概率论与数理统计期末总结.doc

第1章 概率论的基本概念
1.1 随机试验
称满足以下三个条件的试验为随机试验：
（1） 在相同条件下可以重复进行；
（2） 每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果；
（3） 进行试验之前，不能确定哪个结果出现。
1.2 样本点 样本空间 随机事件
随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。
样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。
Ø 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。
样本空间的子集称为随机事件，简称事件。
在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。
1.3 事件的关系及运算
（1） 包含关系 ，即事件A发生，导致事件B发生；
（2） 相等关系 ，即且；
（3） 和事件（也叫并事件）
，即事件A与事件B至少有一个发生；
（4） 积事件（也叫交事件）
，即事件A与事件B同时发生；
（5） 差事件
，即事件A发生，同时，事件B不发生；
（6） 互斥事件（也叫互不相容事件）
A、B满足，即事件A与事件B不同时发生；
（7） 对立事件（也叫逆事件）
，即。

1.4 事件的运算律
（1） 交换律 ；
（2） 结合律 ；
（3） 分配律 ；
（4） 幂等律 ；
（5） 差化积 ；
（6） 反演律（也叫德·摩根律）。
1.5 概率的公理化定义
设E是随机试验，为样本空间，对于中的每一个事件A，赋予一个实数P（A），称之为A的概率，P（A）满足：
（1） ；
（2） ；
（3） 若事件两两互不相容，则有
。
1.6 概率的性质
（1） ；
（2） 若事件两两不互相容，则；
（3） ；
（4） 。
特别地，若，则；
（5） 。

1.7 古典概型 古典概率
设随机试验E满足：
（1） E的样本空间只有有限个样本点；
（2） 每个样本点的发生是等可能的，
则称此试验为古典概型或等可能概型。
古典概率。
1.8 事件的独立性 伯努利概型
若，则称事件A与事件B相互独立。
若，则称事件A、B、C相互独立。若前三式成立，则称事件A、B、C两两相互独立。
若事件A与事件B相互独立，则也相互独立。
设随机试验E满足：
（1） 在相同条件下可重复进行次；
（2） 每次试验只有两个可能结果，A发生或A不发生，且每次A发生的概率相同；
（3） 每次试验是相互独立的，
则称这种试验为伯努利概型，或称为重伯努利试验。
重伯努利试验中A发生次的概率为，其中。
1.9 条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式
（1） 条件概率 ；
（2） 乘法公式 ；
（3） 全概率公式 ，其中，，，…，是的一个分割；
（4） 贝叶斯公式 （）

第2章 随机变量及其分布
2.1 随机变量 分布函数
随机变量是样本点的实值函数，定义域为样本空间，值域为实数。
分布函数为，其中为任意实数。
2.2 分布函数的性质
（1） ，且，；
（2） 单调不减，即若，则；
（3） 右连续，即。
2.3 离散型随机变量
离散型随机变量的分布律为。也可以用表格表示

…

…

…

…
也可以用矩阵表示，即

分布律的性质
（1） （）；
（2） 。

2.4 几种常见的离散型随机变量的分布
（1） （0-1）分布（也叫两点分布） 的分布律为
，其中为参数。
（2） 二项分布 的分布律为
，其中为参数。
（3） 泊松分布 或的分布律为
，其中为参数。
2.5 连续型随机变量
连续型随机变量的分布函数为，其中且可积，称为的概率密度。
的性质：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） 当在点处连续时，。
2.6 几种常见的连续型随机变量的分布
（1） 均匀分布
的概率密度
的分布函数
（2） 指数分布
的概率密度 ，其中为常数。
的分布函数
（3） 正态分布
的概率密度 （）其中，为常数。
的分布函数
（4）标准正态分布
的概率密度 （）
的分布函数
若，则，且有计算公式。
2.7 随机变量的函数的分布
（1） 离散型随机变量的函数的分布
已知的分布律为，的分布律有以下两种情形：
①当的值互不相等时，则

②当的值有相等时，则应把那些相等的值分别合并，同时将它们所对应的概率相加，即得出的分布律。

（2） 连续型随机变量的函数的分布
已知的概率密度为，且有连续的导函数，求的概率密度，通常使用以下两种方法：
①分布函数法：
先求的分布函数，再对求导数，可得的概率密度。
②公式法：
如果严格单调，其反函数有连续的导数，则也是连续型随机变量，且其概率密度为
其中，（此时在上不为0）；或，（此时在之外全为0.）
第3章 多维随机变量及其分布
3.1 二维随机变量 联合分布函数
设、是两个随机变量，称有序数组为二维随机变量。
联合分布函数为，其中，为任意实数。
3.2 联合分布函数的性质
（1） ，且，。
（2） 对每一个变量单调不减，即对任意固定的，当时，；对任意固定的，当时，。
（3） 关于右连续，关于也右连续。
（4） 对任意的，，有。
3.3 边缘分布函数
关于的边缘分布函数；
关于的边缘分布函数。
3.4 二维离散型随机变量
（1） 二维离散型随机变量的联合分布律为
（2） 关于的边缘分布律为（）
关于的边缘分布律为
（）
（3） 联合分布律应满足：
①（）；
②。
3.5 二维连续型随机变量
（1） 二维连续型随机变量的联合分布函数为，其中称为的联合概率密度函数。
（2） 关于的边缘概率密度为；
关于的边缘概率密度为。
（3） 联合密度函数的性质：
①；
②；
③，其中D为XOY平面上的区域；
④当在点处连续时，。
3.6 二维随机变量的独立性
随机变量与相互独立。
离散型随机变量与相互独立（）。
连续型与相互独立（在连续点处）。
3.7 二维随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
设连续型随机变量的联合密度函数，，是一维随机变量，的分布函数为，
的密度函数为。
3.8 常用的二维连续型随机变量的函数的分布
（1） 的分布

或
特别地，当、相互独立时，。
（2） 及的分布

第4章 随机变量的数字特征
4.1 随机变量的数学期望
离散型
连续型
4.2 随机变量函数的数学期望
（1） 设是的函数，其中为连续函数。
离散型
连续型
（2） 设是，的函数，其中为连续函数。
离散型
连续型
4.3 数学期望的性质
（1） ，（为常数）
（2） ，（为常数）
推广： （、是常数）
（3）
推广：
（4） 设与相互独立，则
推广：若，，…，相互独立，则
4.4 方差 方差的性质
方差

方差的性质
（1） ，（为常数）
（2） ，（为常数）
（3） 设与相互独立，则
推广：若，，…，相互独立，则
（4）
（5） ，（为常数）
4.5 几种常见的随机变量的数学期望和方差
（1） （0-1）分布 ，
（2） 二项分布 ，
（3） 泊松分布 或 ，
（4） 均匀分布 ，
（5） 指数分布 ，
（6） 正态分布 ，
4.6 协方差 相关系数
与的协方差
与的相关系数
4.7 协方差的性质
（1）
（2） ，（、为常数）
（3）
（4） （，，，为常数）
（5） ，
特别地，
（6） 设与相互独立，则。
4.8 相关系数的性质
当时，称与不相关。
（1）
（2） ，且
4.9 与不相关的性质
（1） 若随机变量和相互独立，则和不相关；
（2） 和不相关
4.10 矩
（1） 阶原点矩（）
（2） 阶中心矩（）
第6章 数理统计的基本概念
6.1 总体 样本
在数理统计中，把研究对象的全体称为总体，而把组成总体的各个元素称为个体。通常为研究总体的某个数量指标而进行随机试验或观察，因此，代表总体的数量指标是一个随机变量，所以总体的分布是指随机变量的分布。从总体中按一定规则抽取个个体的过程称为抽样，抽样的结果称为样本，样本中所含个体的数量称为样本容量。若样本中的个个体相互独立且与总体同分布称为简单随机样本，简称样本。样本的试验结果称为样本观测值。
设总体的分布函数为，则的联合分布函数为

若为连续型随机变量，其概率密度为，则的联合概率密度为
若为离散型随机变量，其分布律为，则的联合分布律为
6.2 统计量
设是来自总体的一个样本，是的函数，若中不含任何未知参数，则称是一个统计量。
统计量也是一个随机变量。
6.3 常用统计量
（1） 样本均值
（2） 样本方差
（3） 样本标准差
（4） 样本阶原点矩 （）
（5） 样本阶中心矩 （）
（6） 顺序统计量 样本中位数 极差

第7章 参数估计
7.1 参数估计 点估计
利用统计量去估计总体的未知参数称为参数估计。设是来自总体的样本，是样本的一组观察值。是总体的未知参数。若用一个统计量来估计，则称是参数的估计量；而称的观察值为参数的估计值。
用去估计，称为对作点估计。
7.2 矩估计法
所谓矩估计法，是用样本矩（原点矩）去估计相应的总体矩，用样本矩的函数去估计相应总体矩的函数的一种方法。
设总体的分布形式已知，是总体分布中的未知参数，是来自总体的样本，求的矩估计的步骤如下：
（1） 求总体的前阶矩

（2） 解（1）中的个方程得未知参数，即

（3） 用样本矩代替相应总体阶矩，得到的矩估计量，即
7.3 最大似然估计
设总体的概率密度为（当为离散型随机变量时为分布律），为待估参数，时来自总体的样本，为其一组观测值，称为似然函数。
若当时，似然函数达到最大值，则称为的最大似然估计量。
求最大似然估计量的步骤如下：
（1） 正确写出总体的概率密度（当为离散型随机变量时，为其分布律），为待估参数，构造似然函数

（2） 对似然函数取对数得对数似然函数；
（3） 对对数似然函数关于求导并令其为零，得似然方程；
（4） 解似然方程，就可以得到的最大似然估计量。
注：若随机变量的分布函数中含有多个未知参数，这时只需令（）
解该似然方程组，就可以得到各未知参数的最大似然估计量。
7.4 点估计的评价标准
（1） 无偏性 设为参数的估计量，若有，则称为的无偏估计量。
（2） 有效性 设都是的无偏估计量，若它们的方差满足，则称有效。

第6、7章复习题
1、设是来自总体的样本，其中已知，未知，则下列样本函数中不是统计量的是（ ）
A. B. C. D.
2、设是来自总体的样本，是样本均值，则对任意实数有（ ）
A. B.
C. D.
3、设总体，和均未知，则是（ ）
A. 的无偏估计 B.的矩估计 C.的无偏估计 D.的矩估计
4、设（4,3,5,5,4,3,4,4）是来自总体的一个样本的观测值，则的最大似然估计值是（ ）
A.4 B.3 C.4.5 D.5
5、矩估计必然是（ ）
A. 无偏估计 B.总体矩的函数 C.样本矩的函数 D.最大似然函数
6、 设总体，是来自总体的样本，则= ；= 。
7、 设是来自参数为的泊松分布的样本，其样本均值、样本方差分别是，，则= ；= ；= ；样本的联合分布律为 。

8、 设总体服从（0-1）分布，即（），是来自总体的样本，则= （）。
9、 ×（没有讲）设是来自总体容量为16的样本方差，则= 。
10、 总体参数常用的点估计方法是 和 。
11、 设一个样本观测值为（0,2,0，2,0,2），则总体均值的矩估计值是 ，总体方差的矩估计值是 。
12、 设，其中（）为未知参数。从总体中随机抽取样本，样本均值为，则未知参数的矩估计量= 。
13、 设总体服从参数为的泊松分布，是来自总体的样本，其样本均值，样本方差分别为，。如果为的无偏估计量，则= 。
14、 设总体，是来自总体的一个样本，为样本均值，试求样本容量应取多大，才能使下式成立。

15、 设是来自总体服从（0-1）分布的一个样本，，分别为样本均值和样本二阶中心矩，试求，，。
16、 设总体具有分布律如下表所示：

1
2
3

其中（）为未知参数。已知取得了样本值，，，试求的矩估计值和最大似然估计值。
17、 设总体的分布函数为，其中未知参数，是来自总体的样本。试求：
（1） 的矩估计量；
（2） 的最大似然估计量。
第1、2、3、4章复习题
1、对任意两个事件和，=（ ）
A. B.
C. D.
2、设事件与事件互不相容，则（ ）
A. B. C. D.
3、设、为两事件，且，，则必有（ ）
A. B.
C. D.
4、设事件与相互独立，且，，不能推出（ ）
A. B.
C. D.
5、设事件与事件满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 与互不相容 B.是不可能事件
C. D.
6、设事件与事件满足条件，则（ ）
A. B. C. D.

7、设随机变量与相互独立，其分布律如下表所示：

0
1

0.5
0.5

0
1

0.5
0.5
则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.以上完全不正确
8、设，，，则（ ）
A. B. C. D.
9、设随机变量，，且与相互独立，则（ ）
A. B. C. D.
10、某射手向同一目标独立重复射击，每次射击击中目标的概率为（），则该射手第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ）
A. B. C. D.
11、设随机变量的分布函数为，下列结论中不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.为连续函数
12、设二维随机变量满足，则（ ）
A. B.
C.与相互独立 D.与不相互独立
13、对任意两个随机变量和，以下选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
14、已知随机变量的概率密度为，令，则的概率密度为（ ）
A. B. C. D.

15、设二维随机变量具有以下概率密度，与相互独立 ，则=（ ）
A.
B.
C.
D.
16、 设、、是任意的三个随机事件，根据概率的性质，则：
（1） = ；
（2） = ；
（3） = 。
17、 设、为两个随机事件，且，。
（1） 若与互不相容，则 ；
（2） 若与相互独立，则 。
18、 设，，，则= 。
19、 设，，，则 。
20、 设随机变量的分布律为，，则常数= 。
21、 设连续型随机变量的分布函数为，其密度函数为，则= 。

22、 设随机变量的分布函数为，且，
则= ，= 。
23、 设随机变量的概率密度为，又，则= ，= 。
24、 设随机变量，则= 。
25、 设随机变量，则= 。
26、 设随机变量的分布律如下表所示：

0
1
0
0.4

1

0.1
已知事件与相互独立，则= ，= 。
27、 设随机变量与相互独立，方差分别为1，4，则= 。
28、 已知，则= 。
29、 设随机变量服从参数为2的泊松分布，令，则= ， 。
30、 设随机变量服从参数为的指数分布，且已知，则
。
31、 设随机变量，且，，则二项分布中的参数= ，= 。
32、 某门课程只有通过口试及笔试两种考试方可结业，某学生通过口试的概率为80%，通过笔试的概率为65%，至少通过两者之一的概率为75%，试问该学生这门课程结业的可能性有多大？

33、 设一口袋中有100个球，其中有7个是红球，25个是黄球，24个是黄蓝两色的球，1个是红黄蓝三色的球，其余43个是无色的球。现从中任取一个球，以、、分别表示取到的球有红色、有黄色、有蓝色的事件，试问、、是否两两独立，是否相互独立？

34、 取何值时，（），才能成为随机变量的分布律。

35、 设离散型随机变量的分布律如下表所示：

-1
1
2

0.2
0.5
0.3
（1） 试求的分布函数；
（2） 试求、.
36、 设连续型随机变量的分布函数为
（1） 试求常数、；
（2） 试求概率；
（3） 试求概率密度。

37、 设随机变量的概率密度为，（），试求：
（1） 常数；
（2） 概率；
（3） 的分布函数。

38、 已知随机变量和的分布律如下表所示：

-1
0
1

0.25
0.5
0.25

0
1

0.5
0.5
且
(1) 试求和的联合分布律；
(2) 试问和是否相互独立？为什么？
(3) 试求；
(4) 若和相互独立，试求的分布律。

39、 设随机变量的概率密度为
（1） 试求关于和的边缘概率密度与；
（2） 试判断和是否相互独立。

40、 设随机变量的概率密度为
（1） 试求概率；
（2） 试求边缘概率密度与；
（3） 试判断和是否相互独立。

41、 设随机变量的分布律如下表所示：

0

1

2
0
0.10
0.25
0.15
1
0.15
0.20
0.15
试求：
（1） 的分布律；
（2） 的分布律；
（3） 的分布律。
42、 甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡的寿命和的分布律如下表所示：

900
1000
1100

0.1
0.8
0.1

950
1000
1050

0.3
0.4
0.3
试问哪家厂生产的灯泡质量较好？

43、 某城市一天的用电量（单位：10万kW·h）是一个随机变量，其概率密度为，试求一天的平均耗电量。

44、 设随机变量的概率密度为，又，，试求、、。

45、 设二维随机变量的概率密度为，试求。
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