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初中几何练习题
一． 三角形
1.三角形的有关概念
一、填空题：
1、三角形的三边为1，，9，则的取值范围是 。
2、已知三角形两边的长分别为1和2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为 。
3、在△ABC中，若∠C＝2（∠A＋∠B），则∠C＝ 度。
4、如果△ABC的一个外角等于1500，且∠B＝∠C，则∠A＝ 。
5、如果△ABC中，∠ACB＝900，CD是AB边上的高，则与∠A相等的角是 。
6、如图，在△ABC中，∠A＝800，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，那么∠BDC＝ 。
7、如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝18cm，△CBD的周长为28 cm，则DB＝ 。
8、纸片△ABC中，∠A＝650，∠B＝750，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝200，则∠2的度数为 。
9、在△ABC中，∠A＝500，高BE、CF交于点O，则∠BOC＝ 。

二、选择题：
1、若△ABC的三边之长都是整数，周长小于10，则这样的三角形共有（ ）
A、6个 B、7个 C、8个 D、9个
2、在△ABC中，AB＝AC，D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（ ）
A、300 B、360 C、450 D、720
3、等腰三角形一腰上的中线分周长为15和12两部分，则此三角形底边之长为（ ）
A、7 B、11 C、7或11 D、不能确定
4、在△ABC中，∠B＝500，AB＞AC，则∠A的取值范围是（ ）
A、00＜∠A＜1800 B、00＜∠A＜800 C、500＜∠A＜1300 D、800＜∠A＜1300
5、如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、正三角形
三、解答题：
1、有5根木条，其长度分别为4，8，8，10，12，用其中三根可以组成几种不同形状的三角形？

2、长为2，3，5的线段，分别延伸相同长度的线段后，能否组成三角形？若能，它能构成直角三角形吗？为什么？

3、如图，在△ABC中，∠A＝960，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于，∠BC与∠CD的平分线相交于，依此类推，∠BC与∠CD的平分线相交于，则∠的大小是多少？

4、如图，已知OA＝，P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝600，填空：
（1）当OP＝ 时，△AOP为等边三角形；
（2）当OP＝ 时，△AOP为直角三角形；
（3）当OP满足 时，△AOP为锐角三角形；
（4）当OP满足 时，△AOP为钝角三角形。

2、等腰三角形
一、填空题：
1、等腰三角形的两外角之比为5∶2，则该等腰三角形的底角为 。
2、在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，DE垂直平分AB，E为垂足，则∠C＝ 。
3、等腰三角形的两边长为4和8，则它腰上的高为 。
4、在△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为 。
5、如图，AB＝BC＝CD，AD＝AE，DE＝BE，则∠C的度数为 。

6、如图，D为等边△ABC内一点，DB＝DA，BP＝AB，∠DBP＝∠DBC，则∠BPD＝ 。
7、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，已知下列四个式子：
①∠1＝（∠2＋∠3） ②∠1＝2（∠3－∠2）
③∠4＝（∠3－∠2） ④∠4＝∠1
其中有两个式子是正确的，它们是 和 。
二、选择题：
1、等腰三角形中一内角的度数为500，那么它的底角的度数为（ ）
A、500 B、650 C、1300 D、500或650
2、如图，D为等边△ABC的AC边上一点，且∠ACE＝∠ABD，CE＝BD，则△ADE是（ ）
A、等腰三角形 B、直角三角形 C、不等边三角形 D、等边三角形

3、如图，在△ABC中，∠ABC＝600，∠ACB＝450，AD、CF都是高，相交于P，角平分线BE分别交AD、CF于Q、S，那么图中的等腰三角形的个数是（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
4、如图，已知BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，设AB＝12，BC＝24，AC＝18，则△AMN的周长是（ ）
A、30 B、33 C、36 D、39

5、如图，在五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝1200，EA＝AB＝BC＝DC＝DE，则∠D＝（ ）
A、300 B、450 C、600 D、67.50
三、解答题：
1、如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别为AB、BC、CA上的点，且BD＝CE，∠DEF＝∠B。求证：△DEF是等腰三角形。

2、为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长为10米的等腰三角形绿地。请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。

3、如图，在锐角△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠ABC的平分线与AD垂直，垂足为D，求证：AC＝2BD。

4、在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠DAE＝600，AE交∠C的外角平分线于E，那么△ADE是什么三角形？证明你的结论。
3、全等三角形
一、填空题：
1、若△ABC≌△EFG，且∠B＝600，∠FGE－∠E＝560，则∠A＝ 度。
2、如图，AB∥EF∥DC，∠ABC＝900，AB＝DC，那么图中有全等三角形 _________对。
3、如图，在△ABC中，∠C＝900，BC＝40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC∶DB＝3∶5，则点D到AB的距离是 。

4、如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件： ，使△AEH≌△CEB。
5、如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等的线段 （不包括AB＝CD和AD＝BC）。
6、如图，∠E＝∠F＝900，∠B＝∠C，AE＝AF。给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN。其中正确的结论是 _（填序号）。

二、选择题：
1、如图，AD⊥AB，EA⊥AC，AE＝AD，AB＝AC，则下列结论中正确的是（ ）
A、△ADF≌△AEG B、△ABE≌△ACD
C、△BMF≌△CNG D、△ADC≌△ABE
2、如图，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF交于点O，∠A＝600，∠B＝250，则∠EOB的度数为（ ） A、600 B、700 C、750 D、850
3. 三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（ ）
A、相等 B、不相等 C、互余 D、互补或相等
三、解答题：
1、如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC＝AD。求证：△ABE和△BDC是等腰三角形。

2、如图，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，点F是CD的中点。
（1）求证：AF⊥CD；（2）在你连结BE后，还能得出什么新结论？请再写两个。

3、（1）已知，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF＝1000，求证：△ABC≌△DEF；
（2）上问中，若将条件改为AB＝DE，，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF＝700，结论是否还成立，为什么？

4、如图，已知∠MON的边OM上有两点A、B，边ON上有两点C、D，且AB＝CD，P为∠MON的平分线上一点。问：
（1）△ABP与△PCD是否全等？请说明理由。
（2）△ABP与△PCD的面积是否相等？请说明理由。

5、如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，点E、F分别为垂足，且AC∥BD。
（1）根据所给条件，指出△ACE和△BDF具有什么关系？请你对结论予以证明。
（2）若△ACE和△BDF不全等，请你补充一个条件，使得两个三角形全等，并给予证明。

二．四边形
一、填空：
1、对角线______________平行四边形是矩形。
2、如图⑴已知O是□ABCD的对角线交点，AC＝24，BD＝38，AD＝14，那么△OBC的周长等于______________
A
B
D
C
O
⑴
A
D
B
C
F
E
⑷
A
B
D
C
E
⑶
A
B
D
C
O
⑵

3、在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D,则∠A＝_______，∠D＝_______
4、一个平行四边形的周长为70cm，两边的差是10cm，则平行四边形各边长为＿__________cm。
5、已知菱形的一条对角线长为12cm，面积为30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为__________cm。
6、菱形ABCD中，∠A＝60o，对角线BD长为7cm，则此菱形周长__________cm。
7、如果一个正方形的对角线长为，那么它的面积____________。
8、如图2矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠AOB＝60o,AB＝8,则矩形对角线的长____________
9、如图3,等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，BC＝8，AB＝6，AD＝5则△CDE周长_______。
10、正方形的对称轴有________条
11、如图4，BD是□ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是__________________
12、要从一张长为40cm，宽为20cm的矩形纸片中，剪出长为18cm，宽为12cm的矩形纸片，最多能剪出___________张。
二、选择题：
13、在□ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　）
A、1：2：3：4　　B、1：2：2：1　　C、2：2：1：1　　D、2：1：2：1
14、菱形和矩形一定都具有的性质是（　　）
A、对角线相等　　　　B、对角线互相垂直　　
C、对角线互相平分　　D、对角线互相平分且相等
15、下列命题中的假命题是（　　）
A、等腰梯形在同一底边上的两个底角相等
B、对角线相等的四边形是等腰梯形
C、等腰梯形是轴对称图形
D、等腰梯形的对角线相等
16、四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，能判定它是正方形的是（　　）
A、AO＝OC，OB＝OD　　　　　　 B、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
C、AO＝OC，OB＝OD，AC⊥BD　　D、AO＝OC＝OB＝OD
17、给出下列四个命题
⑴一组对边平行的四边形是平行四边形　
⑵一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
⑶两条对角线互相垂直的矩形是正方形　
⑷顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是等腰梯形。
其中正确命题的个数为（　　）
A、1个　　B、2个　　C、3个　　D、4个
18、下列矩形中按虚线剪开后，能拼成平行四边形，又能拼成直角三角形的是（　　）
中
点
中
点
中
点

　　　　A　　　　　　　　B　　　　　　　　　C　　　　　　　　　D
三、解答题
19、如图：在□ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25o，
求∠C、∠B的度数。
E
C
D

A

B

20、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠D＝120o,对角线CA平分∠BCD，且梯形的周长20，求AC。
A
D
B
C

21、如图：在正方形ABCD中，E为CD边上的一点，F为BC的延长线上一点，CE＝CF。
⑴△BCE与△DCF全等吗？说明理由；⑵若∠BEC＝60o，求∠EFD。
D
A

E

60o

F
B
C

22证明题：如图，△ABC中∠ACB＝90o，点D、E分别是AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF＝∠A。 求证：四边形DECF是平行四边形。
A
B
D
C
F
E

23、已知：如图所示，△ABC中，E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且DE∥AC，DF∥AB，要使四边形AEDF是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是_________________________, 试证明：这个多边形是菱形。
A

E
F

C
D
B

24、应用题
某村要挖一条长1500米的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8米，渠底宽为1.2米，腰与渠底的夹角为135o，问挖此渠需挖出土多少方？

25、（10分）观察下图
⑴正方形A中含有＿＿＿＿＿个小方格，即A的面积为＿＿＿＿个单位面积。
⑵正方形B中含有＿＿＿＿＿个小方格，即B的面积为＿＿＿＿个单位面积。
⑶正方形C中含有＿＿＿＿＿个小方格，即C的面积为＿＿＿＿个单位面积。
⑷你从中得到的规律是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

C
B
A

（1）三角形的有关概念答案
一、填空题：1、；2、2；3、1200；4、300或1200；5、∠DCB；6、500；7、8cm；8、600；9、1300；
二、选择题：CBCBB
三、解答题：
1、6种（4、8、8；4、8、10；8、8、10；8、8、12；8、10、12、4、10、12）
2、可以，设延伸部分为，则长为，，的三条线段中，最长∵ ∴只要，长为，，的三条线段可以组成三角形，设长为的线段所对的角为，则为△ABC的最大角，又由，当，即时，△ABC为直角三角形。 3、30
4、（1）；（2）或；（3）＜OP＜；（4）0＜OP＜或OP＞
（2）等腰三角形参考答案
一、填空题：1、300；2、720；3、；4、360；5、360；6、300；7、①③
二、选择题：DDDAC
三、解答题：1、证△DBE≌△ECF
2、提示：分两种情况讨论。不妨设AB＝10米，作CD⊥AB于D，则CD＝6米。（1）当AB为底边时，AC＝BC＝米；
（2）当AB为腰且三角形为锐角三角形时，AB＝AC＝10米，BC＝米；
（3）当AB为腰且三角形为钝角三角形时，AB＝BC＝10米，AC＝米；
3、提示：延长AD交BC于点M。 4、△ADE为等边三角形。
（3）全等三角形参考答案
一、填空题：
1、32；2、3；3、15；4、AH＝BC或EA＝EC或EH＝EB等；
5、DC＝DE或BC＝BE或OA＝OE等；6、①②③
二、选择题：BBDA
三、解答题：
1、略； 2、（1）略；（2）AF⊥BE，AF平分BE等；
3、（1）略；（2）不成立，举一反例即能说明；
4、（1）不一定全等，因△ABP与△PCD中，只有AB＝CD，而其它角和边都有可能不相等，故两三角形不一定全等。（2）面积相等，因为OP为∠MON平分线上一点，故P到边AB、CD上的距离相等，即△ABP中AB边上的高与△PCD中CD边上的高相等，又根据AB＝CD（即底边也相等）从而△ABP与△PCD的面积相等。
5、（1）△ACE和△BDF的对应角相等；（2）略

（4）四边形答案
一、⑴相等；⑵45；⑶∠A＝120o，∠D＝60o；⑷22.5，12.5；⑸5；⑹28；⑺1；⑻16；⑼15；⑽4；⑾略；⑿3。 二、⒀D；⒁C；⒂B；⒃B；⒄B；⒅B
19、解：∠BAD＝2∠DAE＝2×25o＝50o　　（2分）
又∵□ABCD　　∴∠C＝∠BAD＝50o　　　（4分）∴AD∥BC
∴∠B＝180o－∠BAD　　　（6分）＝180o－50o＝130o　　（8分）
20、解：∵AD∥BC　∴∠1＝∠2　又∠2＝∠3∴∠1＝∠3　　AD＝DC　　（2分）
又AB＝DC　得AB＝AD＝DC＝
在△ADC中∵∠D＝120o　∠1＝∠3＝
A
D
B
C
1
2
3
又∠BCD＝2∠3＝60o ∴∠B=∠BCD=60o （4分）
∠BAD＝180o－∠B－∠2＝90o　　∠2＝30o
则BC＝2AB＝2x （6分）
AB＝4　　BC＝8　　在Rt△ABC中AC＝　　（8分）
21、⑴△BCE≌△DCF　理由：因为四边形ABCD是正方形∴BC＝CD，∠BCD＝90o
∴∠BCE＝∠DCF　　又CE＝CF　　∴△BCE≌△DCF　　（4分）
⑵∵CE＝CF∴∠CEF＝∠CFE　∵∠FCE＝90o∴∠CFE＝
又∵△BCE≌△DCF　∴∠CFD＝∠BEC＝60o　　（6分）
∴∠EFD＝∠CFD－∠CFE＝60o－45o＝15o　　（8分）
22、证明：∵D、E分别是AC、AB的中点　　∴DE∥BC　　（1分）
∵∠ACB＝90o ∴CE=AB＝AE　（3分）∵∠A＝∠ECA　∴∠CDF＝∠A　（4分）
∴∠CDF＝∠ECA ∴DF∥CE ∴四边形DECF是平行四边形　　
23、答条件AE＝AF（或AD平分角BAC，等）　
证明：∵DE∥AC　　DF∥AB ∴四边形AEDF是平行四边形　　（6分）
又AE＝AF ∴四边形AEDF是菱形（8分）
24、如图所示设等腰梯形ABCD为渠道横断面，分别作DE⊥AB，CF⊥AB　（2分）
垂足为E、F则CD＝1.2米，DE＝CF＝0.8米∠ADC＝∠BCD＝135o　　（4分）
A
B
D
C
E
F
AB∥CD　　∠A+∠ADC＝180o　∴∠A＝45o＝∠B
又DE⊥AB　CF⊥AB　∴∠EDA＝∠A　∠BCF＝∠B　　
∴AE＝DE＝CF＝BF＝0.8米
又∵四边形CDEF是矩形　∴EF＝CD＝1.2米　（6分）　
S梯形ABCD＝
∴所挖土方为1.6×1500＝2400（立方米）　　（8分）
（解析：解决本题的关键是数学建模，求梯形面积时，注意作辅助线，把梯形问题向三角形和矩形转化）
25、①4，4②9，9③13，13④在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方　　
《圆》章节知识点复习
一、圆的概念
集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内 点在圆内；
2、点在圆上 点在圆上；
3、点在圆外 点在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；

四、圆与圆的位置关系
外离（图1） 无交点 ；
外切（图2） 有一个交点 ；
相交（图3） 有两个交点 ；
内切（图4） 有一个交点 ；
内含（图5） 无交点 ；

五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
∴弧弧
例题1、 基本概念
1．下面四个命题中正确的一个是（ ）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心
2．下列命题中，正确的是（　　）．
　A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 　B．过弦的中点的直线必过圆心
　C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 　D．弦的垂线平分弦所对的弧
例题2、垂径定理
1、 在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是________cm.

2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm，那么油的最大深度为________cm.
3、如图，已知在⊙中，弦，且，垂足为，于，于.
（1）求证：四边形是正方形.
（2）若，，求圆心到弦和的距离.

4、已知：△ABC内接于⊙O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长．
5、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是的中点，AD⊥BC于D，求证：AD=BF.

例题3、度数问题
1、已知：在⊙中，弦，点到的距离等于的一半，求：的度数和圆的半径.

2、已知：⊙O的半径，弦AB、AC的长分别是、.求的度数。
例题4、相交问题
如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.
A
B
D
C
E
O

例题5、平行问题
在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.

例题6、同心圆问题
如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为.求证：.

例题7、平行与相似
已知：如图，是⊙的直径，是弦，，于.求证：.

六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①；②；
③；④ 弧弧
七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角
∴
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙中，∵是直径 或∵
∴ ∴是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△中，∵
∴△是直角三角形或
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？

【例2】如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长．
【例3】如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．
（1）求证：AC⊥OD； （2）求OD的长； （3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．

【例4】四边形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图，求BD的长．

【例5】如图1，AB是半⊙O的直径，过A、B两点作半⊙O的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O上C点时，则有AC·AC＋BC·BC=AB2．
（1）如图2，若两弦交于点P在半⊙O内，则AP·AC＋BP·BD=AB2是否成立？请说明理由．
（2）如图3，若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB2= ．参照（1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性．

八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中，
∵四边形是内接四边形
∴

例1、如图7-107，⊙O中，两弦AB∥CD，M是AB的中点，过M点作弦DE．求证：E，M，O，C四点共圆．
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵且过半径外端
∴是⊙的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵、是的两条切线
∴
平分

利用切线性质计算线段的长度
例1：如图，已知：AB是⊙O的直径，P为延长线上的一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，又PC=4，⊙O的半径为3．求：OD的长．

利用切线性质计算角的度数
例2：如图，已知：AB是⊙O的直径，CD切⊙O于C，AE⊥CD于E，BC的延长线与AE的延长线交于F，且AF=BF．求：∠A的度数．

利用切线性质证明角相等
例3：如图，已知：AB为⊙O的直径，过A作弦AC、AD，并延长与过B的切线交于M、N．求证：∠MCN=∠MDN．

利用切线性质证线段相等
例4：如图，已知：AB是⊙O直径，CO⊥AB，CD切⊙O于D，AD交CO于E．求证：CD=CE．

利用切线性质证两直线垂直
例5：如图，已知：△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于D，DE切⊙O于D，交AC于E．求证：DE⊥AC．

十一、圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙中，∵弦、相交于点，
∴
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙中，∵直径，
∴
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙中，∵是切线，是割线
∴
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙中，∵、是割线
∴
例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。

例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。

图2
例3.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。

图3
例4.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，（1）求证：；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。

图4
例5.如图5，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。求证：AD·BC＝CD·AB

图5
例6.如图6，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC于点D，过D点作⊙O的切线交AC于E。

图6
求证：BC＝2OE。
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：垂直平分。
即：∵⊙、⊙相交于、两点
∴垂直平分
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：中，；
（2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。
十四、圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；

（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在中进行，：

（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在中进行，.

十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式：；
（2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
=
（2）圆柱的体积：
3 .圆锥侧面展开图
（1）=
（2）圆锥的体积：

圆复习测试

班级________学号_________姓名_________________
一、填空(每题2分,共30分)
1、在⊙O中，AB是直径，CD是弦，若AB⊥CD于E，且AE=2，BE=8，则CD=______.
2、在圆内接四边形ABCD中，若AB=BC=CD，AC是对角线，∠ACD=30°，则∠CAD=______°.
3、如图1,∠APC=30°，弧BD等于30°，则弧AC等于_______°,∠AEB=_____°.
4、过⊙O内一点P，的最长弦是10，最短的弦是6，那么OP的长为____________.
5、圆内相交的两弦中，一弦长是20，且被交点平分，另一弦被交点分成两线段之比是1：4，另一弦长是____________.
6、在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=5：2：1，则∠D=_______.
7、若PA、PB分别切⊙O于A、B，∠APB=60°，OP=12，则OA=______,PB=________.
8、⊙O的内接正方形ABCD的边长为6，E是BC的中点,AE的延长线交⊙O于F，则EF=______

9、△ABC中,∠A=80°,若O1是内心,则∠BO1C=_____；若O2是外心,则∠BO2C=______.
10、如图2，AB=BC=CD，过点D作B的切线DE，E为切点，过C点作AD的垂线交DE于F，则EF：FD=___________(填比值).
11、如图3，⊙O中弦AD、CE相交于点F，过点A作⊙O的切线与EC延长线相交于点B，若AB=BF=FD，BC=1，CE=8，则AF=______________.
12、如图4，PAB、PCD是⊙O的两条割线。且PA=AB，CD=3PC，则PC：PA=______.
二、选择题（每题3分，共27分）
1、下列命题中假命题是 （ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．圆内接四边形对角互补
C．一条弧的对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍 D．直径所对的圆周角是直角
2、圆的外切平行四边形为 （ ）
A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．平行四边形
3、已知⊙O的半径为6cm,⊙O的一条弦AB的长为cm,则弦AB所对的圆周角是