立体几何第二章空间点线面的位置关系单元测试题.docx

第二章综合素能检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为(　　)
A．5　　　 B．4　　　
C．9　　　 D．1
[答案]　D
[解析]　由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．
2．教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它及直尺所在直线(　　)
A．平行 B．垂直
C．相交 D．异面
[答案]　B
[解析]　当直尺垂直于地面时，A不对；当直尺平行于地面时，C不对；当直尺位于地面上时，D不对．
3．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题正确的是(　　)
A．若α、β垂直于同一平面，则α及β平行
B．若m、n平行于同一平面，则m及n平行
C．若α、β不平行，则在α内不存在及β平行的直线
D．若m、n不平行，则m及n不可能垂直于同一平面
[答案]　D
[解析]　A项，α、β可能相交，故错误；
B项，直线m、n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；
C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；
D项，假设m、n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．
4．已知α、β是两个平面，直线l⊄α，l⊄β，若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有(　　)
A．①③⇒②；①②⇒③
B．①③⇒②；②③⇒①
C．①②⇒③；②③⇒①
D．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①
[答案]　A
[解析]　因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，
又因为l⊥α，所以l∥m.又因为l⊄β，所以l∥β，即①③⇒②；
因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，
又因为l⊥α，所以n⊥α，
又因为n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③.
5．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，若过C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H一定在(　　)

A．直线AC上 B．直线AB上
C．直线BC上 D．△ABC的内部
[答案]　B
[解析]　∵∠BAC＝90°，∴BA⊥AC．
又∵BC1⊥AC，
∴AC⊥平面ABC1，∴平面ABC⊥平面ABC1.
∵平面ABC∩平面ABC1＝AB，
∴C1在面ABC上的射影在直线AB上．
6．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A及l，α都成30°角的直线有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
[答案]　B
[解析]　如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件，故选B．

7．(2016·浙江文)已知互相垂直的平面α、β交于直线l.若直线m、n满足m∥α，n⊥β，则(　　)
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
[答案]　C
[解析]　选项A，只有当m∥β或m⊂β时，m∥l；选项B，只有当m⊥β时，m∥n；选项C，由于l⊂β，∴n⊥l；选项D，只有当m∥β或m⊂β时，m⊥n，故选C．
8．(2016·南安一中高一检测)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC及MN所成的角为(　　)

A．30° B．45°
C．60° D．90°
[答案]　C
[解析]　如图，连接A1C1、BC1、A1B．
∵M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，
∴MN∥BC1.
又A1C∥AC，
∴∠A1C1B为异面直线AC及MN所成的角．
∵△A1BC1为正三角形，
∴∠A1C1B＝60°.故选C．

9．等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A及C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
[答案]　C
[解析]　如图，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°知A′C＝.

∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝，且CM⊥BM，AM⊥BM，
∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．
∵AC＝1，MC＝MA＝，∴MC2＋MA2＝AC2，
∴∠CMA＝90°，故选C．
10．点P在正方体侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则点P的轨迹为(　　)

A．线段B1C
B．BB1的中点及CC1的中点连成的线段
C．线段BC1
D．BC的中点及B1C1的中点连成的线段
[答案]　A
[解析]　∵AP⊥BD1恒成立，

∴要保证AP所在的平面始终垂直于BD1.
∵AC⊥BD1，AB1⊥BD1，AC∩AB1＝A，
∴BD1⊥面AB1C，∴P点在线段B1C上运动．
11．如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A、B到l的距离分别是a和b，AB及α、β所成的角分别是θ和φ，AB在α、β内的射影长分别是m和n，若a＞b，则(　　)

A．θ＞φ，m＞n B．θ＞φ，m＜n
C．θ＜φ，m＜n D．θ＜φ，m＞n
[答案]　D
[解析]　由勾股定理得a2＋n2＝b2＋m2＝AB2.
又a＞b，∴m＞n.
由已知得sinθ＝，sinφ＝，而a＞b，
∴sinθ＜sinφ，
又θ，φ∈(0，)，∴θ＜φ.
12．如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心，从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该三棱柱恰有2条棱及平面PEF平行，则点P为(　　)

A．K B．H
C．G D．B′
[答案]　C
[解析]　应用验证法：选G点为P时，EF∥A′B′且EF∥AB，此时恰有A′B′和AB平行于平面PEF，故选C．
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．直线l及平面α所成角为30°，l∩α＝A，m⊂α，A∉m，则m及l所成角的取值范围是________.
[答案]　[30°，90°]
[解析]　直线l及平面α所成的30°的角为m及l所成角的最小值，当m在α内适当旋转就可以得到l⊥m，即m及l所成角的最大值为90°.
14．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于________.

[答案]　90°
[解析]　因为C1B1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，所以C1B1⊥MN.
又因为MN⊥MB1，MB1，C1B1⊂平面C1MB1，MB1∩C1B1＝B1，所以MN⊥平面C1MB1，
所以MN⊥C1M，所以∠C1MN＝90°.
15．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).

[答案]　DM⊥PC(或BM⊥PC)
[解析]　连接AC，则BD⊥AC，由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．故当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，平面MBD⊥平面PCD．
16．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________.

[答案]　a>6
[解析]　由题意知：PA⊥DE，又PE⊥DE，PA∩PE＝P，
所以DE⊥平面PAE，∴DE⊥AE.
易证△ABE∽△ECD．
设BE＝x，则＝，即＝.
∴x2－ax＋9＝0，由Δ>0，解得a>6.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2016·江苏)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E分别为AB、BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.

求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
[解析]　(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中， A1C1∥AC．
在△ABC中， 因为D、E 分别为AB、BC 的中点，
所以DE∥AC, 于是DE∥A1C1.
又DE⊄平面A1C1F, A1C1⊂平面A1C1F，
所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中， A1A⊥平面A1B1C1.
因为A1C1⊂平面A1B1C1, 所以A1A⊥A1C1.
又A1C1⊥A1B1, A1A⊂平面ABB1A1, A1B1⊂平面ABB1A1,
A1A∩A1B1＝A1, 所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D．
又B1D⊥A1F, A1C1⊂平面A1C1F, A1F⊂平面A1C1F, A1C1∩A1F＝A1, 所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B1D⊂平面B1DE, 所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
18．(本小题满分12分)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点.

(1)求证：AC⊥BC1；
(2)求证：AC1∥平面CDB1；
(3)求异面直线AC1及B1C所成角的余弦值．
[解析]　(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC．
又∵C1C⊥AC．∴AC⊥平面BCC1B1.
∵BC1⊂平面BCC1B，∴AC⊥BC1.
(2)设CB1及C1B的交点为E，连接DE，又四边形BCC1B1为正方形．
∵D是AB的中点，E是BC1的中点，

∴DE∥AC1.
∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.
(3)∵DE∥AC1，
∴∠CED为AC1及B1C所成的角．
在△CED中，ED＝AC1＝，
CD＝AB＝，CE＝CB1＝2，
∴cos∠CED＝＝.
∴异面直线AC1及B1C所成角的余弦值为.
19．(本小题满分12分)如图是某直三棱柱(侧棱及底面垂直)被削去上底后的直观图及三视图的左视图、俯视图，在直观图中，N是BC的中点，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.

(1)求出该几何体的体积；
(2)求证：AN∥平面CME；
(3)求证：平面BDE⊥平面BCD．
[解析]　(1)由题意可知，四棱锥B－ACDE中，
平面ABC⊥平面ACDE，AB⊥AC，
∴AB⊥平面ACDE.
又AC＝AB＝AE＝2，CD＝4，
则四棱锥B－ACDE的体积为
V＝SACDE·AB＝××2＝4.
(2)连接MN，则MN∥CD．
∵AE∥CD，∴MN∥AE.
又MN＝AE＝CD，∴四边形ANME为平行四边形，
∴AN∥EM.
∵AN⊄平面CME，EM⊂平面CME，
∴AN∥平面CME.
(3)∵AC＝AB，N是BC的中点，
∴AN⊥BC．
又平面ABC⊥平面BCD．
∴AN⊥平面BCD．
由(2)知：AN∥EM，
∴EM⊥平面BCD．
又EM⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCD．
20．(本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.
(1)请按字母F、G、H标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由)；
(2)判断平面BEG及平面ACH的位置关系．并说明你的结论；
(3)证明：直线DF⊥平面BEG.

[解析]　(1)点F、G、H的位置如图所示．

(2)平面BEC∥平面ACH.证明如下：
因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，
又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，
于是四边形BCEH为平行四边形，
所以BE∥CH，
又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，
所以BE∥平面ACH，
同理，BG∥平面ACH，
又BE∩BG＝B，
所以平面BEG∥平面ACH.
(3)连接FH交EG于点O，连接BD．
因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH，
因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG，
又EG⊥FH，EG∩FH＝O，
所以EG⊥平面BFHD，
又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG，
同理DF⊥BG，
又EG∩BG＝G，
所以DF⊥平面BEG.
21．(本小题满分12分)(2016·浙江文)如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.

(1)求证：BF⊥平面ACFD；
(2)求直线BD及平面ACFD所成角的余弦值．
[解析]　(1)延长AD、BE、CF相交于一点K，如图所示．

因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC．
又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.
所以BF⊥平面ACFD．
(2)因为BF⊥平面ACK，所以∠BDF是直线BD及平面ACFD所成的角．
在Rt△BFD中，BF＝，DF＝，
∴BD＝＝，
得cos∠BDF＝，
所以直线BD及平面ACFD所成角的余弦值为.
22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB＝3，AD＝2，PA＝2，PD＝2，∠PAB＝60°.

(1)求证：AD⊥平面PAB；
(2)求异面直线PC及AD所成的角的正切值；
(3)求二面角P－BD－A的正切值．
[解析]　(1)证明：在△PAD中，∵PA＝2，AD＝2，PD＝2，
∴PA2＋AD2＝PD2，∴AD⊥PD．
在矩形ABCD中，AD⊥AB．
∵PA∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB．
(2)∵BC∥AD，∴∠PCB是异面直线PC及AD所成的角．
在△PAB中，由余弦定理得
PB＝＝.
由(1)知AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，
∴AD⊥PB，∴BC⊥PB，
则△PBC是直角三角形，
故tan∠PCB＝＝.
∴异面直线PC及AD所成的角的正切值为.
(3)过点P作PH⊥AB于点H，过点H作HE⊥BD于点E，连结PE.
∵AD⊥平面PAB，PH⊂平面ABCD，∴AD⊥PH.
又∵AD∩AB＝A，∴PH⊥平面ABCD．
又∵PH⊂平面PHE，∴平面PHE⊥平面ABCD．
又∵平面PHE∩平面ABCD＝HE，BD⊥HE，
∴BD⊥平面PHE.
而PE⊂平面PHE，∴BD⊥PE，
故∠PEH是二面角P－BD－A的平面角．
由题设可得，PH＝PA·sin60°＝，
AH＝PA·cos60°＝1，BH＝AB－AH＝2，
BD＝＝，HE＝·BH＝.
∴在Rt△PHE中，tan∠PEH＝＝.
∴二面角P－BD－A的正切值为.

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