高二文科数学函数及导数试题及答案.doc

高二文科数学函数及导数试题及答案
恩施市一中2017年春季高二周考试题
文科数学 2017年2月26日
一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)
1.“lgx>lgy”是“>”的(　　)
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
2.命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　)
A． ∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0 B． ∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C． ∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0 D． ∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0
3.抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点坐标为(　　)
A． (1,2) B． (0,0) C． D． (1,4)
4.设f(x)为可导函数，且满足＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是(　　)
A． 1 B． －1 C． D． －2
5.命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的(　　)
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
6.已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)
A． [0，) B． [，) C． (，] D． [，π)
7.函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)(　　)
A． 有最大值，但无最小值 B． 有最大值，也有最小值
C． 无最大值，但有最小值 D． 既无最大值，也无最小值
8.已知f ′(x)是f(x)的导函数，f ′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是(　　)

9.已知f(x)＝x2＋2xf ′(2014)＋2014lnx，则f ′(2014)＝(　　)
A． 2015　　　B． －2015 C． 2014 D． －2014
10.若函数f(x)＝在[－2,2]上的最大值为2，则a的取值范围是(　　)
A． B． C． (－∞，0] D．
11.已知a≤＋lnx对任意x∈恒成立，则a的最大值为(　　)
A． 0　　　　　B． 1　　　　　C． 2　　　　　D． 3
12.函数f (x)的定义域为R，f (－1)＝2，对任意x∈R，f ′(x)>2，则f (x)>2x＋4的解集为(　　)
A． (－1,1) B． (－1，＋∞) C． (－∞，－1) D． (－∞，＋∞)
二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)
13.已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
14.函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间上的值域为________．
15.如果函数f(x)＝2x2－lnx在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
16.已知f(x)＝x3＋x2f ′(1)＋3xf ′(－1)，则f ′(1)＋f ′(－1)的值为________．
三、解答题(共6小题 ,共70分)
17.(满分10分)(1)求过曲线y＝sinx上点P 且及过这点的切线垂直的直线方程．
(2)已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y＝x2上的两点，求及直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．

18. (满分12分)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线及直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．

19. (满分12分)已知函数f(x)＝x2＋lnx.
(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大、最小值；
(2)求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方．

20. (满分12分)已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12.
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在自然数m，使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由．

21. (满分12分)某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数及商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

22. (满分12分)已知函数f(x)＝x2－alnx在(1,2]上是增函数，g(x)＝x－a 在(0,1]上为减函数．
(1)求f(x)，g(x)的表达式；
(2)求证：当x>0时，方程f(x)＝g(x)＋2有唯一解；
(3)当b>－1时，若f(x)≥2bx－在x∈(0,1]内恒成立，求b的取值范围．

答案解析
1.【答案】A
【解析】若lgx>lgy成立，则>一定成立；而当>成立时，例如x＝1，y＝0，此时lgx>lgy不成立．
2.【答案】C
【解析】“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”是含有全称量词的命题，其否定是“∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0”，
3.【答案】C
【解析】因为y＝4x2及y＝4x－5不相交，设及y＝4x－5平行的直线方程为y＝4x＋m.
则⇒4x2－4x－m＝0.①
设此直线及抛物线相切有Δ＝0，
即Δ＝16＋16m＝0，∴m＝－1.
将m＝－1代入①式，x＝，y＝1，
所求点的坐标为.
4.【答案】B
【解析】∵＝－1，
∴＝－1，
∴f′(1)＝－1.
5.【答案】A
【解析】f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1<x<1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.
6.【答案】D
【解析】∵y＝，∴y′＝.
令ex＋1＝t，则ex＝t－1且t>1，
∴y′＝＝－.
再令＝m，则0<m<1，
∴y′＝4m2－4m＝4(m－)2－1，m∈(0,1)．
容易求得－1≤y′<0，∴－1≤tanα<0，得π≤α<π.
7.【答案】D
【解析】f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.
8.【答案】D
【解析】从f′(x)的图象可以看出，在区间内，导数递增；在区间内，导数递减．即函数f(x)的图象在内越来越陡峭，在内越来越平缓．
9.【答案】B
【解析】f′(x)＝x＋2f′(2014)＋，所以f′(2014)＝2014＋2f′(2014)＋，即f′(2014)＝－(2014＋1)＝－2015.
10.【答案】D
【解析】当x≤0时，f′(x)＝6x2＋6x，易知函数f(x)在(－∞，0]上的极大值点是x＝－1，且f(－1)＝2，故只要在(0,2]上，eax≤2即可，即ax≤ln 2在(0,2]上恒成立，即a≤在(0,2]上恒成立，故a≤ln 2.
11.【答案】A
【解析】设f(x)＝＋lnx，则f′(x)＝＋＝.当x∈时，f′(x)<0，
故函数f(x)在上单调递减；当x∈(1,2]时，f′(x)>0，故函数f(x)在(1,2]上单调递增，
∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，即a的最大值为0.
12.【答案】B
【解析】设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，则m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函数．
∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，
∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．
13.【答案】(－∞，2ln 2－2]
【解析】函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln 2－2即可．
14.【答案】
【解析】∵x∈，∴f′(x)＝excosx≥0，
∴f(0)≤f(x)≤f，即≤f(x)≤e.
15.【答案】1≤k<
【解析】显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，y′＝4x－＝.
由y′>0，得函数f(x)的单调递增区间为；
由y′<0，得函数f(x)的单调递减区间为，
由于函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，
所以解得1≤k<.
16.【答案】－
【解析】∵f′(x)＝3x2＋2f′(1)x＋3f′(－1)，
∴
由①②得f′(－1)＝－，f′(1)＝.
∴f′(－1)＋f′(1)＝－.
17.【答案】(1) 2x＋y－－＝0. (2) 4x－4y－1＝0
【解析】(1)∵y＝sinx，∴y′＝cosx，
曲线在点P处的切线斜率是：
y′|x＝＝cos＝.
∴过点P且及切线垂直的直线的斜率为－，
故所求的直线方程为y－＝－，
即2x＋y－－＝0.
(2)∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，
则y′|x＝x0＝2x0，
又∵PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ，
∴k＝2x0＝1，即x0＝，
所以切点为M.
∴所求的切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
18.【答案】(1)由7x－4y－12＝0得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①
又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②
由①，②得解之得.
故f(x)＝x－.
(2)证明　设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知
曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(1＋)(x－x0)，
即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．
令x＝0得y＝－，从而得切线及直线x＝0的交点坐标为(0，－)．
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线及直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线及直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线及直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
【解析】
19.
【答案】(1)　由f(x)＝x2＋lnx得f′(x)＝′＝x＋，在[1，e]上，f′(x)>0，
所以函数f(x)是增函数．
所以f(x)max＝f(e)＝e2＋1；
f(x)min＝f(1)＝.
(2)证明　设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋lnx－x3，
则F′(x)＝x＋－2x2＝，
因为x>1，所以F′(x)<0.
所以函数F(x)在[1，＋∞)上是减函数．
又F(1)＝－，
所以在[1，＋∞)上，有F(x)<0，即f(x)<g(x)．
所以在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方．
【解析】
20.【答案】(1)f(x)＝2x2－10x(x∈R)．
(2) 存在唯一的自然数m＝3，使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不等的实数根
【解析】(1)∵f(x)是二次函数，且f(x)<0的解集是(0,5)，
∴可设f(x)＝ax(x－5)(a>0)．
∴f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a.
由已知，得6a＝12，∴a＝2，
∴f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R)．
(2)方程f(x)＋＝0等价于方程2x3－10x2＋37＝0
设h(x)＝2x3－10x2＋37，
则h′(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)．
当x∈时，h′(x)<0，h(x)是减函数；
当x∈时，h′(x)>0，h(x)是增函数．
∵h(3)＝1>0，h＝－<0，h(4)＝5>0，
∴方程h(x)＝0在区间，内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，
∴存在唯一的自然数m＝3，使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不等的实数根．
21.【答案】(1)f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,30]．
(2)定价为18元能使一个星期的商品销售利润最大
【解析】(1)设商品降低x元时，多卖出的商品件数为kx2，
若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，
则依题意有f(x)＝(30－x－9)·(432＋kx2)
＝(21－x)·(432＋kx2)，
又由已知条件24＝k·22，于是有k＝6，
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,30]．
(2)根据(1)，有f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12)．
当x变化时，f(x)及f′(x)的变化情况如下表：

故x＝12时，f(x)达到极大值．
因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，
所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．
22.【答案】(1)f′(x)＝2x－(x>0)．令f′(x)≥0，解得a≤2x2，∴a≤2.g′(x)＝1－.令g′(x)≤0，解得a≥2，∴a≥2，∴a＝2.∴f(x)＝x2－2lnx，g(x)＝x－2.
(2)当x>0时，方程f(x)＝g(x)＋2即为x2－2lnx－x＋2－2＝0.设h(x)＝x2－2lnx－x＋2－2，则h′(x)＝2x－－1＋＝(x－1)(x＋1)－＝·[2(＋1)(x＋1)－]＝(2x＋2x＋＋2)．
令h′(x)>0，解得x>1.令h′(x)<0，解得0<x<1.当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：

∴h(x)在x＝1处取最小值0，∴h(x)＝0只有一个解，即当x>0时，方程f(x)＝g(x)＋2有唯一解．
(3)∴f′(x)＝2x－＝，
∴当x∈(0,1]时，f(x)为减函数，其最小值为f(1)＝1.
令h(x)＝2bx－，则h′(x)＝2b＋.
∵b>－1，x∈(0,1]，∴h′(x)>0在(0,1]上恒成立，
∴函数h(x)＝2bx－在x∈(0,1]上为增函数，其最大值为h(1)＝2b－1.
故f(x)－h(x)在(0,1]上为减函数，其最小值为2－2b.依题意，得
解得－1<b≤1.
【解析】

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