列函数的导数
（1） （2）
（3）（4）
（5） （6）
习题设计
1. 某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足：，求此物体在什么时刻速度为零? （知识点2，易）
2. 已知函数在处的导数为3，则的解析式可能为：（知识点2，易）
A B
C D
3. 设函数在点（1,1）处的切线及轴的交点横坐标为，则（ ）A B C D 1 （知识点1，中）
4. 已知函数的图像过点P（0,2），且在点处的切线方程为，求函数的解析式。（知识点2，中）
5. 已知是曲线上的两点，求及直线平行的曲线的切线方程。（知识点1，难）

教学课题
选修2-2第一章1.2.2（2）复合函数的求导法则

课标要求

一、知识及技能：
1．理解复合函数的概念
2．能正确分解简单的复合函数，记住复合函数的求导公式
3．理解并掌握复合函数的求导法则
二、过程及方法：
1. 牢记基本初等函数求导公式，会利用基本初等函数求导公式求函数的导数
2. 通过分析复合层次确定函数的复合顺序，为正确求导奠定基础
三、情感态度及价值观：
通过正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．培养学生严谨的治学态度，做事的条理性和处理问题大局观，进而影响到学生的一生。
认知层次
知识点

识记

理解

应用

综合
知识点1
复合函数概念

∨

知识点2
复合函数的复合过程

∨

知识点3
复合函数的求导法则

∨

目标设计

1.正确分解复合函数，做到不重、不漏
2.分清复合顺序，以便正确求导
3.熟记求导法则，严格按照法则求导，最后把中间变量代回
4.熟练掌握任何函数的求导，并能运用其解决实际问题。
教学过程设计
情境设计
问题设计

情境一
复习 ：
1.基本初等函数有哪些？
2.求下列函数的导数：
（1） （2） （3）
（4）（5）
问题1：函数（4）利用基本初等函数求导公式如何求导?
问题2：函数(5)能用学过的公式求导吗?
问题3：函数有什么结构特点？

情境二
分清以上函数的结构特点之后，你能尝试给出复合函数的概念吗？

复合函数的概念：
一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。
情境三
复合函数的求导法则是什么？一般分几个步骤进行？求复合函数的导数需要注意哪些方面？
复合函数的导数：
复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数及对的导数的乘积．即：若，则

注意：①中间变量的选择应是基本初等函数结构
②关键是正确分清函数的复合层次
③一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地求导
④要善于把一部分表达式作为一个整体
⑤最后要把中间变量换成自变量的函数（即代回）
【典例分析】
例1（课本例4）求下列函数的导数：
（1）；（2）；
（3）（其中均为常数）．
例2求的导数．
【点评】
求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。
变式训练：求下列函数的导数
（1） （2）
（3）
解（3）时注意方法的灵活性，多样性。还要注意体会先化简再求导的优越性。
【课堂练习】：
1．求下列函数的导数
(1) y =sinx3+sin3x；（2）;(3)
2.求的导数
情境四：回顾总结
这节课你学到了什么?把它写下来！

（1）明确了什么是复合函数
（2）学会了分解复合函数
（3）复合函数的求导法则：
（其中为中间变量）。
（4）开阔思路，恰当选用求导数方法．
（5）计算要认真，要学会循序渐进。
习题设计
1. 指出下列函数可由哪些函数复合而成：（知识点2，易）
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；
2.求下列函数的导数：（知识点3，易）
（1）；（2）；（3）；
3. 求y ＝ （）的导数（知识点3，中）
4.设曲线在点处的切线及直线垂直，则= （知识点1，中）
5.已知直线及曲线相切，则的值为（ ）（知识点3，难）
A.1 B.2 C.-1 D.-2
教学课题
选修2-2第一章1.3.1函数的单调性及导数

课标要求

一、知识及技能：
1．理解利用导数判断函数单调性的原理，掌握判断函数单调性的方法及步骤
2．能探索并应用函数的单调性及导数的关系求单调区间；
3.能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性及导数关系逆推。
二、过程及方法：
1. 通过问题的探究，体会知识的类比迁移。以已知探求未知，从特殊到一般的数学思想方法
2. 在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力，渗透数形结合思想、转化思想、分类讨论思想。
三、情感态度及价值观：
通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
认知层次
知识点

识记

理解

应用

综合
知识点1
导数及单调性的关系及判断方法

∨

知识点2
用导数求函数的单调区间

∨

知识点3
利用单调性及导数的关系求参数范围

∨
目标设计
1. 通过师生互动，生生互动的数学活动，形成学生的体验认识
2. 探究函数的单调性及导数的关系
3. 应用函数的单调性及导数的关系求单调区间；
4. 解关于含参数的问题，注意分类讨论点的确认，灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。
教学过程设计
情境设计
问题设计

情境一：高台跳水（课本22页）
如图（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像．

问题1：运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
问题2：你能确定该函数的单调区间吗？
（学生均可直接观察图像（1）得到答案，因为这是学生最熟悉的二次函数图像，找出对称轴即可）
以下换一种思路：下面请同学们观察图像（2）
问题3：在和两个区间上函数值的正负情况如何？（在上，在上）
问题4：对比两种思路得到的结论，你发现了什么？（当时，函数为增函数；当时，函数为减函数）
问题5：你觉得你得到的结论是否具有一般性？

情境二
观察下面函数的图象，探讨函数的单调性及其导数正负的关系

问题1：导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性能否用上面的方法，先做出导函数的图像呢？
问题2：借助你自己画出的对应各函数的导函数图像，你能得到什么样的结论？
问题3：是不是每个函数都会直接给出我们图像，或者我们能很轻易的画出它们的图像便于我们研究呢？
问题4,：如果遇上某个函数，它的图像我们画不出来或者很难画出来怎么办？就不能研究它的单调性了吗？
情境三
试确定函数的单调区间。:
问题1：你能画出该函数的图像吗？
问题2：我们能不能利用高一曾经学过的定义法来解决呢？（定义法太繁琐）
问题3：既然两种方法都不可行，难道我们遇上了过不去的“火焰山”了吗？
情境四：学生探究：
如图，导数表示函数在点处的切线的斜率．函数在某个点处的导数值及函数在该点处的单调性是怎样的关系？

问题1：在处，，切线是什么形式的？（左下右上）
问题2：函数在附近单调性如何？（单调递增）
问题3：在处，，切线形式和函数的单调性又是什么情况？
由此得到函数的单调性及导函数正负的关系如下：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．
问题4：如果在某个区间内恒有那么函数有什么特性？将你得到的结论附加在上面的结论中。
【例题解析】例1：已知导函数的下列信息：
当时，；
当，或时，；
当，或时，
试画出函数图像的大致形状．
例2：判断下列函数的单调性，并求出单调区间．
（1）；（2）；
（3）；
（4）.
例3：求前面提到的函数的单调区间。
归纳求解函数单调区间的步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间
注：对于可导函数来说, 是函数在(a,b)上为单调增函数的充分不必要条件, 是函数在(a,b)上为单调减函数的充分不必要条件,如函数在R上为增函数,但,所以在处不满足
例4：已知函数
（1）若在实数集R上单调递增，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数使在（-1，1）上单调递减？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由
习题设计
1. 函数单调递增区间是（ ）（知识点2，易）
A． B． C． D．
2. 在(0,5)上是（ ）（知识点1，易）
A．单调增函数 B．单调减函数 C．在(0,)上单调递减,在(,5)上是递增函数
D．在(0, )上是递增函数,在(,5)上是递减函数
3. 若函数是R上的单调函数，则的取值范围是_ （知识点3，中）
4. 已知的图象经过点，且在处的切线方程是
（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间。（知识点2，中）
5. 若函数在区间上为减函数，在区间上为减函数，试求实数的取值范围.（知识点3，难）

教学课题
选修2-2第一章1.3.2函数的极值及导数

课标要求

一、知识及技能：
1．结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
2．理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值及极小值
3．掌握求可导函数的极值的步骤；
二、过程及方法：
1. 结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值及导数的关系。
2. 培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。
三、情感态度及价值观：
通过本节的学习，体会导数的方法在研究函数性质的一般性和有效性，通过函数的极值及单调性之间的联系，体会知识的发展的过程，逐步提高科学地分析、解决问题的能力。
认知层次
知识点

识记

理解

应用

综合
知识点1
可导函数在某点取极值的充分、必要条件

∨

知识点2
极值的概念

∨

知识点3
求极值的步骤

∨

知识点4：
极值的综合应用

∨

目标设计

1. 理解极大值、极小值的概念；
2. 能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；
3. 掌握求可导函数的极值的步骤；
4. 通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。
教学过程设计
情境设计
问题设计

情境一
1.通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？（提问学生回答）
t
o
h
a

单调递增
单调递减

2.观察下图表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象，回答以下问题：

问题1：在点t=a附近的图象有什么特点？
问题2：函数在t=a处的函数值和附近函数值之间有什么关系？
问题3：在点t=a附近的导数符号有何变化规律？
问题4：函数在t=a处的导数是多少？
（函数h(t)在a点处h/(a)=0,在t=a的附近,当t＜a时,函数单调递增, ＞0;当t＞a时,函数单调递减, ＜0,即当t在a的附近从小到大经过a时, 先正后负,且连续变化,于是h/(a)=0. ）

情境二
观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答右面的问题：

问题1：函数y=f(x)在a.、b两点的函数值及这些点附近的函数值有什么关系?
问题2：函数y=f(x)在a、b两点的导数值是多少？
问题3：在a、b两点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢？
学生观察图像思考、小组讨论、归纳：
①在点a的左侧及右侧附近,函数y=f(x)的函数值都大于f(a)；在点b的左侧及右侧附近,函数y=f(x)的函数值都小于f(b).
②函数y=f(x)在a点的导数值是； 函数y=f(x)在b点的导数值是
③在a点左侧附近,函数 y=f(x)的导数；在点a右侧附近，函数 y=f(x)的导数，
左右两侧附近的导数值符号要相反。
在点b左侧附近,函数 y=f(x)的导数；在点b右侧附近,函数 y=f(x)的导数，
左右两侧附近的导数值符号要相反。
极值的定义:
我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值。极大值点及极小值点统称为极值点, 极大值及极小值统称为极值.
问题4：通过以上探索，你能归纳出可导函数y=f(x)在某点x0取得极值的充要条件吗？
充要条件：f′(x0)=0且点x0的左右附近的导数值符号要相反
问题5：导数为0的点一定是极值点吗？能举例说明吗？导数为0是可导函数在此处取极值点的什么条件？（必要不充分条件）
情境三 学生探究：
引导学生观察图1.3.10，回答以下问题：
问题1：找出图中的极值点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？
问题2：极大值一定大于极小值吗？
问题3：函数在其定义域内的极大值和极小值具有唯一性吗？
问题4：区间的端点:能成为极值点吗？（此处点出极值点只能出现在区间的内部，而不可能是区间端点）
问题5：极值是相对于函数的定义域而言的吗？（此处引出极值的局部性）
情境四：再探究：
如果，应该如何判断是函数的极大值还是极小值呢？

例1：求函数f(x)= x³-4x+4的极值
归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:
1求f´(x)；2解方程f´(x) =0,当f´(x0) =0时:
（1）如果在x0附近的左侧f´(x)＞0,右侧f´(x)＜0,那么f(x0)是极大值.
（2）如果在x0附近的左侧f´(x)＜0,右侧f´(x)＞0,那么f(x0)是极小值
【课堂练习】
求出下列函数的极值。
(1) (2)
（3）
解题方法总结：
求函数y=f(x)极值(极大值、极小值)的方法：
(1)求导数； (2)令求极值点；
(3)列表，讨论单调性； (4)写出极值.
例2：已知函数在时有极值0，求常数的值。（此题为易错题，通过此题让学生进一步强化函数在某点出取极值的充要条件，并注意验证根的合理性和必要性）
例3：求函数的极值，并讨论为何值时函数恰有一个零点。（极值的应用）
习题设计
1. 给出函数①②③④，其中在x=0处取得极值的函数是
（知识点2，易）
2. 对可导函数，在一点两侧的导数异号是这点为极值点的( ) （知识点1，易）
A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 确定函数y=的单调区间，并求函数的极大、极小值（知识点3，中）
4. 已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是 ( ) （知识点3，中）
(A) (B)
(C)或 (D)或
5. 设a为实数,函数
(Ⅰ)求的极值.
(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线及轴仅有一个交点.（知识点4，难）

教学课题
选修2-2第一章1.3.3函数的最大（小）值及导数

课标要求

一、知识及技能：
1. 理解函数的最大值和最小值的概念，明确极值及最值的区别及联系
2．掌握可导函数在闭区间上所有点（包括端点）处的函数值中的最大（或最小）值存在的充分条件；
3．掌握用导数方法求函数的最值的方法和步骤.
二、过程及方法：
1. 结合学生的知识，理解从特殊到一般的数学思想和归纳的数学方法
2. 通过对函数的极值及最值得类比，体会知识间的联系，逐步提高分析问题及解决问题的能力。
三、情感态度及价值观：
通过教学活动，加深对导数意义的认识，培养学生仔细观察、善于思考、勇于创新的科学素养；激发学习动力，学会数学地思考。
认知层次
知识点

识记

理解

应用

综合
知识点1
最值的概念

∨

知识点2