初一常用几何证明的定理总结.doc

初一常用几何证明的定理总结
对顶角相等：

几何语言：∵∠1、∠2是对顶角
∴∠1＝∠2（对顶角相等）
垂线：

几何语言：正用
反用：
∵∠AOB＝90°
∵AB⊥CD
∴AB⊥CD（垂直的定义）
∴∠AOB＝90°（垂直的定义）
证明线平行的方法：

1、平行公理
如果两条直线都与第三条直线平行，那么，这两条直线也平行。
简述为：平行于同一直线的两直线平行。
几何语言叙述：
如图：∵AB∥EF，CD∥EF
∴AB∥CD（平行于同一直线的两直线平行。）

2、同位角相等，两直线平行。
几何语言叙述：
如图：∵直线AB、CD被直线EF所截
∠1＝∠2
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行。）

3、内错角相等，两直线平行。
几何语言叙述：
如图：∵直线AB、CD被直线EF所截，∠1＝∠2
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行。）

4、同旁内角互补，两直线平行。
几何语言叙述：
如图：∵直线AB、CD被直线EF所截，∠1+∠2＝180O
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行。）

5、垂直于同一直线的两直线平行。
几何语言叙述：
如图：∵直线a⊥c，b⊥c
∴a∥b（垂直于同一直线的两直线平行。）

平行线的性质：

1、两直线平行，同位角相等。
几何语言叙述：∵AB∥CD
∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等。）

2、两直线平行，内错角相等。
几何语言叙述：
如图：∵ AB∥CD
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等。）

3、两直线平行，同旁内角互补。
几何语言叙述：
如图：∵AB∥CD
∴∠1+∠2＝180O（两直线平行，同旁内角互补。）

证明角相等的其余常用方法：
1、余角的性质：
同角或等角的余角相等。
例：∵如图∠AOB＋∠BOC＝90°
∠BOC＋∠COD＝90°
∴∠AOB＝∠COD（同角的余角相等）

2、补角的性质：
同角或等角的补角相等。
例：∵如图∠AOB＋∠BOD＝180°，∠AOC＋∠COD＝180°
且∠BOD＝∠AOC
∴∠AOB＝∠COD（同角的补角相等）

三角形中三种重要线段：

1、三角形的角平分线：
几何语言叙述：∵如图BD是△ABC的角平分线
∴∠ABD＝∠CBD=∠ABC

2、三角形的中线：
几何语言叙述：∵如图BD是△ABC的中线
∴AD＝BD＝AB

3、三角形的高线：
几何语言叙述：∵如图AD是△ABC的高
∴∠ADB＝∠ADC＝90°

三角形的分类：

三角形三边的关系：
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
如图：|AB－AC|<BC<AB＋AC

三角形内角和定理及推论

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°
几何语言叙述：
如图：∠A＋∠B＋∠C＝108°（三角形三个内角的和等于180°）

三角形内角和定理推论1：
直角三角形的两锐角互余。
几何语言叙述：如图：∵△ABC中，∠C＝90°
∴∠A＋∠B＝90°（直角三角形的两锐角互余）

三角形内角和定理推论2：
三角形的一个外交等于和它不相邻的两内角之和。
几何语言叙述：如图：∵∠ACD是△ABC的外角
∴∠ACD＝∠A＋∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和）

三角形内角和定理推论3：
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
几何语言叙述：如图：∵∠ACD是△ABC的外角
∴∠ACD>∠B（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）

平面直角坐标系各个象限内和坐标轴的点的坐标的符号规律：
（1）x轴将坐标平面分为两部分，x轴上方的纵坐标为正数；x轴下方的点纵坐标为负数。即第一、二象限及y轴正方向（也称y轴正半轴）上的点的纵坐标为正数；第三、四象限及y轴负方向（也称y轴负半轴）上的点的纵坐标为负数。
反之，如果点P（a ，b）在x轴上方，则b>0；如果P（a ，b）在x轴下方，则b<0。
(2)y轴将坐标平面分成两部分，y轴左侧的点的横坐标为负数；y轴右侧的点的横坐标为正数。即第二、三象限和x轴的负半轴上的点的横坐标为负数；第一、四象限和x轴正半轴上的点的横坐标为正数。
（3）规定坐标原点的坐标为（0 ，0）
（4）各个象限内的点的符号规律如下表：
坐标符号

点所在位置
横坐标
纵坐标
第一象限
＋
＋
第二象限
－
＋
第三象限
－
－
第四象限
＋
－
上表反推也成立。如：若点P（a ，b）在第四象限，则a>0，b<0
(5)坐标轴上的点的符号规律：
坐标符号

点所在位置
横坐标
纵坐标
X轴
正半轴
＋
0
负半轴
－
0
Y轴
正半轴
0
＋
负半轴
0
－
原点
0
0
对称点的坐标特征：
（1）关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数。如点P（x 1 ，y 1）与Q（x 2 ，y 2）关于x轴对称，则反之也成立。如P（2 ，－3）与Q（2 ，3）关于x轴对称。
（2）关于y轴对称的两点：纵坐标相同，横坐标互为相反数。如点P（x 1 ，y 1）与Q（x 2 ，y 2）关于y轴对称，则反之也成立。如P（2 ，－3）与Q（－2 ，－3）关于y轴对称。
（3）关于原点对称的两点：纵坐标、横坐标都互为相反数。如点P（x 1 ，y 1）与Q（x 2 ，y 2）关于原点对称，则反之也成立。如P（2 ，－3）与Q（－2 ，3）关于原点对称。